材料力学(I)第四章

1、第四章 弯曲应力4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图4-2 梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图4-3 平面刚架和曲杆的内力图4-4 梁横截面上的正应力 梁的正应力强度条件4-5 梁横截面上的切应力 梁的切应力强度条件4-6 梁的合理设计 -3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组 合截面的惯性矩和惯性积1共二百一十三页4-1 对称弯曲的概念(ginin)及梁的计算简图. 关于弯曲(wnq)的概念 受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用。 变形特点： 直杆的轴线在变形后变为曲线。 梁以弯曲为主要变形的杆件称为梁。第四章 弯曲应力2共二百一十三页弯曲(wnq)变形第

2、四章 弯曲应力3共二百一十三页第四章 弯曲应力工程实例F2F14共二百一十三页纵向对称面 对称弯曲外力作用于梁的纵向对称面内，因而变形后梁(HuLing)的轴线(挠曲线)是在该纵对称面内的平面曲线。 非对称弯曲(wnq)梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。第四章 弯曲应力5共二百一十三页本章讨论(toln)对称弯曲时梁的内力和应力。 对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线(qxin)与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。第四章 弯曲应力6共二百一十三页. 梁的计算(j s

3、un)简图 对于对称弯曲的直梁，外力为作用在梁的纵对称面内的平面力系，故在计算(j sun)简图中通常就用梁的轴线来代表梁。 这里加“通常”二字是因为简支梁在水平面内对称弯曲时不能用轴线代表梁。第四章 弯曲应力F7共二百一十三页(1) 支座的基本(jbn)形式1. 固定端实例如(lr)图a，计算简图如图b, c。第四章 弯曲应力(b)(c)MRFRxFRy(a)8共二百一十三页 2. 固定铰支座(zh zu)实例如图中左边的支座(zh zu)，计算简图如图b，e。 3. 可动铰支座实例如图a中右边(yu bian)的支座，计算简图如图c，f。第四章 弯曲应力9共二百一十三页悬臂梁(2) 梁的基

4、本(jbn)形式简支梁外伸梁第四章 弯曲应力10共二百一十三页 在竖直荷载作用下，图a，b，c所示梁的约束力均可由平面力系的三个独立的平衡方程求出，称为(chn wi)静定梁。(3) 静定(jn dn)梁和超静定(jn dn)梁 图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定，称为超静定梁。第四章 弯曲应力11共二百一十三页例题(lt)4-1 试求图a所示有中间铰C的梁A、B处的约束力。第四章 弯曲应力(a) 解：1. 此梁左端A为固定端，有3个未知约束力FAx，FAy和MA；右端B处为可动铰支座(zh zu)，有1个未知约束力FBy。此梁总共有4个未知支约束力。12共二百一十三页 对于平面

5、力系，虽然可列出3个独立平衡方程，但此梁具有(jyu)中间铰C，故根据铰不能传递力矩的特点，作用在中间铰一侧(梁的AC或梁CB段)梁上的外力(荷载和约束力)对于中间铰C的力矩应等于零，还可列出1个独立的平衡方程。这样就可利用4个平衡方程求解4个未知支约束力。由此也可知，此梁是静定梁。第四章 弯曲应力13共二百一十三页第四章 弯曲应力于是(ysh)可求得约束力如下：14共二百一十三页第四章 弯曲应力15共二百一十三页 2. 此梁的约束力亦可将梁在中间铰C处拆开，先利用(lyng)CB段梁作为分离体求约束力FBy和AC段梁在中间铰C处作用在CB段梁上的FCx和FCy，然后利用AC段梁作为分离体求约

6、束力FAx，FAy和MA。第四章 弯曲应力16共二百一十三页 3. 显然可见(kjin)，作用在此梁CB段上的荷载是要通过中间铰传递到梁的AC段上的，但作用在AC段上的荷载是不会传递给CB段的。故习惯上把梁的AC段称为基本梁(或称主梁)，把梁的CB段称为副梁。第四章 弯曲应力17共二百一十三页思考(sko)： 1. 如果上述例题中所示的梁上，没有原来的荷载，但另外加一个作用在中间铰C上的集中荷载F =100 kN，试求该梁的约束力。第四章 弯曲应力18共二百一十三页 2. 在中间铰C的左侧(zu c)加一个力矩为Me的力偶和在中间铰C的右侧加一力矩同样大小的力偶，它们产生的约束力是否一样？第四

7、章 弯曲应力19共二百一十三页4-2 梁的剪力和弯矩剪力图(lt)和弯矩图. 梁的剪力和弯矩(shearing force and bending moment) 图a所示跨度(kud)为l的简支梁其约束力为 梁的左段内任一横截面mm上的内力，由mm左边分离体(图b)的平衡条件可知：第四章 弯曲应力20共二百一十三页 它们的指向和转向如图b中所示。显然(xinrn)这些内力是 mm右边的梁段对于左边梁段的作用力和作用力矩。 故根据作用与反作用原理，mm左边的梁段对于右边(yu bian)梁段(图c)的作用力和作用力矩数值应与上式所示相同，但指向和转向相反。这一点也可由mm右边分离体的平衡条件加

8、以检验：第四章 弯曲应力21共二百一十三页从而有第四章 弯曲应力22共二百一十三页 梁的横截面上位于横截面内的内力(nil)FS是与横截面左右两侧的两段梁在与梁轴相垂直方向的错动(剪切)相对应，故称为剪力；梁的横截面上作用在纵向平面内的内力偶矩是与梁的弯曲相对应，故称为弯矩。第四章 弯曲应力23共二百一十三页 为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号要以其所在横截面处梁的微段的变形(bin xng)情况确定，如图。第四章 弯曲应力24共二百一十三页 综上所述可知： (1) 横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧(yu c)梁段上外力的代

9、数和。左侧梁段上向上的外力或右侧(yu c)梁段上向下的外力将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪力。 (2) 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力对该截面形心的力矩之代数和。 1. 不论(bln)在左侧梁段上或右侧梁段上，向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。第四章 弯曲应力25共二百一十三页 2. 截面(jimin)左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩，而逆时针转向的外力偶则引起负值的弯矩；截面(jimin)右侧梁段上的外力偶引起的弯矩其正负与之相反。第四章 弯曲应力26共二百一十三页. 剪力方程(fngchng)和弯矩方程(fngchng)剪力图

10、和弯矩图 剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和弯矩随截面位置的变化规律。显示(xinsh)这种变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。第四章 弯曲应力27共二百一十三页 例题(lt)4-4 图a所示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。第四章 弯曲应力(a)28共二百一十三页 距右端为x的任意(rny)横截面上的剪力FS(x)和弯矩M(x)，根据截面右侧梁段上的荷载有解：1. 列剪力方程(fngchng)和弯矩方程(fngchng) 当求悬臂梁横截面上的内力(剪力和弯矩)时，若取包含自由端截面的一侧梁段来计算，则

11、可不求出约束力。第四章 弯曲应力FS(x)29共二百一十三页2. 作剪力图(lt)和弯矩图 根据剪力方程和弯矩方程作出剪力图和弯矩图分别(fnbi)如图b和图c。按照习惯，剪力图中正值的剪力值绘于x轴上方，弯矩图中正值的弯矩值则绘于x轴的下方(即弯矩值绘于梁弯曲时其受拉的边缘一侧)。第四章 弯曲应力 (b)(c) 30共二百一十三页 由图可见，此梁横截面上的最大剪力其值为FS,max=ql，最大弯矩(按绝对值)其值为 (负值)，它们都发生在固定端右侧横截面上。第四章 弯曲应力 (b) (c) (a)31共二百一十三页 例题4-5 图a所示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作(sh zu)梁的剪

12、力图和弯矩图。解：1. 求约束力第四章 弯曲应力(a)32共二百一十三页2. 列剪力方程(fngchng)和弯矩方程(fngchng)FS(x)第四章 弯曲应力33共二百一十三页 由图可见，此梁横截面上的最大剪力(按绝对值)其值为 (正值，负值)，发生在两个支座各自的内侧横截面上；最大弯矩其值为 发生在跨中横截面上。3. 作剪力图(lt)和弯矩图第四章 弯曲应力34共二百一十三页 简支梁受满布荷载作用是工程上常遇到的计算情况，初学者对于(duy)此种情况下的剪力图、弯矩图和FS,max，Mmax的计算公式应牢记在心！第四章 弯曲应力35共二百一十三页 例题4-6 图a所示简支梁受集中荷载F 作

13、用(zuyng)。试作梁的剪力图和弯矩图。第四章 弯曲应力F(a)解：1. 求约束力36共二百一十三页2. 列剪力方程(fngchng)和弯矩方程(fngchng) 此梁上的集中荷载将梁分隔成AC和CB两段，两段内任意(rny)横截面同一侧梁段上的外力显然不同，可见这两段梁的剪力方程和弯矩方程均不相同，因此需分段列出。第四章 弯曲应力FAC段梁FS(x)37共二百一十三页CB段梁第四章 弯曲应力FFxFS(x)38共二百一十三页3. 作剪力图(lt)和弯矩图 如图b及图c。由图可见，在b a的情况下，AC段梁在0 xa的情况下，C截面右侧(x=a+)横截面上的弯矩绝对值最大， 为 （负值)。弯

14、矩图在集中力偶作用处有突变，也是因为集中力偶实际上只是作用在梁上很短长度范围内的分布力矩的简化。第四章 弯曲应力45共二百一十三页思考1：一简支梁受移动荷载F作用，如图所示。试问： (a) 此梁横截面上的最大弯矩是否一定在移动荷载作用处？为什么？ (b) 荷载F移动到什么位置时此梁横截面上的最大弯矩比荷载在任何(rnh)其它位置时的最大弯矩都要大？该最大弯矩又是多少？亦即要求求出对于弯矩的最不利荷载位置和绝对值最大弯矩值。第四章 弯曲应力46共二百一十三页思考2：对于图示带中间铰C的梁，试问： (a) 如果分别在中间铰左侧和右侧作用有向下的同样(tngyng)的集中力F，这两种情况下梁的剪力图

15、和弯矩图是否相同？ (b) 如果分别在中间铰左侧和右侧作用有同样大小且同为顺时针的力偶矩Me的力偶，这两种情况下梁的剪力图和弯矩图是否相同？第四章 弯曲应力C47共二百一十三页思考3：根据(gnj)对称性与反对称性判断下列说法是否正确。(a) 结构(jigu)对称、外力对称时，弯矩图为正对称，剪力图为 反对称；(b) 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称，剪力图为正对称。第四章 弯曲应力48共二百一十三页 例 简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程(fngchng)和弯矩方程(fngchng)，并作剪力图和弯矩图。解：1. 求支座(zh zu)约束力 可利用平衡方程 对所求约束力进行校核。

16、第四章 弯曲应力(a) xBAl/2l/2CqFAFB49共二百一十三页2. 建立(jinl)剪力方程和弯矩方程 AC段： CB段： 第四章 弯曲应力(a) xBAl/2l/2CqFAFB50共二百一十三页3求控制截面(jimin)内力，绘FS , M图 FS图：AC段内 剪力方程是x的一次函数，剪力图为斜直线，故求出两个(lin )端截面的剪力值即可CB段内 剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值连一水平线即为该段剪力图。 第四章 弯曲应力(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql51共二百一十三页M图：AC段内 弯矩方程是x的二次函数，表明(biomng)弯

17、矩图为二次曲线，需求出两个端截面的弯矩。需判断(pndun)顶点位置，该处弯矩取得极值。 第四章 弯曲应力(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql(c) Mx9128ql2116ql252共二百一十三页我们(w men)可以发现，对于该梁来说有CB段内 弯矩方程是x的一次函数，分别求出两个端点(dun din)的弯矩，并连成直线即可。 第四章 弯曲应力(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql(c) Mx9128ql2116ql253共二百一十三页 （a） 当梁上有向下的均布荷载时，剪力图为一条直线，其斜率 为负；而且(r qi)，

18、这微分关系也体现在该梁的剪力图和弯矩图中：第四章 弯曲应力(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql(c) Mx9128ql2116ql254共二百一十三页第四章 弯曲应力(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql(c) Mx9128ql2116ql2 （b）从剪力图可见，随x的增大剪力FS由正值逐渐变为负值，故弯矩图切线的斜率 也应随x的增大而由正值逐渐变为负值；且在 的截面处 ，即弯矩图切线的斜率为零而弯矩有极值；55共二百一十三页 （c）由 可知，弯矩图的曲率 为负，亦即在弯矩图的纵坐标如图中那样取向下为正时，弯矩图为下凸的二次

19、曲线。第四章 弯曲应力(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql(c) Mx9128ql2116ql256共二百一十三页. 弯矩、剪力与荷载集度之间的关系(gun x)及其应用M(x), FS(x)与q(x)间微分(wi fn)关系的导出 从图a所示简支梁的有分布荷载的区段内，取出长为dx的梁段，如图b所示。这里分布荷载的集度q(x)以向上为正值，且略去荷载集度在微量dx范围内的变化。梁的微段其左、右横截面上的剪力和弯矩均为正值。第四章 弯曲应力57共二百一十三页从而得：由梁的微段的平衡方程略去二阶无穷小项 ，即得第四章 弯曲应力58共二百一十三页 应用这些关系时

20、需要注意，向上的分布荷载(hzi)集度为正值，反之则为负值。由以上(yshng)两个微分关系式又可得第四章 弯曲应力59共二百一十三页常见(chn jin)荷载下FS，M图的一些特征第四章 弯曲应力60共二百一十三页集中力作用(zuyng)处集中力偶(l u)作用处 若某截面的剪力FS(x)=0，根据 ，该截面的弯矩为极值。 第四章 弯曲应力61共二百一十三页 利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下： (1) 求支座(zh zu)约束力； (2) 分段确定剪力图和弯矩图的形状； (3) 求控制截

21、面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图； (4) 确定|FS|max和|M|max 。第四章 弯曲应力62共二百一十三页 例题 一简支梁在其中(qzhng)间部分受集度为 q=100 kN/m的向下的均布荷载作用，如图a所示。试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系校核图b及图c所示的剪力图和弯矩图。第四章 弯曲应力x+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq-63共二百一十三页而根据 可知，AC段内的剪力图(lt)应当是水平直线。该段内梁的横截面上剪力的值显然为1. 校核(xio h)剪力图 解：此梁的荷载及约束

22、力均与跨中对称，故知约束力FA，FB为第四章 弯曲应力+-100 kN100 kNFSxFS 图yFAFBABCDE2 m1 m4 mq 该梁的AC段内无荷载，64共二百一十三页 对于该梁的CD段，分布荷载的集度q为常量(chngling)，且因荷载系向下而在微分关系中应为负值，即q=-100 kN/m。第四章 弯曲应力+-100 kN100 kNFSxFS 图yFAFBABCDE2 m1 m4 mq 根据 可知CD段内的剪力图确应为向右下方倾斜的斜直线。由于C点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故斜直线左端的纵坐标确为100 kN。根据斜直线的斜率为 ，可证实D截面处的剪力确应为65共二百

23、一十三页 对于该梁的DB段，梁上无荷载，故剪力图应该(ynggi)是水平直线；且由于D点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故该水平直线的纵坐标确为-100 kN。作为复核，显然支座B偏左横截面上的剪力就是第四章 弯曲应力+-100 kN100 kNFSxFS 图yFAFBABCDE2 m1 m4 mq66共二百一十三页2. 校核(xio h)弯矩图这与图中所示相符(xingf)。 该梁的AC段内，剪力为常量，因而根据 常量可知此段梁的弯矩图应为斜率为 的正值的斜直线。据此，由支座A处横截面上的弯矩为零可知C截面处的弯矩为第四章 弯曲应力+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150

24、100 xMM图（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq67共二百一十三页 事实上，这个(zh ge)弯矩值也可根据 此式中的 从几何意义上来说，它就是AC段内剪力图的面积。第四章 弯曲应力+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）通过(tnggu)积分来复核：68共二百一十三页 对于该梁的CD段，根据 可知： 弯矩图是如图(c)中所示曲率为负(即向下凸)的二次曲线。因为梁上C点处无集中(jzhng)力偶作用，故弯矩图在C截面处应该没有突变；第四章 弯曲应力+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）yFA

25、FBABCDE2 m1 m4 mq69共二百一十三页 由于C截面处剪力无突变(tbin)，故CD段的弯矩图在C处的切线的斜率应该与AC段梁弯矩图在C处的斜率相等，即两段梁的弯矩图在C处应光滑连接。第四章 弯曲应力+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq70共二百一十三页 在剪力为零的跨中截面E处，弯矩图切线(qixin)的斜率为零，而弯矩有极限值，其值为同样，根据 可知，这些(zhxi)均与图(c)中所示相符。第四章 弯曲应力+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）71共

26、二百一十三页 对于该梁的DB段，由于剪力为负值的常量，故弯矩图应该是斜率为负的斜直线(zhxin)。因为梁上D点处无集中力偶作用，故弯矩图在D截面处不应有突变，再考虑B支座处弯矩为零，即可证实图(c)中此段梁的弯矩图也无误。第四章 弯曲应力+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq72共二百一十三页已知：图中梁的约束力为思考：试指出图示三根梁各自的剪力图(lt)和弯矩图中的错误。正确(zhngqu)答案：第四章 弯曲应力(a)73共二百一十三页图中梁的约束力为正确(zhngqu)答案：第四章 弯曲应力(b)74共二

27、百一十三页图中梁的约束力为正确(zhngqu)答案：第四章 弯曲应力 (c) 75共二百一十三页. 按叠加原理(yunl)作弯矩图第四章 弯曲应力76共二百一十三页 (1) 在小变形情况下求梁的约束力、剪力和弯矩时，我们都是按梁未变形时的原始尺寸进行计算的，例如(lr)对于图a所示悬臂梁，其剪力方程和弯矩方程分别为第四章 弯曲应力(a)77共二百一十三页 这就是说，在小变形情况下，此梁横截面上的剪力和弯矩分别等于集中荷载F和均布荷载q单独(dnd)作用时(图b和图c)相应内力的代数和叠加。因此该梁的剪力图和弯矩图也就可以利用叠加的方法作出。第四章 弯曲应力(b)(c) (a)78共二百一十三页

28、 (2) 叠加原理 当所求参数(约束力、内力、应力或位移)与梁上(或结构上)荷载(hzi)成线性关系时，由几项荷载共同作用所引起的某一参数之值，就等于每项荷载单独作用时所引起的该参数值的叠加。第四章 弯曲应力79共二百一十三页 (3) 示例 图a所示受满布均布荷载q并在自由端受集中荷载 作用的悬臂梁，其剪力图(lt)和弯矩图显然就是图b和图c所示，该梁分别受集中荷载F和满布均布荷载q作用时两个剪力图和两个弯矩图的叠加。第四章 弯曲应力F=ql/4(a)F=ql/4(b)(c)80共二百一十三页第四章 弯曲应力- F(a)-FF=ql/4(b)(c)F-81共二百一十三页第四章 弯曲应力 图d为

29、直接将图b和图c中两个(lin )弯矩图叠加后的图形，将图中斜直线作为弯矩图的水平坐标轴时，它就是图a中的弯矩图。(c)-(d)82共二百一十三页 作剪力图时虽然(如上所示)也可应用叠加原理(yunl)，但由于梁上通常无集度变化的分布荷载，而剪力图由直线段组成，作图比较简单，故往往只说按叠加原理(yunl)作弯矩图。 由图a可见，该梁横截面上的最大剪力为 (负值) ,最大弯矩为 (负值)，而极值弯矩 并非最大弯矩。第四章 弯曲应力- F(a)-F83共二百一十三页4-3 平面(pngmin)刚架和曲杆的内力图. 平面(pngmin)刚架 平面刚架由同一平面内不同取向的杆件相互间刚性连接的结构。

30、 平面刚架杆件的内力当荷载作用于刚架所在平面内时，杆件横截面上的内力除剪力和弯矩外，还会有轴力。第四章 弯曲应力84共二百一十三页 作刚架内力图的方法和步骤与梁相同，但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定： 弯矩图，画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号； 剪力图及轴力图，可画在刚架轴线的任一侧（通常正值(zhn zh)画在刚架外侧），但须注明正负号； 剪力和轴力的正负号仍与前述规定相同。第四章 弯曲应力85共二百一十三页 例题4-13 试作图a所示刚架的内力图(lt)(即作出组成刚架的各杆的内力图(lt)。第四章 弯曲应力(a)86共二百一十三页各杆的内力(nil)方程为：CB杆：(杆

31、的外侧受拉)(杆的外侧受拉)BA杆： 解：此刚架的C点为自由端，故求内力(nil)时如取包含自由端的那部分分离体作为研究对象，则可不求固定端A处的约束力。第四章 弯曲应力(a)87共二百一十三页 绘内力图时，轴力图和剪力图可画在各杆的任一侧，但需注明(zh mn)正负号(图b及图c)；弯矩图则画在杆件弯曲时受拉的一侧(图d)。第四章 弯曲应力(a)88共二百一十三页 作为校核可取该刚架的结点(ji din)B为分离体，标出结点处的外力及内力，考察结点是否满足平衡条件。第四章 弯曲应力(a)89共二百一十三页思考：能根据概念绘出图示平面刚架(框架(kun ji)的内力图吗？第四章 弯曲应力90共

32、二百一十三页. 平面(pngmin)曲杆 平面曲杆的横截面系指曲杆的法向截面(亦即圆弧形曲杆的径向截面)。当荷载作用于曲杆所在(suzi)平面内时，其横截面上的内力除剪力和弯矩外也会有轴力 。第四章 弯曲应力91共二百一十三页 图a所示A端固定的半圆环在B端受集中荷载F作用时，其任意(rny)横截面m m上的内力有 此即内力方程。根据内力方程将内力值在与q 相应(xingyng)的径向线上绘出，即可得到内力图，如图b，图c及图d。第四章 弯曲应力92共二百一十三页-+(c) FN图第四章 弯曲应力(d) FS 图+93共二百一十三页4-4 梁横截面上的正应力梁的正应力强度(qingd)条件 纯

33、弯曲 (pure bending) 梁或梁上的某段内各横截面上无剪力而只有(zhyu)弯矩，横截面上只有(zhyu)与弯矩对应的正应力。第四章 弯曲应力MeM94共二百一十三页 横力弯曲(wnq) (bending by transverse force) 梁的横截面上既有弯矩又有剪力；相应地，横截面既有正应力又有切应力。第四章 弯曲应力95共二百一十三页. 纯弯曲(wnq)时梁横截面上的正应力计算公式的推导(tudo) (1) 几何方面 藉以找出与横截面上正应力相对应的纵向线应变在该横截面范围内的变化规律。表面变形情况 在竖直平面内发生纯弯曲的梁(图a)：第四章 弯曲应力(a)96共二百一十

34、三页第四章 弯曲应力弯曲变形97共二百一十三页 1. 弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵向直线段aa和bb(图b)，在梁弯曲后成为(chngwi)弧线(图a)，靠近梁的顶面的线段aa缩短，而靠近梁的底面的线段bb则伸长；第四章 弯曲应力98共二百一十三页 2. 相邻横向线mm和nn(图b)在梁弯曲后仍为直线(图a)，只是相对旋转了一个(y )角度，且与弧线aa和bb保持正交。第四章 弯曲应力99共二百一十三页 根据表面(biomin)变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：平面(pngmin)假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面

35、仍保持为平面，只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。第四章 弯曲应力100共二百一十三页 横截面的转动使梁凹入一侧的纵向线缩短，凸出一侧的纵向线伸长，从而根据变形(bin xng)的连续性可知，中间必有一层纵向线只弯曲而无长度改变的中性层 (图f)，而中性层与横截面的交线就是梁弯曲时横截面绕着它转动的轴 中性轴 (neutral axis)。第四章 弯曲应力（f)101共二百一十三页令中性层的曲率半径为r(如图c)，则根据曲率的定义 有纵向线应变在横截面范围内的变化规律 图c为由相距d x的两横截面取出的梁

36、段在梁弯曲后的情况，两个原来(yunli)平行的横截面绕中性轴相对转动了角dq。梁的横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知为第四章 弯曲应力(c)102共二百一十三页 即梁在纯弯曲时，其横截面上任一点处的纵向(zn xin)线应变e与该点至中性轴的距离 y 成正比。第四章 弯曲应力(c)弯曲变形103共二百一十三页 小变形时纯弯曲情况下可假设梁的各纵向线之间无挤压，认为梁内各点均处于(chy)单轴应力状态。 (2) 物理方面 藉以由纵向线应变在横截面范围内的变化规律 找出横截面上正应力的变化规律。 梁的材料在线弹性范围(fnwi)内工作，且拉、压弹性模量相同时，有 这表明

37、，直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化(如图)。第四章 弯曲应力M104共二百一十三页 (3) 静力学方面 藉以(ji y)找出确定中性轴位置的条件以及横截面上正应力的计算公式。 梁的横截面上与正应力相应的法向内力元素sdA(图d )不可能组成轴力( )，也不可能组成对于与中性轴垂直的y 轴(弯曲平面内的轴)的内力偶矩( )，只能组成对于中性轴 z 的内力偶矩，即第四章 弯曲应力(d)105共二百一十三页将 代入上述三个静力学条件，有(a)(b)(c) 以上(yshng)三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相关的几何量，统称为截面的几何性质，而第四章 弯曲应力

38、106共二百一十三页 其中(qzhng) 为截面对于z轴的静矩(static moment of an area)或一次矩，其单位为m3。 为截面对于y轴和z轴的惯性积，其单位为m4。 为截面对于z轴的惯性矩(moment of inerita of an area)或二次轴矩，其单位为m4。第四章 弯曲应力107共二百一十三页 由于式(a)，(b)中的 不可能等于零，因而该两式要求： 1. 横截面对于中性轴 z 的静矩等于零， ；显然这是要求中性轴 z 通过横截面的形心； 2. 横截面对于 y 轴和 z 轴的惯性积等于零， ；在对称弯曲情况下，y 轴为横截面的对称轴，因而这一条件自动满足。(

39、a)(b)(c)第四章 弯曲应力108共二百一十三页由式(c)可知，直梁纯弯曲(wnq)时中性层的曲率为 上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，梁的横截面上的弯矩M 不随截面位置变化，故知对于(duy)等截面的直梁包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。 将上式代入得出的式子 即得弯曲正应力计算公式：(c)第四章 弯曲应力109共二百一十三页 应用(yngyng)此式时，如果如图中那样取 y轴向下为正的坐标系来定义式中 y 的正负，则在弯矩 M 按以前的规定确定其正负的情况下，所得正应力的正负自动表示拉应力或压应力。但实际应用中往往直接根据横截面上弯矩的转向及求正应力之点在中性轴的哪

40、一侧来判别弯曲正应力为拉应力还是压应力；在此情况下可以把式中的 y 看作求应力的点离中性轴 z 的距离。第四章 弯曲应力110共二百一十三页 中性(zhngxng)轴 z 为横截面对称轴的梁 (图a，b) 其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等；中性轴 z 不是横截面对称轴的梁 (图c) ，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。第四章 弯曲应力dzyo(b) yc,max yt,maxyz bd1 hOd2(c) hbzyo(a)111共二百一十三页 中性(zhngxng)轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应力的值smax为式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲(wnq)截面系

41、数(section modulus in bending)，其单位为m3。hbzyodzyo第四章 弯曲应力112共二百一十三页 中性轴 z 不是横截面的对称轴时(参见(cnjin)图c)，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为第四章 弯曲应力113共二百一十三页简单截面对于形心轴的惯性矩和弯曲(wnq)截面系数(1) 矩形(jxng)截面第四章 弯曲应力114共二百一十三页思考: 一长边宽度为 b，高为 h 的平行四边形，它对于形心轴 z 的惯性矩是否也是 ？第四章 弯曲应力115共二百一十三页(2) 圆截面(jimin)在等直圆杆扭转(nizhun)问题(3-4)中已求得：zoyyzdA而

42、由图可见，2=y2+z2 , 从而知第四章 弯曲应力116共二百一十三页而弯曲(wnq)截面系数为 根据对称性可知(k zh)，原截面对于形心轴z和y的惯性矩Iz和Iy是相等的，Iz= Iy，于是得第四章 弯曲应力zoyyzdA117共二百一十三页(3) 空心(kng xn)圆截面 由于(yuy)空心圆截面的面积等于大圆的面积AD减去小圆(即空心部分)的面积Ad故有式中， 。dOyzD第四章 弯曲应力118共二百一十三页根据(gnj)对称性可知：思考： 空心圆截面对于形心轴的惯性矩就等于(dngy)大圆对形心轴的惯性矩减去小圆对于形心轴的惯性矩；但空心圆截面的弯曲截面系数并不等于(dngy)大

43、圆和小圆的弯曲截面系数之差，为什么？而空心圆截面的弯曲截面系数为第四章 弯曲应力dOyzD119共二百一十三页型钢截面及其几何性质(xngzh)：参见型钢表 需要注意的是，型钢(xnggng)规格表中所示的x轴是我们所标示的z轴。第四章 弯曲应力120共二百一十三页. 纯弯曲理论(lln)的推广 工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面由于切应力的存在而发生翘曲(warping)。此外，横向力还使各纵向线之间发生挤压(bearing)。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性力学的分析结果表明，受满布荷载的矩形截面简支梁，当其跨长与截面高度之比

44、 大于5时，梁的跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超过1%，故在工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，即第四章 弯曲应力121共二百一十三页 例题4-15 图a所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后的尺寸见图b。已知F=150 kN。试求危险截面上的最大正应力(yngl)smax和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处(图b)的正应力sa。第四章 弯曲应力122共二百一十三页 解：在不考虑梁的自重( )的情况下，该梁的弯矩图如图所示，截面C为危险截面，相应的最大弯矩值为第四章 弯曲应力123共二百一十三页由型钢(xnggng)规格表查得56a号工字钢截面于是(

45、ysh)有危险截面上点a 处的正应力为第四章 弯曲应力124共二百一十三页 该点处的正应力sa亦可根据直梁横截面上的正应力在与中性轴z垂直(chuzh)的方向按直线变化的规律，利用已求得的该横截面上的smax=160 MPa来计算：第四章 弯曲应力125共二百一十三页显然(xinrn)，梁的自重引起的最大正应力仅为而危险截面(jimin)上的最大正应力变为远小于外加荷载F 所引起的最大正应力。 如果考虑梁的自重(q=1.041 kN/m)则危险截面未变，但相应的最大弯矩值变为第四章 弯曲应力126共二百一十三页 .梁的正应力(yngl)强度条件 等直梁横截面上的最大正应力发生在最大弯矩所在横截

46、面上距中性轴最远的边缘处，而且在这些边缘处，即使是横力弯曲情况，由剪力引起(ynq)的切应力也等于零或其值很小(详见下节)，至于由横向力引起(ynq)的挤压应力可以忽略不计。因此可以认为梁的危险截面上最大正应力所在各点系处于单轴应力状态。于是可按单向应力状态下的强度条件形式来建立梁的正应力强度条件：式中，s为材料的许用弯曲正应力。第四章 弯曲应力127共二百一十三页对于(duy)中性轴为横截面对称轴的梁，上述强度条件可写作 由拉、压许用应力(yngl)st和sc不相等的铸铁等脆性材料制成的梁，为充分发挥材料的强度，其横截面上的中性轴往往不是对称轴，以尽量使梁的最大工作拉应力st,max和最大工

47、作压应力sc,max分别达到(或接近)材料的许用拉应力st和许用压应力sc 。第四章 弯曲应力128共二百一十三页(a)(b) 例题4-17 图a所示工字钢制成的梁，其计算简图可取为如图b所示的简支梁。钢的许用弯曲(wnq)正应力s=152 MPa 。试选择工字钢的号码。第四章 弯曲应力129共二百一十三页解：在不计梁的自重(zzhng)的情况下，弯矩图如图所示第四章 弯曲应力130共二百一十三页强度条件 要求： 此值虽略小于要求的Wz但相差(xin ch)不到1%，故可以选用56b工字钢。由型钢(xnggng)规格表查得56b号工字钢的Wz为第四章 弯曲应力131共二百一十三页此时(c sh

48、)危险截面上的最大工作应力为 其值超过(chogu)许用弯曲应力约4.6%。工程实践中，如果最大工作应力超过许用应力不到5%，则通常还是允许的。 如果计入梁的自重 ，危险截面仍在跨中，相应的最大弯矩则为第四章 弯曲应力132共二百一十三页 例题4-19 图a所示为横截面如图b所示的槽形截面铸铁梁，该截面对于中性轴z 的惯性矩Iz=5493104 mm4。已知图a中，b=2 m。铸铁的许用拉应力(yngl)st=30 MPa，许用压应力sc=90 MPa 。试求梁的许可荷载F。第四章 弯曲应力(a)(b)133共二百一十三页 解：最大负弯矩所在B截面处，若截面的上边缘处最大拉应力st,max达到

49、st，则下边缘处最大压应力sc,max为 根据 可知此sc,max并未达到许用压应力sc，也就是说，就B截面而言，梁的强度由最大拉应力控制。第四章 弯曲应力134共二百一十三页 最大正弯矩在C截面处，若截面的下边缘处最大拉应力st,max达到st，则上边缘处的最大压应力sc,max为 ，它远小于sc故就C截面而言，梁的强度也由最大拉应力控制。第四章 弯曲应力135共二百一十三页 由以上分析可知，该梁的强度条件系受最大拉应力控制(kngzh)。至于究竟是B截面上还是C 截面上的最大拉应力控制了梁的强度，可进一步分析如下：显然(xinrn)，B截面上的最大拉应力控制了梁的强度。B截面：C截面：第四

50、章 弯曲应力136共二百一十三页 当然，这个许可荷载是在未考虑梁的自重(zzhng)的情况下得出的，但即使考虑自重(zzhng)，许可荷载也不会减少很多。 于是由B截面(jimin)上最大拉应力不得超过铸铁的许用拉应力st的条件来求该梁的许可荷载F：由此得F19200 N，亦即该梁的许可荷载为F=19.2 kN。第四章 弯曲应力137共二百一十三页dx4-5 梁横截面上的切应力梁的切应力强度(qingd)条件. 梁横截面上的切应力(yngl)(1) 矩形截面梁从发生横力弯曲的梁中取出长为dx的微段，如图所示。第四章 弯曲应力hbzyO138共二百一十三页 由于mm和nn上的弯矩不相等，故两截面

51、上对应点处的弯曲正应力s1和s2不相等。因此(ync)，从微段中用距离中性层为y且平行于它的纵截面AA1B1B假想地截出的体积元素mB1(图a及图b)，其两个端面mmA1A上与正应力对应的法向内力F*N1和F*N1也不相等。第四章 弯曲应力139共二百一十三页它们(t men)分别为第四章 弯曲应力式中， 为面积A*(图b)对中性轴z的静矩； A*为横截面上距中性轴z为y的横线AA1和BB1以外部分的面积(图b中的阴影线部分)。140共二百一十三页即由于 ，故纵截面AA1B1B上有切向内力dFS(图b)：第四章 弯曲应力141共二百一十三页 为确定离中性轴z为y的这个纵截面上与切向内力dFS对

52、应的切应力(yngl)t，先分析横截面与该纵截面的交线AA1处横截面上切应力t 的情况：第四章 弯曲应力142共二百一十三页 1. 由于梁的侧面为自由表面(图a和图b中的面mABn为梁的侧表面的一部分)，其上无切应力，故根据切应力互等定理可知(k zh)，横截面上侧边处的切应力必与侧边平行； 2. 对称弯曲时，对称轴y处的切应力必沿y轴方向(fngxing)，亦即与侧边平行。第四章 弯曲应力143共二百一十三页从而对于狭长(xichng)矩形截面可以假设：1. 横截面上各点处的切应力(yngl)均与侧边平行；2. 横截面上距中性轴等远处的切应力大小相等。zyy第四章 弯曲应力144共二百一十三

53、页 于是根据(gnj)切应力互等定理可知，距中性层为y的纵截面AA1B1B上在与横截面的交线AA1处各点的切应力t 均与横截面正交，且大小相等。至于t 在dx长度内可以认为没有变化。这也就是认为，纵截面AA1B1B上的切应力t 在该纵截面范围内是没有变化的。于是有第四章 弯曲应力145共二百一十三页 以上式代入前已得出(d ch)的式子得 根据切应力互等定理可知(k zh)，梁的横截面上距中性轴z的距离为y处的切应力t 必与t 互等，从而亦有第四章 弯曲应力146共二百一十三页矩形(jxng)截面梁横力弯曲时切应力计算公式zyyy1式中，FS为横截面上的剪力；Iz 为整个横截面对于中性轴的惯性

54、矩；b为矩形截面的宽度(与剪力FS垂直的截面尺寸)；Sz*为横截面上求切应力t 的点处横线以外部分面积对中性轴的静矩， 。第四章 弯曲应力 上式就是矩形截面(jimin)等直梁在对称弯曲时横截面(jimin)上任一点处切应力的计算公式。147共二百一十三页横截面上切应力(yngl)的变化规律 前已讲到，等直的矩形截面梁横力弯曲时，在对称弯曲情况下距中性轴等远处各点处的切应力大小相等(xingdng)。现在分析横截面上切应力t 在与中性轴垂直方向的变化规律。 上述切应力计算公式中，FS在一定的横截面上为一定的量，Iz和b也是一定的，可见t 沿截面高度(即随坐标y)的变化情况系由部分面积的静矩Sz

55、*与坐标y之间的关系确定。第四章 弯曲应力148共二百一十三页bhdy1yyzOy1第四章 弯曲应力149共二百一十三页可见(kjin)： 1. t 沿截面高度系按二次抛物线规律变化； 2. 同一横截面上的最大切应力(yngl)tmax在中性轴处(y=0):第四章 弯曲应力150共二百一十三页 例题 某空心矩形截面梁，分别按图a及图b两种方式(fngsh)由四块木板胶合而成。试求在横力弯曲时每一胶合方式(fngsh)下胶合缝上的切应力。梁的横截面上剪力FS已知。第四章 弯曲应力151共二百一十三页解：图a所示胶合方式(fngsh)下，由图可知：第四章 弯曲应力bdx(c) 152共二百一十三页

56、图b所示胶合(jioh)方式下，由图可知：第四章 弯曲应力b-2dx(d)153共二百一十三页(2) 工字形截面(jimin)梁1. 腹板上的切应力(yngl)其中第四章 弯曲应力154共二百一十三页 可见腹板上的切应力在与中性轴z垂直(chuzh)的方向按二次抛物线规律变化。第四章 弯曲应力155共二百一十三页2. 在腹板与翼缘交界处：在中性(zhngxng)轴处： 对于轧制的工字钢，上式中的 就是型钢表中给出的比值 ，此值已把工字钢截面的翼缘厚度变化和圆角等考虑在内。第四章 弯曲应力156共二百一十三页3. 翼缘上的切应力(yngl) 翼缘横截面上平行于剪力FS的切应力在其上、下边缘处为零

57、(因为翼缘的上、下表面无切应力)，可见翼缘横截面上其它(qt)各处平行于FS的切应力不可能大，故不予考虑。分析表明，工字形截面梁的腹板承担了整个横截面上剪力FS的90%以上。第四章 弯曲应力157共二百一十三页 但是，如果从长为dx的梁段中用铅垂的纵截面在翼缘上截取如图所示包含翼缘自由边在内的分离体就会发现，由于横力弯曲情况下梁的相邻横截面上的弯矩不相等，故所示分离体前后两个同样大小的部分横截面上弯曲正应力构成的合力 和 不相等，因而铅垂的纵截面上必有由切应力t1构成的合力。第四章 弯曲应力hdxA*自由边158共二百一十三页根据 可得出 从而由切应力互等定理可知，翼缘横截面上距自由边为h处有

58、平行于翼缘横截面边长的切应力t1，而且(r qi)它是随h按线性规律变化的。第四章 弯曲应力hdxA*自由边159共二百一十三页思考题: 试通过(tnggu)分析说明，图a中所示上、下翼缘左半部分和右半部分横截面上与腹板横截面上的切应力指向是正确的，即它们构成了“切应力流”。第四章 弯曲应力160共二百一十三页 例题4-20 对于由56a号工字钢制成的如图a所示简支梁，试求梁的横截面上的最大切应力(yngl)tmax和同一横截面上腹板上a点处(图b)的切应力t a 。梁的自重不计。第四章 弯曲应力161共二百一十三页 图d为该梁的剪力图，最大剪力为FS,max，存在(cnzi)于除两个端截面A

59、，B和集中荷载F 的作用点处C 以外的所有横截面上。(d)第四章 弯曲应力 解：由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图b所示，且根据型钢表有Ix=65 586 cm4和 。前者就是前面一些公式中Iz，而后者就是我们以前在求tmax公式所 。162共二百一十三页第四章 弯曲应力(d)163共二百一十三页其中(qzhng)：于是(ysh)有：164共二百一十三页腹板上切应力(yngl)沿高度的变化规律如图所示。第四章 弯曲应力tmax165共二百一十三页(3) 薄壁环形(hun xn)截面梁 薄壁环形截面梁在竖直平面内弯曲时，其横截面上切应力的特征如图a所示： 1. 由于d r0，故认为切应力t

60、 的大小和方向沿壁厚d 无变化(binhu)； 2. 由于梁的内、外壁上无切应力，故根据切应力互等定理知，横截面上切应力的方向与圆周相切；第四章 弯曲应力(a)166共二百一十三页 3. 根据与y轴的对称关系可知： (a) 横截面上与y轴相交的各点处切应力(yngl)为零； (b) y轴两侧各点处的切应力其大小及指向均与y轴对称。第四章 弯曲应力167共二百一十三页 薄壁环形截面梁横截面上的最大切应力tmax在中性轴z上，半个环形截面的面积A*=pr0d，其形心离中性轴的距离(图b)为 ，故求tmax时有第四章 弯曲应力168共二百一十三页及得出： 整个环形截面(jimin)对于中性轴z的惯性