高一数学数列综合提高知识精讲

1、高一数学数列综合提高【本讲主要内容】数列综合提高数列综合问题，数列的实际应用【知识掌握】【知识点精析】本章是高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出解决下述几个问题：(1)等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前n项和Sn ,则其通项为an, S(n=1), Sn -Sn(n2,ne N).若a1 = 满足a1 = S2 S1,则通项公式可写成a。=Sn -(2)数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.(3)解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使

2、用各种数学思想解答数 列问题，是我们复习应达到的目标.函数思想：等差等比数列的通项公式，求和公式都可以看作是n的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为 Sn = a1(1 q)(q # 1)及Sn =na(q=1);i-q已知Sn求an时，也要进行分类；整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整体思想求解.(4)在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数 学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.【解题方法指导】例1.三个正数成等差数列，它们的和等于15,如果它们分别加上1、3、9就成等

3、比数列,求这三个数.分析：利用等差数列及等比数列的性质.解：设这三个正数分别为 a-d,a,a+d,其中d为公差，则有(a -d) a (a d) =15,. a =5由题意可得，(5-d +1)M(5 + d +9) = (5 + 3)2例(6d)M(14 + d) = 64,解得d =2,或d = 10,由题意d = 10,舍.故这三个正数分别为 3, 5, 7.例2.(2005北京文17)数列 2 ),得 Hn 书=二 Hn (n2),333一 11 4 一 一又 a1=,所以 an=-(-)n(n 2),3 n 3 3 HYPERLINK l bookmark30 o Current

4、Document 1n =1数列Gn的通项公式为an= 4 n/,3(3)口 ？(II )由(I)可知a2,a4,|,a2n是首项为1, , , 4 21 ,公比为(4)2,项数为n的等比数歹U,33a?1142na4a6 III a2n =q33 Y23=3(4)2n7 3-1-例3.已知等差数列 an的前n项的和为Sn,且a2=1, S1 =33.(I)求 an的通项公式；1、a(II )设bn = ( 一)n ,求证：数列bn为等比数列;2分析：利用等差数列的前n项和的公式.(I)解：由题意可得，&1=11(a1a11)=11(a2+a10), 22得 a10 = 5.1ao a2 8d

5、，d 2,八、，八、1 n,an =a2 +(n-2)d =1 + (n2)父一=一.1 n1(2)2, TOC o 1-5 h z 22,、1a1c(II )证明：bn = ( - ) n,bn = ( )2 ,22bn 1bn1 n (2)2，1 人，勺。，而6”2-2 一 ,222，数列bn是以三为首项，以 三为公比的等比数列.22【考点突破】【考点指要】高考试题中考查数列知识的解答题多是综合性问题，常将数列与函数、方程、不等式、 三角、解析几何等内容综合起来考查.考查形式多样，可以是小题(选择题、填空题)，也可以是大题形式出现，所占的分值为514分.(1)探索性问题在高考中出现的频率较

6、高，一般有两种形式：不知问题的结论，需经过自己去发现、 去探索，从而得出结论.具体的思维过程是“观 察分析一一归纳假设一一推理论证”.其中观察分析是基础，猜想是关键.“是否存在”型问题.解决这类问题的思路是：假设满足题设条件的对象存在，在此 基础上，或寻找出对象存在的条件，从而肯定假设，或推导出与题设或事实矛盾的结论，从 而推翻假设.(2)数列型应用问题也是高考考查的热点，解题思想主要有以下几点：读题分析哪些构成等差数列，哪些构成等比数列，有无递推关系式；明确是求数列通项，还是求数列前 n项和，还是求递推公式；将问题转化成数列问题解决.【典型例题分析】例1. (2005上海卷理20题)假设某市

7、2004年新建住房400万平方米，其中有 250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?解：(1)设中低价房面积形成数列 an,由题意可知an是等差数列，其中 a1 =250,d =50 ,则 Sn =250n + n(n-1) x50-25n2 +225n,2令 25n2 +225n 之4750,即 n2

8、 +9n -190 之 0,而 n 是正整数，.n 2 10.到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列bn,由题意可知bn是等比数列，其中匕=400, q =1,08，则 bn =400(1.08)n4.由题意可知 an 0.85bn ,有 250 +(n1) 50 400(1.08)n, 0.85由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n =6.到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%评述：本题主要考查学生运用所学数列知识解决实际问题的能力，以及数学建模能力.例2. ( 2005全国卷n文18

9、题) 已知an是各项为不同的正数的等差数列，1lg a1,lg a2,lga4成等差数列，又 bn =,n=1, 2, 3. a2n(I)证明为等比数列；(n)如果数列 tn 前3项的和等于,求数列an)的首项&和公差d .24(I)证明：- lg a，lg a2,lg a4成等差数列,21gs二七勺十也外,即后工的由又设等差数列 n的公差为d,则(a1 +d)2 =ai(a1 +3d),解得 d2 = a1d ,从而 d(d a1) =0，丁 d = 0,d = a1 = 0,而)r = 为 + (2* -= 2 d TOC o 1-5 h z L 11 1 HYPERLINK l book

10、mark40 o Current Document 久=r叼 d 2a因此， &n是首项b1 =1，公比为工的等比数列.2d21.11.7(II )斛：- b1 +b2 +b3 = (1 +一十一)=, HYPERLINK l bookmark47 o Current Document 2d2424 d = 3.% 二 3例3. (2005湖南卷理20题)自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资 源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用xn表示某鱼群在第 n年- . . . * . . . - 、 . . . . . .年初的总量，nC N,且X10.不考虑其它因素

11、，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与Xn成正比，死亡量与 Xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a, b, c.(I)求Xn+1与Xn的关系式；(n)猜测：当且仅当 X1, a, b, c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？ (不要求证明)(III )设a=2, b=1,为保证对任意 X1C (0, 2),都有Xn0, nCN*,则捕捞强度b 的最大允许值是多少？ 证明你的结论.解：(I)从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为aXn,被捕捞量为bXn,死亡量为CX2因此Xn 1 -Xn = aXn -bXn - CX2, n N * .(*)即Xn 1 = Xn(a -b 1 一C

12、Xn), n N * .(*)(II )若每年年初鱼群总量保持不变，则Xn恒等于X1, n C N*,从而由(*)式得a bXn(a -b CXn)恒等于 0,n = N*,所以 a -b -CX1 = 0即X1 =.c因为X10,所以ab. a - b 猜测：当且仅当ab,且x1 =9时，每年年初鱼群的总量保持不变.c(出)若b的值使得Xn0, nCN*由 Xn+1=Xn (3bXn), n C N*,知0Xn3 b, n C N*, 特别地，有 0X13b. 即 0Vb0.又因为 Xk+1=Xk ( 2 Xk) 二 ( Xk 1 ) 2+1 10, n C N*,则捕捞强度b的最大允 许值

13、是1.评述：本题考查函数、数列的递推关系、 不等式以及数学归纳法等基础知识，考查知识 的综合运用和解决问题的创新能力.切入点是递推关系的得出，以及对b通过特殊情况的猜出.【综合测试】一、选择题： TOC o 1-5 h z .已知等差数列an中，a7+a9 =16,a4 =1，则a2的值是()A. 15B. 30C. 31D. 64.如果as a 2,，a8为各项都大于零的等差数列，公差 dw0,则有()A. a Qa4a5 B. a Qa4+a5D. a Q=a4a5.设S是等差数列aj的前n项和，若&=35,则24=()A. 8B. 7C. 6D. 5.设an 是公差为正数的等差数列，若a

14、 +a2 +a3 =15 , a1a2a3 = 80 ,则a1 1 . a12- a 1 于A. 120B. 105C. 90D. 75.若2a =3 , 2b =6, 2c =12 ,则数列 a,b,c ()A.是等差数列但不是等比数列C.是等差数列又是等比数列B.是等比数列但不是等差数列D.既不是等差数列又不是等比数列6.已知数列12，乂成等差数列,IhbhY成等比数列,则a2 a1的值是b2B.-21 5 1C. 一或一22D. 12二、填空题：.数列Gn , I 满足an bn = 1e0 = n2 +3n + 2,则bn )的前10项和等于 .若a0,数列loga,10g3占a,10

15、g4a, ,的和大于90,则该数列至少有 项, TOC o 1-5 h z 2a1.数列an中，an+=(n = N*),右a7 =一，则 a6 =.2 a。2.等差数列an中，0 = 36, S3 = 104,等比数列bn中，bs=a5，b7=a7,则 b6 =.、解答题.已知数列an满足 a1 =4,an =4 (n 2), bn =. anan/(I)求证：数列&n是等差数列；(II)求数列an的通项公式.(2005湖南卷文16题)已知数列log 2(an 1)(n wN*)为等差数列，且a1 =33 =9.(i)求数列an的通项公式；(n)证明+a2 - a1 a3 - a2an 1

16、- an综合测试答案、选择题:1. A提示：利用等差数列的性质，若m+n=p+q则aman a p aq2. BD提示:利用等差数列的前n项和公式Snn(ai an)BAA提示:提示:利用等差中项的性质.利用等差中项及等比中项的性质.二、填空题:57. 12解析：因为 anbn =1,an = (n 1)(n - 2),所以bn(n 1)(n 2) n 1 n 2一 111111于无 bn 的前 10 项和 S10 = ( )+( ) + + ()2 33 411 122 12 128. 13解析：an = logn 1a a = n . 1,Snn(2 n 1)n2 3n90, n 12, 2所以至少有13项.23提示：利用递推公式进行计算._4、，2三、解答题(I)证明：由an一2d处三an Janan则an 4(a。-2) 2ani2(an4 -2)2(an 工-2)2an2,1所以一anl an 21一，即 bn bn2又b1=a1 -2所以bn 是以1为首项,2(II )解：由(I