高一数学平面向量复习资料必修4

1、高一数学平面向量复习资料1、向量有关概念：(1)向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注当 不能说个量就是有向线段 ,为什么？(向量可以平移)。如已知A (1,2), B (4,2),则把 向量AB按向量1 = ( 1,3 )平移后得到的向量是 (答：(3,0)(2)零向量：长度为0的向量叫零向量，记作： 0,注意零向量的方向是任意的；_(3)单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是 十上B)；_|AB|(4)相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；(5)平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反

2、的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a/ b ,规定零向量和任何向量平行 。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行包含两个向量共线C共线u灌AC共线；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：但两条直线平行不包含两条直线手合；平行向量无传递性！(因为有0);三点A、B、a的相反向量是一a (6)相反向量：长度等q向相与的量叫做相反向量。(3)=DC。如下列命题：(1)若月，则a =b。(2)两个向量相等则它们的起点相同，终点相同。若TB =，C邛 ? 是q亍四边形。,q4 AD 芈邛四边形，则定 (5)若 a =bb , c ,贝U a = c。( 6)若 a/b

3、ib/ c ,贝U ac。其中正确的是 (答：(4) (5)2、向量的表示方法：(1)几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB,注意起点在前， 终点在后；(2)符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 , b, 2等；(3)坐标表示法： 在平面内建立直角坐标系，以与，x轴、y轴方向相同的两个单位向量i , j为基底，则平面内的任f43 jffT一向量a可表示为a = xi + yj =(x, y ),称(x, y )为向量a的坐标，a = (x, y )叫做向量a的坐标 表示。如果 向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3.平面向量的基本定理：如果e和e2是同一平面内的两

4、个 不共线向量，那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数丸1、% ,使a=e1+ K&。14 3.如(1) a =(1,1),b = (1,1),c =(1,2),则 c = (答：a b )；22T T(2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. e =(0,0), e2 =(1,-2) B. TOC o 1-5 h z T TT T T 1 3.e =(1,2), % =(5,7)C. e1=(3,5),% =(6,10)D. e1 =(2,3)=(一,)(答:B)；244、实数与向量的积：实数九与向量a的积是一个向量，记作 a a,它的长度和方向规定如下：44一一一_(1

5、)1-a =|艮| a , (2 )当人0时，a a的方向与a的方向相同，当九0时，九a的方向与a的方向相4 4一反，当九=0时，九a=0,注意：九aw。5、平面向量的数量积 ：|(1)两个向量的夹角：对于非零向量a, b,作OA = a,OB=b, /AOB=e(0 9)称为向量a , b的夹角，当H = 0时，a, b同向，当日=几时，a, b反向，当日=2时，a , b垂直。4 4(2)平面向量的数量积：如果两个非零向量 a, b,它们的夹角为日，我们把数量|a|b|cos9 b = a|b cose。规定：零向量与任叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：a.6,即a一向量的数量积是

6、 0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量如（1） 已知 ABC中，|AB|=3, |记|=4,a =2，W =5,晶=-3 ,则 a + b前|=5,（答：则 AB BC =疹）；9)；(3)已知a,b是两个非零向量，且则a与a + b的夹角为_ （答30）b在a上的投影为|b| cose ,它是一个实数，但不一定大于0。如已知| a |=3, | b |=5 ,且a，b =12 ,则向量a在向量b上的投影为12、)5ab的几何意义：数量积a *b等于a的模|a|与b在a上的投影的积。向平数J积4生芈：设两个非零向量 a , b , a _L b。a b = 0；当a , b同向时，a *

7、b =2,4口山 屯 4 4a b ,特力1J地，a = aa二a/i4j4t,a =Va ；当a与b反向时,b ；当日为锐角时，a b 0,且a、b不同向;当日为钝角时，ab0,且a b不反向,a b 0是日为钝角的必要非充分条件非零向量a, b夹角8的计算公式:a ,bcosd =而% ； |a *b |a|b|。如（1）已知a =（%2儿），b =（3%2）,如果a与b的夹角为锐角，则九的取值范围是儿 一4或九A 0且儿/工）； TOC o 1-5 h z 33.3一 （2）已知AOFQ的面积为S ,且OF FQ =1 ,若一S 0 ,用k表木a b ；求a b的取小值，并求此时 a与b

8、的夹角8的. k2 11大小（答：a b=（k0）；最小值为一，日=60“基本不等式的运用）4k26、向量的运算：（1）几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但 U行日鸣t贝士”只适用于不与的向%,.如4之彳，叫力半吧 “三角形法则”：设AB = a,BC = b，那么向量AC叫做a与b的和,即 a+b = AB + BC=AC;i T -向量的减法：用“三角形法则”：设AB. = a,AC = b,那么a b = AB AC = CA,由减向漏一元一乱量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量彳被减量的起点相同。如 （1 ） 化简： AB+BC+CD=；(AB -CD) -(AC

9、 -BD)=AD ； CB； 0)；(答：2屁),则ABC的形(3)若O是|_|ABC所在平面内一点，且满足 状为 (答：直角三角形)；一， T - e J T (2)若正万形 ABCD 的边长为 1, AB=a,BC = b,AC = c，则 |a + b + c| = _OB-OC =|OB+OC-2OA,44)若D为AABC的边BC的中点, 设 屿！ = ?则的值为 (答：2)；ABC所在平面内有一点 P ,满足 pA+bp + cp=0,|PD|(5)若点。是ABf的外心，为 OA+OB+CO，则 ABC的内角C为(答：1200);(2)坐标运算：设 a = (q, yjb =(x2,

10、 y2),则：向量的加减法运算：a 土b = (x1x2, y1y2)。如(1)已知点 A(2,3), B(5,4) , C(7,10),若 AP =AB +AC(九w R),则当儿=时，点11P在第一、二象限的角平分线上(答：；)；(2)已知A(2,3), B(1,4)，且、AB=(sin x,cos y),JF JT-JTx,yW(，L),则x+y= (答：或一)；(3)已知作用在点 A(1,1)的三个力T2-2T6 T 2F1 =(3,4), F2=(2,F3=1),则合力 F =弓 +F2+F3 的终点坐标是 (答：(9,1) 实数与向量的积：九a =九(乂1, y1 )= (Kx1,

11、八乂)。若A(x1,yJB(x2,y2),则AB = (x2 x1, y2 y1)，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设A(2,3), B(1,5),且NC = 1AB, AD =3AB ,则C D的3坐标分别是一 110”(-7,9)；平面向量数量积：a,b = x1x2+y1y2。如已知向量 a = (sinx , cosx) , b = ( sinx , sinx ),一冗、- fc= (1, 0)。若x=求向量a、c的夹角；向量的模：| a |= Jx2 + y2, a =| a |2 = x2 +* T Tj60,那么 |a+3b|= (答：J13)

12、；(答：150;);如已知a,b均为单位向量，它们的夹角为两点间的距离：若 A(x, ,y1 ),B(x2, y2 ),则 | AB|= x2 -x1 j + (y2 - y1 j 。 4，才7、向量的运算律：(1)交换律：a + b = b+a,儿(Ra)=(，M)a, a,b = b,a ; (2)结合律:a+b+c =(a+b )+c,a-b-c = a-(b+c ), (?a ),b = “a b )= a(九b ); (3)分配律： ja 二a :!l-a, a b a b, a b ,c acbc。T T T TT TTT TT TT T如 下列命 题中： a b-c) = a b

13、-a c ; a (b c) = (ab) , c ; 2-2 . . I 一_ J T T 一(a-b) a |12|a| b|+|b| ； 若 a 匕=0,则 a = 0或 b =0；若 a b = c b,则 a = c ；+2 abb22 *2*2a =a ； 咤-=耳；(a b) =a b ；(a -b) =a -2a b +b 。其中正确的是 (答: a a)提醒：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边 平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；(

14、2)向量的“乘法”不满足结合律 ，即a(b c) =(a *b)c,为什么？.8、向量平行(线)：a,b= a = K 如(1)若向量 a =(x,1),b =(4,x),当 x =(2)已知 a=(1,1),b = (4,x) , u =a +2b , 设 PA一二，- 一、T-.22一U (a b) =(|a |b|) u “2=0。时a与b共线且方向相同(答：2)； V=22+b,且 U/V ,贝U x= (答：4); (3)= (k,12),PB=(4,5), PC=(10,k),则 k=_0寸,A,B,C 共线(答：一2 或 11)3(答:3)；29、向量垂直的充要条件： Uu 2

15、b = 0。|2+。|=|，_日|仁x1x2 + y1y2 = 0 .特别地如(1)已知 Oa=(-1,2),OB =(3,m),若 OA_lOB，则 m =(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB /B=90=则点B的坐标是(答：(1,3)或(3, 1); tt则m的坐标是(答：(b, t)或(b, a)(3)已知 n =(a,b),向量 n _L m ,且 n =10.线段的定比分点(1)定比分点的概念：设点P是直线PF2上异于PrP2的任意一点，若存在一个实数 九， 1 2 12使PP =?PP2,则九叫做点P分有向线段P1P2所成的比，P点叫做有向线段PP2的以定比

16、为九的定 比分点；(2)九的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段P 1P2上时仁 九0；当P点在线段P1P2的延长线上时二 九1；当P点在线段P2 Pl的延长线上时仁-1儿0；若点P分有向线13段PP2所成的比为 九，则点P分有向线段P2Pl所成的比为一。如若点P分AB所成的比为3 ,则A4分银所成的比为 (答：-7)3-Ix x22y1 + y2。在使用定比2(3)线段的定比分点公式：设Ry)、F2(x2,y2), P(x,y)分有向线段PP2所成的比为人，x _ .X2则1,特别地，当九=1时，就得到线段P1P2的中点公式v 小 y = TOC o 1-5 h z y 1分点的坐标公

17、式时，应明确(x, y),(为j)、(x2,y2)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比九。17如(1)若 M (-3, -2), N (6, -1),且 MP=- MN,则点 P 的坐标为(答：(-6,);331(2)已知A(a,0),B(3, #a),直线y=1ax与线段AB交于M ,且AM =2MB ,则a等于 2 (答：2 或4).11.平移公式：如果点P(x, y)按向量a = (h, k)平移至P(x,y),则x：=xh；曲线 .y = y kf(x,y) =0按向量a=(h,k)平移得曲线f (x

18、 h, y k) = 0 .注意：(1)函数按向量平移与平常 “左加右减”有何联系？ 4 (2)向量平移具有坐标不变性，可别事了啊！如(1)按向量a把(2,-3)平移到(1,2),则按向量a把点(7,2)平移到点 (答：(一8,3)；(2)函数y =sin2x的图象按向量 二平移后，所得函数的解析式是y = cos2x + 1,则W =一(答：(-,1)4(1) 一公封闭甲形目尾号接可成的中量和为零 . ：| + |,特别地，当向量，:芍运用;|a b|=|a| JbJ|12、向量中一些常用的结论一了泮心#by 工& 与反向或有 0 u | a-b |=|a | + |b | A |a | |b 卜|a + b |;当 a、b不共线u |a |-|b |a士b |a |+ |b (这些和实数比较类似).X2 X3 yi y2 y3(3 )在MBC中，若A(x, y1 ),B(x2, y2 ),C(x3,y3),则其重心的坐标为。如若/ABC的三边的中点分别为(2, 1)、(-3, 4)、-1 ),则ABC的重心的坐标为, 2 4(-3,3)1PG =1(PA + PB + PC) u G 为 AABC 的重心，特别地 PA+ PB+ PC4 u 3pAu P为AABC的垂心;MBC 坪 J t T TPA PB =