高考数学全程复习知识点同步学案第八章 平面解析几何 双曲线

1、第6讲双曲线1双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为常数2a(02a2c)，则点P的轨迹叫双曲线这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a、c为常数且a0，c0：(1)当ac时，P点的轨迹是双曲线；(2)当ac时，P点的轨迹是两条射线；(3)当ac时，P点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴，对称中心

2、：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yeq f(b,a)xyeq f(a,b)x离心率eeq f(c,a)，e(1，)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2a2b2(ca0，cb0)做一做1(x高考课标全国卷)已知双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,3)1(a0)的离心率为2，则a()A2B.eq f(r(6),2)C.eq f(r(5),2) D1答案：D2已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3，0)，

3、离心率等于eq f(3,2)，则C的方程是()A.eq f(x2,4)eq f(y2,r(5)1 B.eq f(x2,4)eq f(y2,5)1C.eq f(x2,2)eq f(y2,5)1 D.eq f(x2,2)eq f(y2,r(5)1答案：B1辨明三个易误点(1)双曲线的定义中易忽视2a|F1F2|这一条件若2a|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a|F1F2|，则轨迹不存在(2)区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.(3)双曲线的离心率e(1，)，而椭圆的离心率e(0，1)2求双曲线标准方程的两种方法

4、(1)定义法根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a，b，c，即可求得方程(2)待定系数法与双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1共渐近线的可设为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)(0)；若渐近线方程为yeq f(b,a)x，则可设为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)(0)；若过两个已知点，则可设为eq f(x2,m)eq f(y2,n)1(mn0)3双曲线几何性质的关注点双曲线的几何性质可从以下三点关注：(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点；(2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的

5、三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形做一做3“k9”是“方程eq f(x2,9k)eq f(y2,k4)1表示双曲线”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析：选B.当k9时，9k0，k40，方程表示双曲线当k4时，9k0，k40，方程也表示双曲线“k9”是“方程eq f(x2,9k)eq f(y2,k4)1表示双曲线”的充分不必要条件4(x高考北京卷)设双曲线C经过点(2，2)，且与eq f(y2,4)x21具有相同渐近线，则C的方程为_；渐近线方程为_解析：设双曲线C的方程为eq f(y2,4)x2，将点(2，2)代入上式，得3，C的方

6、程为eq f(x2,3)eq f(y2,12)1，其渐近线方程为y2x.答案：eq f(x2,3)eq f(y2,12)1y2xeq avs4al(考点一)_双曲线的定义_(1)(x高考大纲全国卷)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2 ，点A在C上若|F1A|2|F2A|，则cosAF2F1()A.eq f(1,4)B.eq f(1,3)C.eq f(r(2),4) D.eq f(r(2),3)(2)P是双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)右支上一点，F1，F2分别为左、右焦点，且焦距为2c，则PF1F2的内切圆圆心M的横坐标是()Aa BbCc Dabc解

7、析(1) 由eeq f(c,a)2，得c2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|F2A|2a，又|F1A|2|F2A|，故|F1A|4a，|F2A|2a，cosAF2F1eq f(（4a）2（2a）2（4a）2,24a2a)eq f(1,4). (2)如图，内切圆圆心M到各边的距离分别为MA，MB，MC，切点分别为A，B，C，由三角形的内切圆的性质则有：|CF1|AF1|，|AF2|BF2|，|PC|PB|，|PF1|PF2|CF1|BF2|AF1|AF2|2a，又|AF1|AF2|2c，|AF1|ac，则|OA|AF1|OF1|a.M的横坐标和A的横坐标相同 答案(1)A(2)A本例(1)中双

8、曲线方程变为x2eq f(y2,3)1，若点A在C上，|F1A|2|F2A|不变，求cosAF2F1的值解：如图，由双曲线的定义得|F1A|F2A|2，又|F1A|2|F2A|，故|F1A|4，|F2A|2，cosAF2F1eq f(422242,242)eq f(1,4).规律方法(1)在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支若是双曲线的一支，则需确定是哪一支(2)在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点另外，还经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|PF2|的联系1.(1)已知ABP的顶点A，B分

9、别为双曲线eq f(x2,16)eq f(y2,9)1的左，右焦点，顶点P在双曲线上，则eq f(|sin Asin B|,sin P)的值等于()A.eq f(4,5)B.eq f(r(7),4)C.eq f(5,4) D.eq r(7)(2)已知双曲线x2y21，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则|PF1|PF2|的值为_解析：(1)在ABP中，由正弦定理知eq f(|sin Asin B|,sin P)eq f(|PB|PA|,|AB|)eq f(2a,2c)eq f(8,10)eq f(4,5).(2)设P在双曲线的右支上，|PF1|2x，|PF2|x(x

10、0)，因为PF1PF2，所以(x2)2x2(2c)28，所以xeq r(3)1，x2eq r(3)1，所以|PF2|PF1|2eq r(3).答案：(1)A(2)2eq r(3)eq avs4al(考点二)_求双曲线的标准方程_(1)(x东北三校联合模拟)与椭圆C：eq f(y2,16)eq f(x2,12)1共焦点且过点(1，eq r(3)的双曲线的标准方程为()Ax2eq f(y2,3)1 By2eq f(x2,f(1,2)1C.eq f(y2,2)eq f(x2,2)1 D.eq f(y2,3)x21(2)(x高考江西卷)过双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1的右顶点

11、作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.eq f(x2,4)eq f(y2,12)1 B.eq f(x2,7)eq f(y2,9)1C.eq f(x2,8)eq f(y2,8)1 D.eq f(x2,12)eq f(y2,4)1解析(1)椭圆eq f(y2,16)eq f(x2,12)1的焦点坐标为(0，2)，(0，2)，设双曲线的标准方程为eq f(y2,m)eq f(x2,n)1(m0，n0)，则eq blc(avs4alco1(f(3,m)f(1,n)1,mn4)，解得mn2.双曲线的标准方程为

12、eq f(y2,2)eq f(x2,2)1.(2)由eq blc(avs4alco1(xa，,yf(b,a)x，)得eq blc(avs4alco1(xa，,yb，)A(a，b)由题意知右焦点到原点的距离为c4，eq r(（a4）2（b）2)4，即(a4)2b216.而a2b216，a2，b2eq r(3).双曲线C的方程为eq f(x2,4)eq f(y2,12)1.答案(1)C(2)A规律方法求双曲线的标准方程的基本方法是定义法和待定系数法待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值2.求适合下列条件的双曲线的

13、标准方程：(1)虚轴长为x，离心率为eq f(5,4)；(2)焦距为26，且经过点M(0，x)解：(1)设双曲线的标准方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1或eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(a0，b0)由题意知，2bx，eeq f(c,a)eq f(5,4)，b6，c10，a8.双曲线的标准方程为eq f(x2,64)eq f(y2,36)1或eq f(y2,64)eq f(x2,36)1.(2)双曲线经过点M(0，x)，M(0，x)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且ax.又2c26，c13.b2c2a225.双曲线的标准方程为eq f(y2,144)eq f

14、(x2,25)1.eq avs4al(考点三)_双曲线的几何性质(高频考点)_双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题高考对双曲线的几何性质的考查主要有以下四个命题角度：(1)求双曲线的离心率(或范围)；(2)求双曲线的渐近线方程；(3)求双曲线方程；(4)求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长(1)(x高考x卷)若实数k满足0k0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|PF2|)2b23ab，则该双曲线的离心率为()A.eq r(2) B.eq r(15)C4 D.eq r(17)(3)(x高考x卷)已知ab0，椭圆C

15、1的方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1，双曲线C2的方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1，C1与C2的离心率之积为eq f(r(3),2)，则C2的渐近线方程为()Axeq r(2)y0 B.eq r(2)xy0Cx2y0 D2xy0双曲线及其几何性质解析(1)因为0k0，b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于eq r(3)，过右焦点F2的直线l交双曲线于A、B两点，F1为左焦点(1)求双曲线的方程；(2)若F1AB的面积等于6eq r(2)，求直线l的方程解(1)依题意知，beq r(3)，eq f(c,a)2a1，c2，双曲线的方程为x2eq f(y2

16、,3)1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知F2(2，0)易验证当直线l斜率不存在时不满足题意，故可设直线l：yk(x2)，由eq blc(avs4alco1(yk（x2），,x2f(y2,3)1，)消元得(k23)x24k2x4k230，直线l与双曲线有两个交点，keq r(3)，x1x2eq f(4k2,k23)，x1x2eq f(4k23,k23)，y1y2k(x1x2)，F1AB的面积Sc|y1y2|2|k|x1x2|2|k|eq f(r(16k44（k23）（4k23）),|k23|)x|k|eq f(r(k21),|k23|)6eq r(2).得k48k290，

17、则k1.所以直线l的方程为yx2或yx2.规律方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题. 4.(x铜陵模拟)若双曲线E：eq f(x2,a2)y21(a0)的离心率等于eq r(2)，直线ykx1与双曲线E的右支交于A，B两点(1)求k的取值范围；(2)若|AB|6eq r(3)，求k的值解：(1)由eq blc(avs4alco1(f(c,a)r(2),a2c21)，得eq blc(avs4alco1(a21，,c22

18、，)故双曲线E的方程为x2y21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq blc(avs4alco1(ykx1，,x2y21，)得(1k2)x22kx20.直线与双曲线右支交于A，B两点，故eq blc(avs4alco1(k1，,（2k）24（1k2）（2）0，)即eq blc(avs4alco1(k1，,r(2)kr(2)，)所以1keq r(2).(2)由得x1x2eq f(2k,k21)，x1x2eq f(2,k21)，|AB|eq r(1k2)eq r(（x1x2）24x1x2)2eq r(f(（1k2）（2k2）,（k21）2)6eq r(3)，整理得28k455k2250，

19、k2eq f(5,7)或k2eq f(5,4).又1keq r(2)，keq f(r(5),2).方法思想方程思想在求离心率中的应用设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.eq r(2)B.eq r(3)C.eq f(r(3)1,2) D.eq f(r(5)1,2)解析设双曲线方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)，不妨设一个焦点为F(c，0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFBeq f(b,c).又渐近线的斜率为eq f(b,a)，所以由直线垂直关系得(eq f(b,c)eq f(b,a)1(

20、eq f(b,a)显然不符合)，即b2ac，又c2a2b2，所以c2a2ac，两边同除以a2，整理得e2e10，解得eeq f(r(5)1,2)或eeq f(1r(5),2)(舍去)答案D名师点评(1)本题利用方程思想，将已知条件转化为关于a，c的方程，然后求出离心率e.(2)求解椭圆、双曲线的离心率或离心率的取值范围的方法通常是根据条件列出关于a，c的齐次方程或不等式，然后再转化成关于e的方程或不等式求解已知点F是双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的

21、离心率e的取值范围是_解析：根据对称性，只要AEFeq f(,4)即可由题意，知F(c，0)，直线AB的方程为xc，将xc代入双曲线方程，得y2eq f(b4,a2)，取点A(c，eq f(b2,a)，则|AF|eq f(b2,a)，|EF|ac，只要|AF|EF|就能使AEFeq f(,4)，即eq f(b2,a)acb2a2acc2ac2a20e2e20，解得1e1，故1e0)与双曲线eq f(x2,4)eq f(y2,3)1有相同的焦点，则a的值为()A.eq r(2) B.eq r(10)C4 D.eq r(34)解析：选C.因为椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,9)1(a0)

22、与双曲线eq f(x2,4)eq f(y2,3)1有相同的焦点(eq r(7)，0)，则有a297，a4.3(x高考课标全国卷)已知F为双曲线C：x2my23m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A.eq r(3) B3C.eq r(3)m D3m解析：选A.双曲线C的标准方程为eq f(x2,3m)eq f(y2,3)1(m0)，其渐近线方程为y eq r(f(3,3m)xeq f(r(m),m)x，即eq r(m)yx，不妨选取右焦点F(eq r(3m3)，0)到其中一条渐近线xeq r(m)y0的距离求解，得deq f(r(3m3),r(1m)eq r(3).4(xx开

23、封模拟)设F1，F2分别为双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左，右焦点若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为()A.eq f(4,3) B.eq f(5,3)C.eq f(5,4) D.eq f(r(41),4)解析：选B.易知|PF2|F1F2|2c，所以由双曲线的定义知|PF1|2a2c，因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，所以(ac)2(2a)2(2c)2，即3c22ac5a20，两边同除以a2，得3e22e50，解得eeq f(5,3)或e1(舍去)5(x兰州市、张

24、掖市高三联考)已知双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为()A.eq f(x2,16)eq f(y2,9)1 B.eq f(x2,3)eq f(y2,4)1C.eq f(x2,9)eq f(y2,16)1 D.eq f(x2,4)eq f(y2,3)1解析：选C.由题意知，圆的半径为5，又点(3，4)在经过x、三象限的渐近线yeq f(b,a)x上，因此有eq blc(avs4alco1(a2b225,43f(b,a)，解得eq blc(avs4alco1(

25、a3,b4)，所以此双曲线的方程为eq f(x2,9)eq f(y2,16)1.6已知双曲线eq f(x2,9)eq f(y2,a)1的右焦点的坐标为(eq r(13)，0)，则该双曲线的渐近线方程为_解析：依题意知(eq r(13)29a，所以a4，故双曲线方程为eq f(x2,9)eq f(y2,4)1，则渐近线方程为eq f(x,3)eq f(y,2)0.即2x3y0.答案：2x3y0或2x3y07(xx六市六校联盟模拟)如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点若AB4，BC3，则此双曲线的标准方程为_解析：设双曲线的标准方程为eq f(x2,

26、a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)由题意得B(2，0)，C(2，3)，eq blc(avs4alco1(4a2b2，,f(4,a2)f(9,b2)1，)解得eq blc(avs4alco1(a21，,b23，)双曲线的标准方程为x2eq f(y2,3)1.答案：x2eq f(y2,3)18(x武汉模拟)已知F1，F2分别是双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点若eq f(|PF1|2,|PF2|)8a，则双曲线的离心率e的取值范围是_解析：设|PF2|y，则(y2a)28ay(y2a)20y2acaeeq f(c,a

27、)3.答案：(1，39已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2y210相交于点P(3，1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程解：切点为P(3，1)的圆x2y210的切线方程是3xy10.双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，两渐近线方程为3xy0.设所求双曲线方程为9x2y2(0)点P(3，1)在双曲线上，代入上式可得80，所求的双曲线方程为eq f(x2,f(80,9)eq f(y2,80)1.10已知离心率为eq f(4,5)的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为2eq r(34).(1)求椭圆及双曲线

28、的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A、B，在x象限内取双曲线上一点P，连结BP交椭圆于点M，连结PA并延长交椭圆于点N，若eq o(BM,sup6()eq o(MP,sup6()，求四边形ANBM的面积解：(1)设椭圆方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，则根据题意知双曲线的方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1且满足eq blc(avs4alco1(f(r(a2b2),a)f(4,5)，,2r(a2b2)2r(34)，)解方程组得eq blc(avs4alco1(a225，,b29.)椭圆的方程为eq f(x2,25)eq f(y2,9)1，双曲线

29、的方程为eq f(x2,25)eq f(y2,9)1.(2)由(1)得A(5，0)，B(5，0)，|AB|10，设M(x0，y0)，则由eq o(BM,sup6()eq o(MP,sup6()，得M为BP的中点，所以P点坐标为(2x05，2y0)将M、P坐标代入椭圆和双曲线方程，得eq blc(avs4alco1(f(xeq oal(2,0),25)f(yeq oal(2,0),9)1，,f(（2x05）2,25)f(4yeq oal(2,0),9)1，)消去y0，得2xeq oal(2,0)5x0250.解得x0eq f(5,2)或x05(舍去)y0eq f(3r(3),2).由此可得M(e

30、q f(5,2)，eq f(3r(3),2)，P(10，3eq r(3)则直线PA的方程是yeq f(3r(3),5)(x5)，代入eq f(x2,25)eq f(y2,9)1，得2x215x250.解得xeq f(5,2)或x5(舍去)，xNeq f(5,2)，则xNxM，所以MNx轴S四边形ANBM2SAMB2eq f(1,2)10eq f(3r(3),2)15eq r(3).1(x唐山市高三年级统考)已知双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的焦点为F1，F2，且C上点P满足eq o(PF1,sup6()eq o(PF2,sup6()0，|eq o(PF1

31、,sup6()|3，|eq o(PF2,sup6()|4，则双曲线C的离心率为()A.eq f(r(10),2) B.eq r(5)C.eq f(5,2) D5解析：选D.依题意得，2a|PF2|PF1|1，|F1F2|eq r(|PF2|2|PF1|2)5，因此该双曲线的离心率eeq f(|F1F2|,|PF2|PF1|)5.2(x山西阳泉高三x次诊断)已知F1、F2分别为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在双曲线C上，且F1PF260，则|PF1|PF2|等于()A2 B4C6 D8解析：选B.由题意知a1，b1，ceq r(2)，|F1F2|2eq r(2)，在PF1F2中，由余弦定

32、理得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|28，即|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|8，由双曲线定义得|PF1|PF2|2a2，两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4，得|PF1|PF2|4.3(xx杭州调研)双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1和F2，左、右顶点分别为A1和A2，过焦点F2与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，若|eq o(PA1,sup6()|是|eq o(F1F2,sup6()|和|eq o(A1F2,sup6()|的等比中项，则该双曲线的离心率为_解析：由题意可

33、知|eq o(PA1,sup6()|2|eq o(F1F2,sup6()|eq o(A1F2,sup6()|，即eq blc(rc)(avs4alco1(f(b2,a)eq sup12(2)(ac)22c(ac)，化简可得a2b2，则eeq f(c,a)eq r(f(c2,a2)eq r(f(a2b2,a2)eq r(2).答案：eq r(2)4已知c是双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的半焦距，则eq f(bc,a)的取值范围是_解析：eq f(bc,a)eq f(r(c2a2)c,a)eq r(e21)eeq f(1,r(e21)e)，由于e1，且函数f(e

34、)eq f(1,r(e21)e)在(1，)上是增函数，那么eq f(bc,a)的取值范围是(1，0)答案：(1，0)5(x湛江模拟)已知双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的右焦点为F(c，0)(1)若双曲线的一条渐近线方程为yx且c2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在x象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为eq r(3)，求双曲线的离心率解：(1)双曲线的渐近线方程为yeq f(b,a)x，ab，c2a2b22a24，a2b22，双曲线方程为eq f(x2,2)eq f(y2,2)1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，直线AO

35、的斜率满足eq f(y0,x0)(eq r(3)1，x0eq r(3)y0，依题意，圆的方程为x2y2c2，将代入圆的方程得3yeq oal(2,0)yeq oal(2,0)c2，即y0eq f(1,2)c，x0eq f(r(3),2)c，点A的坐标为(eq f(r(3),2)c，eq f(1,2)c)，代入双曲线方程得eq f(f(3,4)c2,a2)eq f(f(1,4)c2,b2)1，即eq f(3,4)b2c2eq f(1,4)a2c2a2b2，又a2b2c2，将b2c2a2代入式，整理得eq f(3,4)c42a2c2a40，3(eq f(c,a)48(eq f(c,a)240，(3

36、e22)(e22)0，e1，eeq r(2)，双曲线的离心率为eq r(2).6(选做题)直线l：yeq r(3)(x2)和双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)交于A，B两点，且|AB|eq r(3)，又l关于直线l1：yeq f(b,a)x对称的直线l2与x轴平行(1)求双曲线C的离心率e；(2)求双曲线C的方程解：(1)设双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1过一、三象限的渐近线l1：eq f(x,a)eq f(y,b)0的倾斜角为.因为l和l2关于l1对称，记它们的交点为P，l与x轴的交点为M.而l2与x轴平行，记l2与y轴的交点为Q.

37、依题意有QPOPOMOPM.又l：yeq r(3)(x2)的倾斜角为60，则260，所以tan 30eq f(b,a)eq f(r(3),3).于是e2eq f(c2,a2)1eq f(b2,a2)1eq f(1,3)eq f(4,3)，所以eeq f(2r(3),3).(2)由于eq f(b,a)eq f(r(3),3)，于是设双曲线方程为eq f(x2,3k2)eq f(y2,k2)1(k0)，即x23y23k2.将yeq r(3)(x2)代入x23y23k2中，得x233(x2)23k2.化简得到8x236x363k20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|eq r(13)|

38、x1x2|2eq r(（x1x2）24x1x2)2eq f(r(36248（363k2）),8)eq r(96k2)eq r(3)，解得k21.故所求双曲线C的方程为eq f(x2,3)y21. 第7讲抛物线1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上2抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px (p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0，0)对称轴y0 x0焦点F(eq f(p,2)，0)F(eq f(p,2)，0)F(0，eq f

39、(p,2)F(0，eq f(p,2)离心率e1准线方程xeq f(p,2)xeq f(p,2)yeq f(p,2)yeq f(p,2)范围x0，yRx0，yRy0，xRy0 xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)|PF|x0eq f(p,2)|PF|x0eq f(p,2)|PF|y0eq f(p,2)|PF|y0eq f(p,2)做一做1设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是()Ay28xBy24xCy28x Dy24x解析：选C.由抛物线准线方程为x2知p4，且开口向右，故抛物线方程为y28x.2抛物线y28x的焦点坐标是()A(2，0) B(2，0)C(4

40、，0) D(4，0)答案：B1辨明两个易误点(1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线(2)抛物线标准方程中参数p易忽视只有p0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义2与焦点弦有关的常用结论(以下图为依据)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)y1y2p2，x1x2eq f(p2,4).(2)|AB|x1x2peq f(2p,sin2)(为AB的倾斜角)(3)eq f(1,|AF|)eq f(1,|BF|)为定值eq f(2,p).(4)以AB为直径的圆与准线相切(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相

41、切做一做3(x高考课标全国卷)已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|eq f(5,4)x0，则x0()A4B2C1 D8解析：选C.如图，Feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，0)，过A作AA准线l，|AF|AA|，eq f(5,4)x0 x0eq f(p,2)x0eq f(1,4)，x01.4动圆过点(1，0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.答案：y24xeq avs4al(考点一)_抛物线的

42、定义及其应用_(1)(x高考课标全国卷)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若eq o(FP,sup6()4eq o(FQ,sup6()，则|QF|()A.eq f(7,2)B.eq f(5,2)C3 D2(2)(x长春市调研)已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，则抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A.eq f(3r(5),5) B2C.eq f(11,5) D3解析(1)eq o(FP,sup6()4eq o(FQ,sup6()，|eq o(FP,sup6()|4|eq o(FQ,sup6()|，eq

43、 f(|PQ|,|PF|)eq f(3,4).如图，过Q作QQl，垂足为Q，设l与x轴的交点为A，则|AF|4，eq f(|PQ|,|PF|)eq f(|QQ|,|AF|)eq f(3,4)，|QQ|3，根据抛物线定义可知|QF|QQ|3，故选C.(2)由题可知l2：x1是抛物线y24x的准线，设抛物线的焦点F为(1，0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值即为焦点F到直线l1：4x3y60的距离，所以最小值是eq f(|406|,5)2.答案(1)C(2)B规律方法利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等

44、价转化“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径1.(1)(x云南省统一检测)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A、B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为()A相离 B相切C相交但不经过圆心 D相交且经过圆心(2)(xx杭州模拟)已知点P是抛物线y22x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A(eq f(7,2)，4)，则|PA|PM|的最小值是()A.eq f(7,2) B4C.eq f(9,2) D5解析：(1)选B.设圆心为M，过点A、B、M作准线l的垂线，垂足分别为A1、B1、M1，则|MM1|eq f

45、(1,2)(|AA1|BB1|)由抛物线定义可知|BF|BB1|，|AF|AA1|，所以|AB|BB1|AA1|，|MM1|eq f(1,2)|AB|，即圆心M到准线的距离等于圆的半径，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切(2)选C.抛物线焦点F(eq f(1,2)，0)，准线xeq f(1,2)，如图，延长PM交准线于N，由抛物线定义得|PF|PN|，|PA|PM|MN|PA|PN|PA|PF|AF|5，而|MN|eq f(1,2)，|PA|PM|5eq f(1,2)eq f(9,2)，当且仅当A，P，F三点共线时，取“”号，此时，点P位于抛物线上，|PA|PM|的最小值为eq f(9,2)

46、.eq avs4al(考点二)_抛物线的标准方程及性质(高频考点)_抛物线的标准方程及性质是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式出现，个别高考题有一定难度，高考对该内容的考查主要有以下三个命题角度：(1)求抛物线方程；(2)由已知求参数p；(3)与其它知识交汇求解综合问题(1)(x昆明三中、玉溪一中统考)抛物线y22px(p0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|4|OF|，MFO的面积为4eq r(3)，则抛物线方程为()Ay26x By28xCy216x Dy2eq f(15,2)x(2)(xx德州模拟)已知双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，

47、b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)分别交于O，A，B三点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为eq r(3)，则p()A1 B.eq f(3,2)C2 D3解析(1)依题意，设M(x，y)，|OF|eq f(p,2)，所以|MF|2p，xeq f(p,2)2p，xeq f(3p,2)，yeq r(3)p，又MFO的面积为4eq r(3)，所以eq f(1,2)eq f(p,2)eq r(3)p4eq r(3)，解得p4，所以抛物线方程为y28x.(2)双曲线的渐近线方程为yeq f(b,a)x，因为双曲线的离心率为2，所以 eq r(1f(b2,a2)2，eq f(b,a

48、)eq r(3).由eq blc(avs4alco1(yr(3)x，,y22px，)解得eq blc(avs4alco1(x0,y0)或eq blc(avs4alco1(xf(2p,3)，,yf(2r(3)p,3).)由曲线的对称性及AOB的面积得，2eq f(1,2)eq f(2r(3)p,3)eq f(2p,3)eq r(3)，解得p2eq f(9,4)，peq f(3,2)(peq f(3,2)舍去)故选B.答案(1)B(2)B规律方法(1)求抛物线的标准方程的方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线

49、方程时，需先定位，再定量(2)确定及应用抛物线性质的技巧：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解2.(1)(x高考课标全国卷)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为()Ay24x或y28xBy22x或y28xCy24x或y216xDy22x或y216x(2)抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2y29相交，公共弦MN的长为2eq r(5)，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程解析：(1)选C.设M(x0，y0)，A(0，2

50、)，MF的中点为N.由y22px，Feq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)，0)，N点的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(x0f(p,2),2)，f(y0,2).由抛物线的定义知，x0eq f(p,2)5，x05eq f(p,2).y0 eq r(2pblc(rc)(avs4alco1(5f(p,2).|AN|eq f(|MF|,2)eq f(5,2)，|AN|2eq f(25,4).eq blc(rc)(avs4alco1(f(x0f(p,2),2)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(y0,2)2)eq sup12(2)eq

51、f(25,4).即eq f(blc(rc)(avs4alco1(5f(p,2)f(p,2)sup12(2),4)eq blc(rc)(avs4alco1(f( r(2pblc(rc)(avs4alco1(5f(p,2),2)2)eq sup12(2)eq f(25,4). eq f(r(2pblc(rc)(avs4alco1(5f(p,2),2)20.整理得p210p160.解得p2或p8.抛物线方程为y24x或y216x.(2)解：由题意，设抛物线方程为x22ay(a0)设公共弦MN交y轴于A，则|MA|AN|，且ANeq r(5).|ON|3，|OA|eq r(32（r(5)）2)2，N(

52、eq r(5)，2)N点在抛物线上，52a(2)，即2aeq f(5,2)，故抛物线的方程为x2eq f(5,2)y或x2eq f(5,2)y.抛物线x2eq f(5,2)y的焦点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(5,8)，准线方程为yeq f(5,8).抛物线x2eq f(5,2)y的焦点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(5,8)，准线方程为yeq f(5,8).eq avs4al(考点三)_直线与抛物线的位置关系_(1)(x高考辽宁卷)已知点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在x象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF

53、的斜率为()A.eq f(1,2) B.eq f(2,3)C.eq f(3,4) D.eq f(4,3)(2)(x高考x卷)已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A2 B3C.eq f(17r(2),8) D.eq r(10)解析(1)抛物线y22px的准线为直线xeq f(p,2)，而点A(2，3)在准线上，所以eq f(p,2)2，即p4，从而C：y28x，焦点为F(2，0)设切线方程为y3k(x2)，代入y28x，得eq f(k,8)y2y2k

54、30(k0)，由于14eq f(k,8)(2k3)0，所以k2或keq f(1,2).因为切点在x象限，所以keq f(1,2).将keq f(1,2)代入中，得y8，再代入y28x中得x8，所以点B的坐标为(8，8)，所以直线BF的斜率为eq f(8,6)eq f(4,3).(2)设直线AB的方程为xnym(如图)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()2，x1x2y1y22.又yeq oal(2,1)x1，yeq oal(2,2)x2，y1y22.联立eq blc(avs4alco1(y2x，,xnym，)得y2nym0，y1y2m2，

55、m2，即点M(2，0)又SABOSAMOSBMOeq f(1,2)|OM|y1|eq f(1,2)|OM|y2|y1y2，SAFOeq f(1,2)|OF|y1|eq f(1,8)y1，SABOSAFOy1y2eq f(1,8)y1eq f(9,8)y1eq f(2,y1)2eq r(f(9,8)y1f(2,y1)3，当且仅当y1eq f(4,3)时，等号成立答案(1)D(2)B规律方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过

56、焦点，则必须用一般弦长公式(3)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两曲线方程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用3.已知抛物线C：y22px(p0)过点A(1，2)(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于eq f(r(5),5)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)将(1，2)代入y22px，得(2)22p1，所以p2.故所求的抛物线C的方程为y24x，其准

57、线方程为x1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y2xt，由eq blc(avs4alco1(y2xt，,y24x，)得y22y2t0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以48t0，解得teq f(1,2).另一方面，由直线OA与l的距离deq f(r(5),5)，可得eq f(|t|,r(5)eq f(r(5),5)，解得t1.因为1eq blcrc)(avs4alco1(f(1,2)，)，1eq blcrc)(avs4alco1(f(1,2)，)，所以符合题意的直线l存在，其方程为2xy10.考题溯源抛物线方程的应用(x高考x卷)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，

58、水面宽4 m水位下降1 m后，水面宽_m. 解析建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)，则A(2，2)，将其坐标代入x22py，得p1.x22y.当水面下降1 m，得D(x0，3)(x00)，将其坐标代入x22y，得xeq oal(2,0)6，x0eq r(6).水面宽|CD|2eq r(6) m.答案2eq r(6)考题溯源本考题就是教材人教A版选修21 P74习题A组T8原题某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，现有一货船欲过此桥孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部分中央船体高5米，宽16米

59、，且该货船在现在状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米，若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔，为什么？解：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为yax2，由题意知点A(10，2)在抛物线上，代入方程求解，得aeq f(1,50)，方程即为yeq f(1,50)x2.让船沿正中央航行，船宽16米，而当x8时，yeq f(1,50)821.28，此时抛物线上的点B距离水面1.2864.72(米)，又船体水面以上高度为5米，所以无法通过；又54.720.28(米)，0.280.047，15071 050吨，故至少应再装1 05

60、0吨货物才能通过，而现在只能多装1 000吨，故无法通过，只能等到水位下降. 1已知m，n，mn成等差数列，m，n，mn成等比数列，则抛物线mx2ny的焦点坐标是()A(0，eq f(1,2)B(eq f(1,2)，0)C(0，eq f(1,4) D(eq f(1,4)，0)解析：选A.由题意知，2nmmn且n2mmn，解得m2，n4，故抛物线为x22y，其焦点坐标为(0，eq f(1,2)2已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()Ay22eq r(2)x By22xCy24x Dy24eq r(2)x解析：选D.因为双曲线的焦点为(eq r(2)，0)