高三数学空间直线与平面的位置关系理

1、空间直线与平面的位置关系(理)一周强化一、知识概述1、平面的性质(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。作用：是用直线鉴别平面的方法。证明直线在平面内的依据。(2)公理2:如果两平面有一个公共点， 那么有且只有一条通过这个点的公共直线。作用：这是判定两平面相交的方法。说明两平面交线与两平面公共点之间的关系，交点必过公共点。是判断点在直线上，即证若干点共线的依据。(3)公理3:经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。推论1:经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面。推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论3:经过两条平行直线，有且只

2、有一个平面。公理3及三个推论的作用：它是在空间中确定平面的依据。它是证明两平面重合的依据。它为立体几何问题转化为平面问题提供了理论依据和具体方法。2、平行直线(1)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行;(2)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么 这两个角相等。3、异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，它们既不平行也不 相交。(2)判定：定义法：由定义判定两直线永远不可能在同一平面内，常用反证法。定理：连结平面外一点与平面内一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是 异面直线。(3)两条异面直线所成的角：直线a、b是异面直线，经过空间

3、任一点 O分别作直线a7/ a, b/ b,相交直线a； b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a, b所成的角，如果两条异面直线所成角是直角， 则称这两条异面直线互相垂直。4、直线与平面平行(1)直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。(2)直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。5、平面与平面平行(1)平行平面如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行，记作 a/庆(2)平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行(3)两平面平

4、行的性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。6、直线与平面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直 于这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。7、三垂线定理及逆定理。定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也 和这条斜线垂直。逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这 条斜线在平面内的射影垂直。8、空间的角(1)两条异面直线所成的角定义：同前第3点中(3)求法：直接法；向量法。(2)直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的

5、锐角叫做这条斜线与平面所成的 角。求法：直接法；公式法。利用公式cos e =cosi c cos；e向量法。(3)二面角定义：从一条直线出发引出两个半平面所组成的图形叫做二面角。一个平面垂直于二面角 TB的棱I,且与两个半平面的交线为射线 OA, OB, O 为垂足，则/ AOB叫做二面角aT一的平面角。二面角的平面角的作法：定义法；三垂线法；垂面法。二面角求法：直接法；射影面积法；向量法。9、空间距离(1)点到平面的距离一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离。(2)直线到与它平行的平面的距离一条直线上任一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离。(3)两个平

6、行平面的距离两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。(4)异面直线间的距离和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线，夹在两异面直线间的部分，叫做这两条异面直线的公垂 线段。两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离。二、例题解析例1、如图，四棱锥P ABCD的底面是正方形，PA，底面 ABCD , AEXPD, EF/ CD, AM=EF。)(I )证明MF是异面直线 AB与PC的公垂线；(II)若PA=3AB ,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值例2、在棱长为4的正方体 ABCD AiBiCiDi中，O是正方形ABCiDi的中心，

7、点P在棱 CCi 上，且 CCi=4CPoD(I)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)；(n)设O点在平面DiAP上的射影是H,求证：DiHXAP;(田)求点P到平面ABDi的距离例3、如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD，底面ABCD PD=DC, E 是 PC 的中点，作 EFXPBX PBF。(I )证明PA /平面EDB ;(II)证明PB，平面EFD;(田)求二面角 C-PB-D的大小。例4、如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， 处=在4尸= 是线段EF的中点。(I )求证AM /平面BDE;(II)求

8、二面角 A-DF-B的大小;(田)试在线段AC上确定一点P,使得PF与BC所成的角是60试题答案、解析题分析：(1)需用线面垂直的性质定理及判定定理来证明M% AB且M% PC.(2)本题需作出直线和平面所成的角，再用相似三角形知识来求此角的正弦值。BA AE,(I)证明：因PA1底面，有 PAL AB,已知 AB AD,故AB1面PAQ推得又 AM/ CD/ EF,且 AM=EF证得AEFMg矩形。故AML MF又因 AE! PD AE! CD 故 AE，面 PCD而 MF/ AE,彳# MFL面 PCD 故 MF PC,因此MF是AB与PC的公垂线。(II)解：连结 BD交AC于O,连结B

9、E,过O作BE的垂线OH垂足H在BE上。易知PDX面 MAE故DEL BE,又 OHL BEE,故 OH/ DEE,因止匕 OHL面 MAE连结AH,则/ HAO是所要求的线AC与面MAEf成的角。AO=LAC=-a.设 AB=a,则 PA=3q二 二因 RtAADE RtPDA 故口 =A0 _ 乐PD 矛 + (34)2从而在RtAAHO+,OH _ a 21 出HO、2据m石一而-10点评：本题所求的是线面角，且需要考生在图中作出所求的角，考查了线面垂直的判定性 质定理，二面角，公垂线定义等知识，并且考查了学生的空间想象能力，计算能力。分析：因为本题的图形是正方体，其中有很多个垂直关系，

10、本题在证明DHLAP时需两次应用三垂线定理。求点到平面距离有三种思路：一是通过等体积转换求解；二是若过此 点有一条直线与已知平面平行，则可转换成平行线上另一点到此平面的距离；三是直接 作距离求解。解法一：(I )连结BP.AB。面 BCCB,AP与平面BCCB所成的角就是/ APB. CC=4CP, CC=4,CP=1.在 RtPBC中，/ PC昉直角，BC=4, CP=1,故 PB=7在Rt APB中，/ APB为直角,.小p AB 4717tan Z.APB =BP 17APBarctan17axtanI.即直线AP与平面BCCB所成的角为17(II)连结 AC, BD.四边形ABCD是正

11、方形，：DO,AC.又 AA，底面 ABCD, ：AA，DQAAn AC=A, .DO,平面 AiAP。由于 APC 平面 AAPC, ： DO AR平面DAP的斜线DO在这个平面内的射影是 DH,：DH，AP。(田)连结 BC,在平面BCCB中，过点P作PQL BC于点Q。. AB。面 BCCB, PQT 平面 BC, ： PQL ARPQL平面 ABGDo解法：PQ就是点P到平面ABD的距离。在 RtCPQ中，/ CQP=90即点P到平面ABD的距离为,/ PCQ=45 , PC=3,(I )AB!平面 BCCB,AP与平面BCGB所成的角就是/ APB.如图建立空间直角坐标系，坐标原点为

12、D. CC=4CP, CC=4,.CP=1, A (4, 0, 0) , P (0, 4, 1) , B (4, 4, 0)01AC.又 AA，底面 ABCD,AAXDQ. AAn AC=A, .DO,平面 AAPC由于 APC 平面 AAPC, ： DO AR平面DAP的斜线DO在这个平面内的射影是 DH,：DH，AR(田)连结 BC,在平面BCCB中，过点P作PQL BC于点Q。-. ABJ面 BCCB, PQT 平面 BCCB, ： PQL AR：PQL 平面 ABCDo：PQ就是点P到平面ABD的距离。在 RtCPQ中，/ CQP=90 , / PCQ=45 , PC=3,3即点P到平

13、面ABD的距离为2解法(I ) V AB1平面 BCCB,AP与平面BCCBi所成的角就是/ APB.如图建立空间直角坐标系，坐标原点为D. CC=4CP, CC=4,0)。：CP=1, A (4, 0, 0) , P (0, 4, 1) , B (4, 4,4 = (4,4T1),咫(4,。11).,百丽=16 +0 + 1 =17,cosZARB =包诟17屈I|丽西屈k拒33同 TOC o 1-5 h z 3TCC0Sa:直线AP与平面BCCB所成的角为332, 4)(n)连结 DO 由(I )有 D (0, 0, 4) , O (2, + * +:.。=(2: 2,0),M-qO= 8

14、-8+0 = 0, .PAIDiO.平面DAP的斜线DO在这个平面内的射影是 DH,：DH，AR（田）同解法点评：本题涉及知识面宽，对逻辑推理能力、空间想象能力、以及计算能力都有一定的要求。对(1)问估计多数学生能求出，而(2) ( 3)有些难度。需要学生有较好的思维 及空间想象能力。分析：(1)连结OE用线面平行的判定定理。(2)利用三垂线定理作出二面角的平面角，再解直角三角形即可。(3)利用方程的思想，设出t,并列出有关t的方程，求解t,从而使问题得到 解决。本题也可建立空间坐标系，利用空间立体几何的方法求解方法一：(I )记AC与BD的交点为O,连结OE.Q M分别是AC EF的中点，A

15、CEF是矩形，四边形AOEM1平行四边形，.AM/ OE. OET 平面 BDE AMZ 平面 BDE.AM/平面 BDE(II)在平面 AFD中过点A作AS，DF于S,连结BS/ABIAF, ABAD, ADAAF=A：AB，平面 ADF.AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂线定理得BS DR：/ BSA是二面角 A-DF-B的平面角。在RtMSB中,.面角A-DF-B的大小为60(田)设 CP=t (0t 2),作 PQLAB于 Q,则 PQ/ AD,. PQLAB, PQLAF, ABA AF=A：PQ1平面 ABF, QFC 平面 ABF,.PQ! QR在 RtPQF中，/ FPQ=

16、60 ,PF=2PQ. PAM等腰直角三角形,又. PAF为直角三角形,2牙+1=2臣2-0.所以t=1或t=3 （舍去）。即点 P是AC的中点方法（I）建立如图所示的空间直角坐标系使凡1设ACn BD=N连结NE则点N、E的坐标分别是122 人 （0, 0, 1）, 二 二1一三又点八、M的坐标分别是 诉曲）、警,D.二配? 二 ,且NE与AM共线,：NE/ AM又 NEC平面BDE AMX平面BDE.AM/平面 BDE(n) V AF，AB AH AD, AFn AD=A ： AH 平面 ADR:=(-&), 0)为平面DAF的法向量。而瓦=（-g,-号）（衣衣口） = Q而而=（-匕-匕1）也也0）-。得22NELDBt N1