高三数学第一轮复习空间向量及其运算知识精讲

1、高三数学第一轮复习：空间向量及其运算【本讲主要内容】空间向量及其运算空间向量的概念、加法、减法、数乘、数量积的定义及其性质、运算.【知识掌握】【知识点精析】(一)空间向量及其加减与数乘运算.空间向量的有关概念(1)把具有大小和方向的量叫做向量，其长度叫做空间向量的模.(2)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间向量的加法与数乘向量运与满足如下运算律(1)加法交换律：a b二b a(2)加法结合律：(a b) c = a (b c)(3)数乘分配律： (a , b) =，a，；.b.共线向量与共面向量(1)共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合.记

2、作a / b.共线向量定理：对空间任意两个向量 a, b(b # 0), a / b的充要条件是存在实数 九(具 有唯一性)，使a =京.推论：如果为经过已知点a且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点q点p 在直线上的充要条件是存在实数t,满足等式 TOC o 1-5 h z Qp=QA+ta.其中向量a*叫做直线l的方向向量.在上取AB=a,则式可化为OP =OA+tAB,或 OP = (1 -t)OA+tQB-1当1 =，点P是线段AB的中点，则2一 1 一QP=a(QA+QB) 或都叫做 空间直线的向量参数表示式 ，是线段AB的中点公式.(2)共面向量：若向量 a使之平行于平面u或a

3、在a内，则a与ct的关系是平行，记 作a /久.共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，则向量P与向量a,b共面的充要条件是存在FF-实数对x、y使P=xa+yb.推论1 ：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x, y使MP =xMA yMB或对空间一点0,有OP =OM +xMA+yMB 式叫做平面 MAB勺向量表示式.推论2：空间任一点O和不共线三点 A、B、C,则Op = xOA+yOB + zOC（x+y + z=1）是 P, A, B, C 四点共面的充要条件.（简证：OP =（1 _y -z）OA + yOB + zOc = AP = yAB+zAC= P、A、B、

4、C四点共面）注：推论1和推论2是证明四点共面的常用方法.空间向量基本定理：如果三个向量a, b,c中共面，那么对空间任一向量r,存在一个唯一的有序实数组 x、v、z,使p = xa + yb + zc.由此可知，如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是pp = x5+yb +zC,x,y,zw r.这个集合可看作是由 a,b,C生成的，把a,b,C叫做空 间的一个基底，a,b,c都叫做基向量.推论：设O, A, B, C是不共面的四点，则对空间任一点 P,都存在唯一的有序实数组 x、 y、z 使 OP = xOA + yOB+zOC （这里隐含 x+y + zwi）.注：

5、设四面体 ABC而三条棱，AB=b,AC=C, AD=d,其中Q是BCD的重心，则向Z , 一、 一、重 AQ =一（a +b +c）（用 AQ =AM +MQ 即证）.3AC.两个向量的数量积（1）已知空间向量 a,b,则ab cos a,b a叫做向量a,b的数量积，记作 5，b .即a b = a b cos i_2（2）性质： a e = a cos . a_Lbuab=0. a =a，a（3）运算律：（九a） b =Ma b）a b =b a （交换律）.a b + c） = a b + a c （分配律）*（二）空间向量的坐标运算1.空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应

6、为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵坐标），z轴是竖轴（对哽为竖坐标）.令 a=（a1,a2, a3）,b=（b1，b2,b3）,则a +b =（a1 b1,a2士b2,a3土b3）,-Fa 二（Ma1, a2, a3）（ - R）a b =a1b1a2 b2 a3 b3aa / b u a=b ,a2 = /b2 ,a3 = &b3(九 r R) u ba _ b = a1bl a2 b2 a3 b3 = 0a = . a a = a12 a2 a；(用到常用的向量模与向量之间的转化:2a =a，a= a=ua-a)cos : a, b =aibia2b2a3b31a 11bla； a2 - a

7、2b2 bf bf空间两点的距离公式：d = (x2 - x1)2+ (V2 -Yl)2 +% -Zi)2 .2.法向量：若向量a所在直线垂直于平面 a则称这个向量垂直于平面如果a_Lot那么向量a叫做平面色的法向量.3.应用向量的常用方法：利用法向量求点到面的距离定理：如图，设条射线，其中 AWot ,则点B到平面ot的距离为n是平面|AB n|0的法向量,AB是平面0f n1|.：. n2利用法向量求二面角的平面角定理：如图，设n1,n2分别是二面角中平面a P的法向量，则n1 ,n2夹角的大小就是所求二面角的平面角或其补角的大小.CC a证直线和平面平行定理：如图,已知直线A,BW a,

8、C, D,E wa ,且C,D,E三点不共线，则a / a的充要条件是存在有序实数对九,N使AB = ?，CD +NCE .(常设人3=，。口+吃求解九若入口存在即证毕，若 九*不存在，则直线 AB与平面相交).BAB证直线和平面垂直定理：设n是平面a的一个法向量， AB, CD是平面a内的两条相交直线，若 n，AB=0, n CD =0,则 n_Lc(【解题方法指导】例1.判断下列命题的真假若a与b共线，b与c共线，则a与c共线.(X)当b=0时，不成立向量a,b,C共面即它们所在直线共面.(X)可能异面若a/b,则存在一实数使a=?$.(x)与b=0不成立若a为非零向量，则0 a =0 .

9、 (V)这里用到,.b(b #0)之积仍为向量例2.如图，边长为2的正方形ADEF所在的平面垂直于平面 ABCD AB= AD, AB _L AD ,(I )求：异面直线 BD与CF所成角的大小;(n )求二面角 A-CF D的大小.AC =3近,AC _L BD ,垂足为 M解：(I)如图，建立空间直角坐标系M -xyz,则 C(2V2,0,0), B(0,72,0), D(0,2,0), F(-，2,0,2),BD =(0,2,2,0), FC = (3.2,0,-2)BD FC =0 BD - FC0二异面直线BD与CF所成角的大小为90 .(II )设 n = (x,y,z,)为平面

10、CFD的法向量，丫 FC = (32,0-2) , FD = (2,v2,-2)n FC =0由n FD =0；3 岳2z = 02x+/2y 2z =0,令 z = 3 ,则 x =, y = 2 2. n =(,.2,2.2,3)丁 MD _L AC ,MD _L 平面 ACF二平面ACF的法向量MD = (0j2,0).n MD则 cos = -f4-=n| MD4,19 ,22,38192、38二二面角A-CF - D的大小为arccos19【考点突破】【考点指要】随着新教材的逐步推广、使用，“向量”将会成为高考命题的热点，一般选择题、填空题重在考查向量的概念， 数量积及其运算率.20

11、05年全国16套试卷中，有12套试卷，2006 年的全国18套试卷中，有14套试卷都在解答题中考查了用空间向量知识，解决数学问题的能力.在有些立体几何的解答题中，建立空间直角坐标系，以向量为工具，利用空间向量的坐标和数量积解决直线、平面问题的位置关系、角度、长度等问题越来越受青睐，比用传统立 体几何的方法简便快捷. 空间向量的数量积及坐标系运算仍是高考命题的重点，解答题大都属于中档题，分值一般在 13分左右.【典型例题分析】例1.如图，在四棱锥 PABCM,底面ABCM矩形，侧棱P底面ABCD AB= J3 , BC= 1, PA= 2, E 为 PD的中点.(I )求直线 AC与PB所成角的

12、余弦值；(II)在侧面 PAB内找一点N,使NE1面PAC并求出N点到AB和AP的距离.解：(I )建立如图所示的空间直角坐标系,则 A、B、C D P、E 的坐标为 A (0, 0, 0)、B( V3 , 0, 0)、C( 33 1 1 , 0)、D (0, 1, 0)、P (0, 0, 2)、E (0, - , 1),2从而 AC = ( .3,1,0), PB = ( ,3,0,-2).设AC与pb的夹角为9,则cos：AC PBIAC| |晶 |32.73.714(n)由于 N点在侧面PAB内，故可设 N点坐标为(x, 0, z),则1 ,NE =(x, ,1z),由 NE1面 PAC

13、可得，2NE AP u0,NE AC =0.L1 ,、(-x,T 1 -z)即2 HYPERLINK l bookmark56 o Current Document ，1 ,、(-x,- ,1 -z)(0,0,2) =0,_ 化简得(.3,1,0) =0.z -1 = 0,j3x 12=0.3 x =6z = 133即N点的坐标为(,0,1),从而N点至ij AR AP的距离分别为1, .66评述：本小题主要考查线面关系和四棱锥等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.例2.如图，在三棱锥 A-BCD中，侧面 ABD, ACD是全等的直角三角形， AD是公 共的斜边，且 AD=J3, B

14、D=CD=1,另一侧面 ABC是正三角形.(1)求证：AD BC ；(2)求二面角B - AC -D的大小；(3)在线段AC上是否存在一点 E ,使ED与面BCD成30：角？若存在，确定点E的 位置；若不存在，说明理由.ADB解：(1)作AH，面BCD于H ,连BH, CH, DH ,则四边形 BHCD是正方形, 且 AH =1 ,以D为原点，以DB为x轴，DC为y轴建立空间直角坐标系如图，驾1,0,0)吗,0), A(1,1,1). BC =(-110), DA = (1,1,1),BC DA =0,则 BC A,y, z),(2) 平叱jBC的法向量为n1 = (x,则由 n1，BC知：n

15、BC = x + y = 0;同理n1，CA知：n1，CA = x + z = 0. TOC o 1-5 h z 可取 n1 =(1,1,1).同理，可求得平面 ACD的一个法向量为n2 = (10, -J).6 arccos-3由图可以看出，二面角 B-AC -D的大小应等于= 2 =二二=,即所求二面角的大小是Ehl 网弋23z0, y = 1,(3)设E(x, y, z)是线段.AC上一点，则|=平面BCD的一个法向量为n =(0,0,1),上早=为1, x),要使ED与面BCD成30角，由图可知 DE与1的夹角为60 ,DE n x1所以 cos 0),则但，目=.已知四边形ABCM,

16、 AB =a-2c,CD =5a+6b-8c,对角线AG BD的中点分别为E、F,则 EF =. A (1, 0, 1), B (4, 4, 6), C (2, 2, 3), D (10, 14, 17)这四个点是否共面 (共面或不共面) 三.解答题9.在平行四边形CD成60角，求B、D间的距离.10.设 A (2, 3,1) , B (4, 1 , 2), C (6, 3, 7), D ( 5, -4, 8)求 D到平面 ABC的距离.11.(2006湖南理18)如图，已知两个正四棱锥PABCD与Q ABCD的高分别为1ABCD, AB= AC= 1, ZACD =90,将它沿对角线 AC折

17、起，使AB与和 2, AB= 4.(I)证明PQ _L平面ABCD ；(n )求异面直线 AQ与PB所成的角;(出)求点P到平面QAD的距离.综合测试答案一. 选择题.解析：根据数量积的定义，b c是一个实数，a+b，c无意义，a，(b，c)实数与向量无 数量积，a b =|a b|cos |答案：A.解析：不共面的三个向量才能作为空间的一个基底答案：D.解析：因为 Ad -Ab =BD = BD ,所以A百,ADBD共面答案：C.解析：2x = 1=31- 2y 9答案：C.解析：k5+b = (k-1,k,2) , 24b=(3,2,-2)因为 ka + 6与2后b互相垂直所以 3 (k

18、1) + 2k-4= 0答案：D二.填空题.解析： cos=1,=45答案：45ff ffTTTT7.解析：EF=EA+AB+BF, EF = EC+CB+DF 两式相加得 TOC o 1-5 h z 1 1-EF = (ABCD) = (a -2c5a6b -8c)= 3a 3b-5c22答案：3a 3b -5c8.解析：AB =(3,4,5),AC =(1,2,2),AD=(9,14,16),设 AD = xAB+yAC即(9, 14, 16) = (3x+y, 4x+2y, 5x+2y)所以 x = 2, y = 3,从而 A、曰 C、D 四 点共面三.解答题9.解：如图，因为答案：共面

19、/ACD = 90 ,所以 AC CD = 0,AB同理BA AC =0,因为AB与CD成60角 所以 BA,cD A 60 或 120因为BD =BA +AC +CD ,所以 2 2 2. 2 . BD = BA AC CD 2BA AC 2BA CD 2CD AC.2 一 2.2.=BA AC CD 2BA CD = 3 2 1 1 cos BA,CD2 BA,CD =60- 4 BA,CD =120。所以BD =减J2,即日d间的距离是2或，2.解：设平面ABC的法向量n= (x, y, z)n(x，y，z) (2，-2,1) = 0- n AB = 0，n AC = 0、(x，y，z) (4