高三数学高考复习整理直线与圆

1、直线与圆考纲导读.掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根 据直线的方程判断两条直线的位置关系.会用二元一次不等式表示平面区域. 了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用. 了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法.掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念.知识网络简单的线性规划直线的倾斜角和斜率直线一直线方程的四种形式直线和圆两条直线的位置关系圆的方程曲线和方程高考导航在近几年的高考试题中，两点间的距离公式、中点坐标公式、直线方程的点斜式、斜 截式、一般式、斜率公式及两条直线的位置关系，圆的方

2、程及直线与圆、圆与圆的位置关系 是考查的热点.但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大 热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，近年来，在高考 中经常考查，但基本上以中易题出现.考查的数学思想方法，主要是数形结合、分类讨论、 方程的思想和待定系数法等.第1课时 直线的方程基础过关.倾斜角：对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所 转的最小正角 ”叫做直线的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为 0 .倾 斜角的范围为.斜率：当直线的倾斜角 a w90时，该直线的斜率即 k = tan & ;当直

3、线的倾斜角等于 900时， 直线的斜率不存在.过两点Pi(x i , y1) , B(X2, y2)(x 1WX2)的直线的斜率公式 .若X1 = X2,则直 线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90。.直线方程的五种形式名称方程适用范围斜截式点斜式两点式截距式一般式典型例题例1.已知直线(2m2+m- 3)x + (m2 m)y = 4m- 1. 当m=时，直线的倾斜角为 45 .当m= 时，直线在x轴上的截距为1. 当m=时，直线在y轴上的截距为一.2当m=时，直线与x轴平行.当 m=时，直线过原点.1 - 4 3-2- TOC o 1-5 h z 变式训练1. (1)直线3y + J3 x

4、+2=0的倾斜角是()A. 30B , 60C . 120D , 150(2)设直线的斜率 k=2, P1 (3, 5), B(X2, 7), P (1, y3)是直线上的三点，则 X2, y3依次是()A. - 3, 4 B .2,-3 C .4,3 D .4, 3(3)直线l 1与l 2关于X轴对称，l 1的斜率是7 ,则l 2的斜率是A.币 B . - - C . - D.-小77,(4)直线l经过两点(1, 2), (3, 4),则该直线的方程是 解：(1) D.提示：直线的斜率即倾斜角的正切值是C.提示：用斜率计算公式正也.x1 一 x2A提示：两直线的斜率互为相反数.2y+3x+1

5、=0.提示：用直线方程的两点式或点斜式 例 2.已知三点 A (1, -1 ), B (3, 3), C (4, 5) | 求证：A、B、C三点在同一条直线上|证明方法- -A (1, -1), B (3, 3), C (4, 5),kABF 3- =2,k BC= 5-3 =2,k AB=kBC,3 -143 A、R C三点共线I方法二. A (1, -1 ), B (3, 3) , C (4, 5),.|AB|=2 ,5 , |BC|= 5 , |AC|=3 .5 ,| AB|+|BC|=|AC| ,即 A、B、C三点共线 |方法三：A (1, -1 ), B (3, 3) , C (4,

6、 5),. AB = (2, 4), BC = (1, 2),AB =2 BC |又二 AB与前有公共点B,，A、B、C三点共线|变式训练2.设a, b, c是互不相等的三个实数，如果 A (a, a3)、B (b, b3)、C (c, c3)在 同一直线上，求证：a_：i_c=O,证明.、B、C三点共线，k AE=kAC, 3333a二b- =a-= ,化简得 a2+ab+b2=a2+ac+c2, a -ba -c . b2-c 2+ab-ac=0 , (b-c) (a+b+c) =0,a、b、c 互不相等，-cw0,a+b+c=0.例 3.已知实数 x,y 满足 y=x2-2x+2 (-

7、1x 1).试求：在的最大值与最小值. x 2解：由与3的几何意义可知，它表示经过定点P (-2, -3)与曲线段AB上任一点(x,y)的x 2直线的斜率k,如图可知：kPA k1)，.= M( -x0- , 0) xo -1x0 -1S AOQIVF 1 - x0_ - 4x0=10 - -02x0-1xo -1= 10 (x 0-1) +1+2 40 x0 -1当且仅当x。一 1=1 即x0=2取等号，. Q(2, 8)Xo -1PQ的方程为：匕4=6 ,，x+y10= 0 8 T 2 -6变式训练4.直线l过点M(2, 1),且分别交x轴y轴的正半轴于点 A、B, O为坐标原点.(1)当

8、4AOB的面积最小时，求直线 l的方程；(2)当| MA |，MB |取最小值时，求直线l的方程.解：设 l : y - 1 = k(x - 2)(k 20m.由经过两点的直线的斜率公式x -2002-300 x 8002xx -200220 x 6402x由直线PC到直线PB的角的公式得Ldn/林仁 kPB 一kPC1 Mpb kP1602x彳 x -800 x -64012x 2x=64x64x2 288x 160 640160 640 x -(x 200).一 288要使tan/BPC达到最大，只需x+ 160X640 -288达到最小，由均值不等式 xx+ 160 640 -2882

9、160 640 -2讣： x当且仅当x= 160X640时上式取得等号I x故当x=320时，tan / BPC最大|这时，点P的纵坐标y为y= 320 -200二60,2由此实际问题知 0 V / BP故 匹,所以tan / BPC最大时，/ BPC最大.故当此人距水平地面 602米高时，观看铁塔的视角/ BPC最大.例3.直线y=2x是4ABC中/C的平分线所在的直线，若 A、B坐标分别为A(-4, 2)、B(3 ,1),求点C的坐标并判断 ABC的形状.解：因为直线y=2x是4ABC中/C的平分线，所以CA、CB所在直线关于y=2x对称，而A(4, 2)关于直线y= 2x对称点Ai必在C

10、B边所在直线上设 Ai(xi, yi)则yi /xi -(-4)y1丑q2 一xi -42xi =4yi =-2即 Ai(4,-2)由 Ai(4,B(3,i)求得CB边所在直线的方程为：3x+ y- i0= 0又由y =2x3x y _i0 =0解得C(2, 4)又可求得：kBC= 3, kAC= -3kBc , kAc= i,即 ABC是直角二角形变式训练3.三条直线li： x+y+a=0, 12： x+ay+i=0, 13： ax+y+i=0能构成三角形，求实数 a的 取值范围。解：aeR且aw1, aw -2 (提示：因三条直线能构成三角形，故三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不

11、平行且三线不共点。(i)若11、l 2、13相交于同一点，则li与l2的交点(-a-i ,i)在直线13上，于是a(-a-i)+i+i=0 , 此时a=i或a= -2 。(2)若 l 11I 12,贝U -i = - , a=i oa(3)若 l i /l3,贝U -i = - a, a=i o(4)若 l 2 /13,则- =-a, a= i。)a例4.设点A(3, 5)和B(2, i5),在直线l : 3x-4y+4= 0上找一点p,使|PA寸PB为最小，并求出这个最小值.解：设点A关于直线l的对称点A的坐标为(a, b),则由AA L和AA被l平分,U3 .则 a43 4解之得 a=3,

12、 b= 3,a -3b y x3-4+4 =022 .A =(3 , - 3) .(|PA| + |PB|) min=|A B| - 1 , i5 3.k a，x = i8,.A B的方程为 y+3= i8(x3)解方程组Ff+E 得P(8,3) y+3 = i8(x3)3变式训练4：已知过点A (i, i)且斜率为m(m0)的直线l与x、y轴分别交于P、Q两点,过P、Q作直线2x+y=0的垂线，垂足分别为R、S,求四边形PRSQ勺面积的最小值.解：设l的方程为y - 1 = - m(x- 1),则 P (1+ 2，0), Q (0, 1 + 城m从则直线PR x 2y3 = 0;m直线 QS

13、 x-2y + 2(m+ 1) = 0 又 PR/ QS TOC o 1-5 h z 1112m 2 1 |3 2m -| RS |m =m,55又 | PR | =二m, | QS | =空! ,55而四边形PRSQ直角梯形， HYPERLINK l bookmark29 o Current Document 212 3 2m S prs行2 X ( m 4m2 ) x m2. 55, 5= 1(m+l+2)2-11(2 + 9)2-5 m 4805480=3.6四边形PRSQ勺面积的最小值为 3.6 .小结归纳.处理两直线位置关系的有关问题时，要注意其满足的条件.如两直线垂直时，有两直线斜

14、率都存在和斜率为 O与斜率不存在的两种直线垂直.注意数形结合，依据条件画出图形，充分利用平面图形的性质和图形的直观性，有助于问 题的解决.利用直线系方程可少走弯路，使一些问题得到简捷的解法.解决对称问题中，若是成中心点对称的，关键是运用中点公式，而对于轴对称问题，一般 是转化为求对称点，其关键抓住两点：一是对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中 点在对称轴上，如例 4第3课时线性规划基础过关1.二兀一次不等式表布的平面区域.一般地，二元一次不等式 Ax+By+ C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+ By + C= 0某一侧的所有点组成的平面区域 （半平面）不含边界线，不等式Ax+By+C0

15、所表示的平面区域（半 平面）包括边界线. 对于直线Ax+By+C= 0同一侧的所有点（x、y）使得Ax+ By+C的值符号相同.因此，如 果直线Ax+ By+ C= 0 一侧的点使 Ax+ By+ C0,另一侧的点就使 Ax+ By+ C0（或Ax+ By+ C02x y-5 -0变式训练1: ABC的三个顶点为 A（2, 4）、B（-1, 2）、C（1 , 0）,则 ABC的内部（含边界）可用二元一次不等式组表示为不2x _3y 8 _04x -y -4 0y*x _ 5 y _ 23 0+ 7 y - 11 0 分别求:x y 10_ 0 x y _1 _0例2.已知x、y满足约束条件J(

16、1) z = 2x + y z = 4x 3yz = x2+y2的最大值、最小值?解：在直角坐标系中作出表示不等式组的公共区域如图阴影部分.其中 A(4, 1),B(-1, 6),C(-3, 2)A时，t取最大，l 1经过点(1)作与直线2x+y=0平行的直线li： 2x+y=t,则当l i经过点B时，t取最小. Z max= 9 Zmin = 13(2)作与直线4x3y=0平行的直线l 2： 4x-3y = t ,则当l 2过点C时，t最小，l 2过点B时,t最大. . z max= 14 Zmin= 18(3)由z = x2+y2,则&表示点(x, y)至U(0, 0)的距离，结合不等式组

17、表示的区域.知点B到原点的距离最大，当(x , y)为原点时距离为0.，Zmax= 37 Z min=0变式训练2：给出平面区域如下图所示，目标函数t=ax y, (1)若在区域上有无穷多个点(x , y)可使目标函数t取得最小值，求此时 a的值.(2)若当且仅当x=2, y=时，目标函数t取得最小值，求实数 a的取值范围？要使t取得最小时的(x , y)有无穷多个,A(1,0)解：(1)由 t = axy 得 y = ax t 贝U y = ax-t与AC重合.4 -0,512 a= Kac=2-153(2)由Kac a K bc 得 a0 x yy 1.5x50 x +20 y 2000

18、x 二y50 x 20y =2000解得：200 x =7200 y=v，点A（翌竽第二种木料0.08立方米，可获利润 6元，生产一个衣柜需用第一种木料0.09立方米，第二种0.28立方米，可获利10元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少才能使所获利润最多？解：设圆桌和衣柜的生产件数分别为x、v,所获利润为z,则:于Q18x 0.09v 721_2x y 800Q08x 0.28y 56 门口2x 7y 0 x 0y 0y 至 0j-2x - y =8002x 7y =1400-|-x =350 y =100即 M(350, 100)x =25由J=1.5X解得|7550 x 20

19、y =2000y =点 B(25, 75) 2满足以上不等式组表示的区域是以A、日O为顶点的 AOB及内部设x+y=z,即y=x+z;当直线过点B时，即x=25, y =z 最大.y C z, y= 37，买桌子25张，椅子37张是最优选择.变式训练4: Ai、A2两煤矿分别有煤 8万吨和18万吨，需通过外运能力分别为20万吨和16万吨的Bi、B2两车站外运，用汽车将煤运到车站，Ai的煤运到Bi、B2的运费分别为3元/吨和5元/吨，忿的煤运到B、R的运费分别为7元/吨和8元/吨，问如何设计调运方案可使总运费 最少？解：设Ai运到Bix万吨，Aa运到Bi y万吨，总运费为z万元，则 A运到R(8

20、x)万吨，A运=i84 2x y, x、y 满足到 到i8 y)万吨，z=3x+5(8x) +7y+8(i8y) -|-x - y 20(8 -x) (i8 -y) i6 0 x 8、0 y i8可行域如图阴影部分.当 x=8 时，y = i2 时，zmin = i56即Ai的8万吨煤全运到 B,A2运到i2万吨运到Bi,剩余6万吨运到B2,这时总运费最少为 i56 万元.小结归纳.二元一次不等式或不等式组表示的平面区域：直线确定边界； 特殊点确定区域.线性规划实际上是“数形结合”的数学思想的体现，是一种求最值的方法.把实际问题抽象转化为数学问题是本节的重难点，求解关键是根据实际问题中的已知条

21、件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.而在考虑约束条件时，除数学概念的条 件约束外，还要深入其境、考虑实际意义的约束.解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图尽可能精确，图上操作尽可能规范。但最优点不易辨别时，要逐一检查.第4课时曲线与方程基础过关.直接法求轨迹的一般步骤：建系设标，列式表标，化简作答(除杂).求曲线轨迹方程，常用的方法有：直接法、定义法、代入法(相关点法、转移法) 法、交轨法等.典型例题例1.如图所示，过点 P (2, 4)作互相垂直的直线li、12.若li交x轴于A, 12交丫轴于叱 求线段AB中点M的轨迹方程|解：设点M的坐标为(x,y ),是线段AB

22、的中点，.A点的坐标为(2x,0), B点的坐标为(0, 2y) |PA= (2x-2 , -4), PB= (-2 , 2y-4 ) |由已知 PA - PB=0,-2 (2x-2) -4 (2y-4) =0,即 x+2y- c_0.线段AB中点M的轨迹方程为x+2y- 5=0.变式训练1:已知两点M (-2, 0)、N (2, 0),点P为坐标平面内的动点，满足 | MN | MP |+MN - NP =0,求动点P (x, y)的轨迹方程I解 由题意：MN= (4, 0), MP = (x+2,y ) )NP = (x-2,y ), | MN | MP |+ mN . NP=0,1- J

23、42 +02 - J(x /)2 +y2 + (x-2) - 4+y - 0=0,满足条件 sinC-sinB= 1 sinA,两边平方，化简得y2=-8x. TOC o 1-5 h z 例2.在ABC中，A为动点，B、C为定点，B-,0 fC 1 a ,0 ,22则动点A的轨迹方程是_2_216x16y儿丁盆厂1 (y w0)a 15a、16x216y22_2a 15a=1 ( y W 0)的左支D.16x216y222a 3a=1 ( y W 0)的右支答案)变式训练2：已知圆G： (x+3) 2+y2=1和圆G: (x-3) 2+y2=9,动圆M同时与圆C及圆C2相外切, 求动圆圆心M的

24、轨迹方程|解 如图所示，设动圆 M与圆Ci及圆G分别外切于点 A和点B,根据两圆外切的充要条件，得|MCi|-|AC i|=|MA| ,|MG|-|BC 21一 川因为 |MA|=|MB| ,所以 |MG|-|MC i|=|BC 2|-|AC i|=3-一工这表明动点M到两定点G, G的距离之差是常数 2.根据双曲线的定义，动点 M的轨迹为双曲线的左支（点 M到G的距离大，到C的距离小），这2里a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为（x,y ）,其轨迹方程为x2- y =1 （x 0),圆心为,半径r.二元二次方程 &+ Bxy + Cy2 + Dx+ Ey+ F= 0表示圆的方程的充要条

25、件是.圆C: (x a)2+(y b)2=r2的参数方程为 . x2+y2= r2的参数方程为 5.过两圆的公共点的圆系方程：设GK1： x2+y2+Dx+ E1y+F1 = 0, OC 2： x2 + y2+Qx+Ey +F2=0,则经过两圆公共点的圆系方程为 .典型例题例1.根据下列条件，求圆的方程. 12D _4E _F =20 3D _E +F =0 2_令 y = 0 得 x + Dx+ F= 0由弦长 |x 1 x2| = 6 得 D2 4F = 36d解可得 D= -2, E= -4, F= 8或 A 6, E= 8, F= 0故所求圆的方程为 x2+y22x 4y8=0 或 x

26、2+y2-6x-8y= 0变式训练1:求过点 A （2, 3）, B（-2, 5）,且圆心在直线 x 2y3=0上的圆的方程.由A (2, - 3), B ( 2, -5),得直线 AB的斜率为一 5 一( 一 3)1kAB=-, 222,线段AB的中点为（0, 4）,线段AB的中垂线方程为y + 4=2x,即 y+ 2x +4=0,2x - y -4 -0解方程组yx -2y -3=0y =-2圆心为（一1, 2）,根据两点间的距离公式，得半径 所求圆的方程为（x+1）2+（y+ 2）2=10例2.已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于 巳r=4(2+1) 2+ (3+

27、2)2 =严Q两点，且 O弘OQ （ O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径|解方法代入方程将x=3-2，x2+y2+x- i?y+uj-(L设 P (x1,y 1),Q(x 2,y 2),则 y1、y2满足条件:12 my1+y2=4, y *=5. OPL OQjx iX2+yiy2=0.而 xi=3-2y i,x 2=3-2y2. .X1x2=9-6(y 1+y2)+4y y.，m=3止匕时A 0,圆心坐标为1-1,3；半径5 r=-2方法二 如图所示，设弦 PQ中点为M,.OiM的方程为:y-3=2x12由方程组y =2x 4x 2y -3 =02=r2|解得M的坐标为（-1 , 2）

28、 |则以PQ为直径的圆可设为（x+1） 2+ （y-2 ）OPLOQ点 O在以PQ为直径的圆上|(0+1) 2+ (0-2) 2=r2,即 r2=5,MQ=r2.在 RtAOiMC, Qd=oM+MQ,1 1(3-2) 2+5=1()-4m24.m=3.，半彳仝为3圆心为匚！”2 . 2方法三 设过P、Q的圆系方程为x2+y2+x-6y+m+ - (x+2y-由OPLOQ知，点O (0, 0)在圆上|m-3 九=0,即 m=3，J圆的方程可化为x2+y2+x-6y+3 . + . x+2 , y-3 . =0即 x2+(1+ )x+y2+2( -3)y=0.圆心M , 2(3 T)又圆在PQ上

29、I 22. .- 1+九+2 (3-九)-3=0 , 2%=1, Ath=3,圆心为.J,3半彳至为5|,2 2变式训练 2：已知圆 C: (x-1 ) 2+(y-2) 2=25 及直线 l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m 6 R.(1)证明：不论 m取什么实数，直线l与圆C恒相交；(2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程|(1)证明直线 l 可化为 x+y-4+m(2x+y- 7)-0,即不论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点|两方程联立，解得交点为(3, 1),又有(3-1 ) 2+ (1-2) 2=5 25,.点(3, 1)在圆

30、内部，不论m为何实数，直线l与圆恒相交|l被圆(2)解从(1)的结论和直线l过定点M (3, 1)且与过此点的圆 C的半径垂直时，所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得|AB|=2 3r2 -CM 2 = 2,25 T(3 -1)2 +(1 -2)2 =4%；5.此时，kt =-,从而 kt=- kCM2-11 -3.1 的方程为 y-1=2(x-3),即 2x-y=5.例3.知点P (x, y)是圆(x+2) 2+y2=1上任意一点|(1)求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值;(2)求x-2y的最大值和最小值；(3)求匕2的最大值和最小值| x -1解 (1)圆心C (-2,

31、 0)到直线3x+4y+12=0的距离为d= 3 (Q 4 0 12 _6 ,32 42=5 1.P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为d+r= 6 +1 = H ,最小值为 d-r= 555-1=51(2)设 t=x- 2；,则直线x-2y-t=0 与圆(x+2) 2+y2=1有公共点I-2 T w 1. - V5-2t12 22J5-2 ,t min=-2-.巧 |(3)设 k= y2 , x -1则直线kx-y-k+2=0 与圆(x+2) 2+y2=1有公共点,3k +2 wi3jIk1 当且仅当a=b时取等号，此时，5d2=1, d取得最小值., 一 o o 一 a 二1由 a

32、=b 及 2b =a + 1 得 Wb =1a - -1或厂 1 ,进而得r2=2b = -1所求圆的方程为(x-1)2+(y- 1)2=2 或(x+1)2+(y+ 1)2=2解法二同解法一，得d=Ja乌a2=4b24，5 bd + 5d2,将 a2=2b21 代入整理得 2b24, bd + 5d2+ 1=0（X）把（X）看成关于 b的二次方程，由于方程有实数根，故即8（5d2-1） 0, 5d2l可见5d2有最小值1,从而d有最小值近，将其代入（X）式得2b24b 5+ 2=0, b= 1, r 2=2b2=2, a 2=2b21=1, a= 1由I a 2b I =1知a、b同号故所求圆

33、的方程为（x-1）2+（y 1）2=2 或（x+1）2+（y + 1）2=2、Q的刀为阅工 OQ所在的直线为M2Oypx轴，0）.如图:变式训练4：如图，图。和圆Q的半径都等于1, OQ=4,过动点P分别作圆O和圆Q的切 线PM PN（M N为切点），使得PM JPN试建立平面直角坐标系，并求动点 P的轨迹方程.装了由/直角坐飞，O 0(-2, 0)、Q(2, 由 PM=应 PN得 PM=2PNPOi2-1 = 2(PO22-1),设 P(x , y)(x + 2)2+y2-1=2(x 2)2+y21即(x 6)2+y2=33为所求点P的轨迹方程.本节主要修习了圆的轨迹方程,要明确：必须具备三

34、个独立条件，才能确定一.求圆的方程时一般用待定系数法：若已知条件与圆心、半径有关，可先由已知条件求出圆的半径，用标准方程求解；若条件涉及过几点，往往可考虑用一般方程；若所求的圆过两已知圆的交点，则一般用圆系方程.求圆方程时，若能运用几何性质，如垂径定理等往往能简化计算.运用圆的参数方程求距离的最值往往较方便.点与圆的位置关系可通过点的坐标代入圆的方程或点与圆心之间的距离与半径的大小比较 来确定.第6课时直线与圆、圆与圆的位置关系基础过关.直线与圆的位置关系将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为4,圆心C到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切 ud=ru4=0

35、相交=相离= =.圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为 R和r(Rr),圆心距为d,则两圆的位置关系满足以下条件：外离。d R + r外切=相交二内切内含二.圆的切线方程圆 x2 + y2=r2上一点 p(xo, y 0)处的切线方程为 1: .圆(x a) 2+(y b) 2= r2上一点p(x 0, y 0)处的切线方程为1 : . 圆x2 + y2+Dx+ Ey+ F= 0上一点p(x 0, y 0)处的切线方程为 .典型例题i.过。：x2+y2=2外一点P(4, 2)向圆引切线.求过点P的圆的切线方程.若切点为Pi、P2求过切点Pi、P2的直线方程.解：(1)设过点P(4, 2)的切线方

36、程为y-2=k(x -4)即 kx y+2 4k = 0巴4kl =近解得k= I或k=1.i，k27切线方程为：xy2 = 0 或 x-7y+i0= 0(2)设切点P i(xi, yi)、P2(x2, y2),则两切线的方程可写成l 1： x ix+ yiy = 2, 12： x2x+y2y =因为点(4, 2)在li和l2上.贝U有 4 xi + 2yi=2 4x2+2y2=2这表明两点都在直线 4x + 2y=2上，由于两点只能确定一条直线，故直线2 x + y I = 0 即为所求变式训练i: (I)已知点P(i , 2)和圆C:222x +y +kx + 2y + k =0,过P作C

37、的切线有两条，则k的取值范围是(A.k RB .k:二(2)设集合A=(x,y)|x2+y24,B=(x,y)|(xi)2+(y -i)20),当 AA B=B 时，r的取值范围是A. (0,陋i)B . (0, i C . (0, 2-72 D(3)若实数x、y满足等式(x-2)那么. (0,啦1的最大值为()xiA.2、3 c.2D. ,33、(4)过点M(-3,-)且被圆2x2+y2 =25截得弦长为8的直线的方程为(5)圆心在直线 x-y-4=0上，且经过两圆 x2+y24x_3 = 0和x2 + y24y 3 = 0的交点的圆的方程是解：(1) D.提示：P在圆外.C.提示：两圆内切

38、或内含.D.提示：从纯代数角度看，设 t=)，则y=tx，代入已知的二元二次方程，用4 0,可x解得t的范围。从数形结合角度看，、是圆上一点与原点连线的斜率，切线的斜率是边界.x3x+4y+15=0或x+3=0.提示：用点到直线的距离公式，求直线的斜率._、22x +y -6x+2y3 = 0.提示：经过两圆交点的圆的方程可用圆系方程形式设出，其 中的一个待定系数，可依据圆心在已知直线上求得.例2.求经过点A(4, 1),且与圆：x2 + y2+2x6y+5=0相切于点B(1 , 2)的圆的方程.解：圆C的方程可化为(x+ 1)2+(y3)2=5圆心0(-1, 3),直线BC的方程为： TOC

39、 o 1-5 h z x+2y 5=0又线段AB的中点D(5,1)，kAB= - 1 22线段AB的垂直平分线方程为：y工=x 5 即 x y2 = 022联立解得x = 3, y = 1，所求圆的圆心为 E(3, 1),半径|BE| =浜，所求圆的方程为(x -3)2+ (y -1)2=5变式训练2：求圆心在直线 5x-3y=8上，且与坐标轴相切圆的标准方程.解：设所求圆的方程为(x-a) 2+(y-b) 2=r2,圆与坐标轴相切，a= b,r= | a |又圆心(a,b)在直线5x-3y=8上. .5 a-3b=8,a = b由5a -3b =8j = aa =4 a =1得b =4或1b

40、 =-1Jr =4 lr =1所求圆的方程为：(x-4) 2+(y-4) 2=16或(x-1) 2+(y+1) 2= 1.例3.已知直线l ：y=k(x+2在)(k w0)与圆O:x2+y2=4相交于A、B两点，O为坐标原点.4AOB 的面积为S.试将S表示为k的函数S(k),并求出它的定义域.求S(k)的最大值，并求出此时的 k值.解：(1)圆心O到AB的距离d= 2陶k1 - k2由 d2= - 1 k 121 -k21ABl1.kS(k) =4j2k2(1 -k2);(1 k2)2(2) 解法一：据(1)令 1 + k2=t k2=t-1(1 t 1 B , 0R3 C , 1R 0 r

41、y Ex.已知x, y满足不等式, y之-2,则t =x?+y?+2x 2y+2的最小值为（）|x 2y _4A. 9 B . 2 C . 3 D .25.（06湖南卷）若圆 x2+y24x 4y10=0上至少有三个不同点到直线l： ax+by=0的距离为242,则直线l的倾斜角的取值范围是（）A 三当 B .三，皿C .工当 D . 0,三 12 412 126 312.已知圆C: （x+cos0）2 +（y-sin8）2 =1 ,那么直线l : y = kx与圆的位置关系是（）A.相离或相切B .相交或相切C . 一定相交D .不能确定.如果直线y = ax+2与直线y = 3xb关于直线

42、y=x对称，那么 （）A. a=l,b = 6 B . a= , b= 6 C .a=3, b=2 D .a=3, b=6 33二、填空题. “关于实数k的方程x2+y2+4kx 2yk=0的图形是圆”的充分且必要条件是.设直线2* 丫+3=0与圆仅一1)2+(丫2)2=4相交于A、B两点，且 AB|=2炉，则a.将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0, 2)与点B(4, 0)重合，若此时点0(7,3)与点D(m, n)重合，则 m+ n的值是.圆心在y轴上，且与直线x + y 3=0及xy1 = 0都相切的圆的方程为 .在圆x2+y25x=0内，过点(5, 3)有n条长度成等差数列的弦，最小弦为a最大弦22为an若公差dC2,1,那么n的取值集合是 63三、解答题.直线l被两条平行直线l1： x+2y1 = 0及l2： x+2y3=0所截线段的中点在直线 x-y 1=0上，且l到直线x+2y3=0的角为45 ,求直线l的方程.A、B,由 A、B作直线 2x+y+3=0.直线l过点(1, 1)交x轴、y轴的正半轴分别于