高考数学100个热点题型秒解技巧之利用柯西不等式速解最值问题

1、 化 难 为 易 化 繁 为 简 2019年4月版秒解高考数学100招 选择、填空篇 例（2016山东理7）函数的最小正周期是( )A. B. C. D.【秒解】根据口诀：和差不变,积商减半,易知以及的周期均为,则的周期为,选.四大特色助快速解题 100个秒解技巧 80个精妙二级结论 10年高考真题为例 700个例题深入剖析目录 CONTENTS1、集合 利用特值逆代法速解集合运算题22、集合 利用对条件具体化巧解集合运算题3、集合 运用补集运算公式简化集合计算4、简易逻辑 利用韦恩图巧解集合与数量关系题5、简易逻辑 借助数轴法巧解充要条件问题6、复数 利用逆代法、特值法速解含参型复数题7、复

2、数 利用公式速解有关复数的模的问题8、复数 利用结论快速判断复数的商为实数或虚数9、复数 利用公式快速解决一类复数问题10、三视图 柱体和锥体的三视图快速还原技巧11、三视图 利用“三线交点”法巧妙还原直线型三视图12、不等式 利用逆代法巧解求不等式解集问题 13、不等式 利用特值法速解比较大小问题 14、不等式 利用数轴标根法速解高次不等式15、不等式 用代入法速解f型不等式选择题16、不等式 利用几何意义与三角不等式速解含有绝对值的不等式17、不等式 利用结论速解含双绝对值函数的最值问题18、不等式 利用“1的代换”巧解不等式中的最值问题19、不等式 利用“对称思想”速解不等式最值问题20

3、、不等式 利用柯西不等式速解最值问题21、线性规划 利用特殊法巧解线性规划问题22、线性规划 高考中常见的线性规划题型完整汇总23、程序框图 程序框图高效格式化解题模式24、排列组合 排列组合21种常见题型解题技巧汇总25、排列组合 利用公式法速解相间涂色问题26、排列组合 速解排列组合之最短路径技巧27、二项式定理 二项式定理常见题型大汇总28、二项式定理 利用公式速解三项型二项式指定项问题29、平面向量 特殊化法速解平面向量问题30、平面向量 利用三个法则作图法速求平面向量问题31、平面向量 HYPERLINK /p/31042443 三点共线定理及其推论的妙用32、平面向量 平面向量等和

4、线定理的妙用33、平面向量 向量中的“奔驰定理”的妙用34、平面向量 三角形四心的向量表示及妙用35、平面向量 利用极化恒等式速解向量内积范围问题36、空间几何 利用折叠角公式速求线线角37、空间几何 求体积的万能公式：拟柱体公式38、空间几何 空间坐标系中的平面的方程与点到平面的距离公式的妙用39、空间几何 利用空间余弦定理速求异面直线所成角40、空间几何 利用公式速解空间几何体的外接球半径41、函数 用特值法速解分段函数求范围问题42、函数 数形结合法速解函数的零点与交点问题43、函数 数型结合法巧解带f的函数型不等式44、函数 函数的周期性的重要结论的运用45、函数 利用特值法巧解函数图

5、像与性质问题46、函数 通过解析式判断图像常用解题技巧47、函数 利用结论 速解“奇函数C”模型问题48、函数 利用特值法速解与指数、对数有关的大小比较问题49、函数 巧用耐克函数求解函数与不等式问题50、函数 利用对数函数绝对值性质速解范围问题51、函数 巧用原型函数解决抽象函数问题52、函数 构造特殊函数巧解函数问题53、导数 特殊化与构造方法巧解导数型抽象函数问题54、导数 极端估算法速解与导数有关选择题55、导数 用母函数代入法巧解函数、导数中求范围问题56、导数 隐函数求导在函数与圆锥曲线切线问题中的妙用57、三角函数 利用口诀巧记诱导公式及其运用58、三角函数 利用结论速求三角函数

6、周期问题59、三角函数 巧用特值法、估算法解三角函数图像问题60、三角函数 海伦公式及其推论在求面积中的妙用61、三角函数 借助直角三角形巧妙转换弦与切62、三角函数 特殊技巧在三角变换与解三角形问题中的运用63、三角函数 齐次式中弦切互化技巧64、三角函数 利用射影定理秒解解三角形问题65、三角函数 三角形角平分线定理的妙用66、三角函数 三角形角平分线长公式的妙用67、三角函数 三角形中线定理及其推论的妙用68、三角函数 利用测量法估算法速解三角形选择题69、三角函数 利用公式法速解三角函数平移问题70、数列 利用公式法速解等差数列与71、数列 利用列举法速解数列最值型压轴题72、数列 用

7、特殊化法巧解单条件等差数列问题73、数列 等差数列性质及其推论的妙用74、数列 观察法速解一类数列求和选择题75、数列 巧用不完全归纳法与猜想法求通项公式76、数列 代入法速解数列选项含型选择题77、数列 一些数列选择填空题的解题技巧78、统计与概率 估算法速解几何概型选择题79、直线与圆 利用相交弦定理巧解有关圆的问题80、直线与圆 利用精准作图估算法速解直线与圆选择题81、直线与圆 利用两圆方程作差的几何意义速解有问题82、圆锥曲线 利用“阿波罗尼圆”速解一类距离比问题83、圆锥曲线 用点差法速解有关中点弦问题84、圆锥曲线 用垂径定理速解中点弦问题85、圆锥曲线 用中心弦公式定理速解中心

8、弦问题86、圆锥曲线 焦点弦垂直平分线结论的妙用87、圆锥曲线 利用二次曲线的极点与极线结论速求切线和中点弦方程88、圆锥曲线 用公式速解过定点弦中点轨迹问题89、圆锥曲线 巧用通径公式速解离心率等问题90、圆锥曲线 巧用三角形关系速求离心率91、圆锥曲线 构造相似三角形速解离心率92、圆锥曲线 用平面几何原理巧解圆锥曲线问题93、圆锥曲线 利用焦点弦公式速解焦点弦比例问题94、圆锥曲线 利用焦点弦公式速解焦半径与弦长问题95、圆锥曲线 椭圆焦点三角形面积公式的妙用96、圆锥曲线 双曲线焦点三角形面积公式的妙用97、圆锥曲线 离心率与焦点三角形底角公式的妙用98、圆锥曲线 用离心率与焦点三角形

9、顶角公式速求离心率范围99、圆锥曲线 用特值法巧解圆锥曲线选填题100、圆锥曲线 用对称思想速解圆锥曲线问题20、不等式 利用柯西不等式速解最值问题柯西不等式： 二维形式：公式变形：,等号成立条件：当且仅当时. 一般形式：等号成立条件：, 或中有一为零. 柯西不等式的三角形式设都是实数,则. 从题型上来分,柯西不等式可用于不等证明问题和最值问题两大类.其中不等证明问题可细分为 分式和不等式证明问题、整式和不等式证明问题;最值问题又可进一步细分为多元变量代数式的最值问题和一元变量的最值问题.（1）求多元变量代数式的最值求多元变量代数式的最小值时,可考虑多元变量代数式放置在柯西不等式的左边;当求多

10、元变量代数式的最大值时,可考虑多元变量代数式放置在柯西不等式的右边. 例1（2012浙江文9）若正数满足,则的最小值是（ ）A. B. C.5 D.6 【秒解】由,得 （*）由柯西不等式,得（*）即,所以,且所以的最小值是5,故选C. 例2（2014陕西理15）设且,则的最小值为 .【秒解】由柯西不等式,，即.所以,当且仅当时等号成立.所以的最小值是. 例3（2013湖南理10）已知,则的最小值为 .【秒解】由柯西不等式得,即,当且仅当时等号成立,即,即时取最小值12. 例4 （2011浙江理16）设为实数,若,则的最大值是 .【秒解】由,得,即由柯西不等式,得,当且仅当时,取等号.即,所以.

11、经验证,当时,所以的最大值是. 例5（2011重庆）已知,则的最小值为（ ）A. B. 4 C. D. 5【秒解】由式子知,故选C.例6（2013陕西）已知均为正数,且,则的最小值为 .【秒解】由柯西不等式可得 答案：2 例7（2013湖南理）已知 ,则 的最小值为 .【秒解】且当时,取最小值为12. 例8(2015成都月考)对于,当非零实数满足且使最大时,的最小值为 .【秒解】由题可知：,即当且仅当,即（同号）时,取得最大值,此时,当且仅当时,取最小值.（2）求一个变量的最值 例9（2014浙江文16）已知实数满足,则的最大值是 .【秒解】由,得（ * ）由柯西不等式得.（*）将（*）式带入

12、（*）式得,解得.经验证,当时,.所以的最大值是. 例10 函数的最大值 .【秒解】由柯西不等式得 例11(2015江苏易大联考)求函数：最大值.【秒解】易求得原函数的定义域为因为,当且仅当,即时等号成立,所以.故函数最大值为. 例12 求函数的最小值.【秒解】由, 得,点评：在应用三角形式求最小值时,我们要注意两点：在使用公式过程中,要能够抵消变量;要尽可能的使定值最大.比如本题若变成虽然产生结论,但“2”并不是最小值. 例13 求函数的最大值;【秒解】由三角形式稍作变化,即得.点评：在应用三角形式求最大值时,我们也要注意两点：在使用公式过程中,要能够抵消变量;要尽可能使定值最小.比如本题若

13、变成虽然产生结论,但并不是最大值. 例14（2015陕西文24）已知关于的不等式的解集为求实数的值;求的最大值【秒解】（I）由,得则,解得（II）方法一（柯西不等式）：当且仅当即时等号成立,故（3）不等式证明问题 例15（2008全国理科）若直线过点,则（ ） 【秒解】由柯西不等式,得.又点在直线上,即,代入上式,得,因此选. 例16（2013文科24）设均为正数,且.证明：.【秒解】证明 由柯西不等式,得代入,得 例17（2009浙江）已知正数.证明：.【秒解】证明 由柯西不等式,得即.评注 对于分式和不等式的证明,可以考虑给该分和配上一个由各个分式的分母的和构成的因式. 例18（2008年

14、南开大学自主招生）设均为正数,且.求证：.【秒解】证明 由柯西不等式,得,即（*）再次利用柯西不等式,得,即,结合（*）式,得即. 评注 一次柯西不等式无法得到结果时,可再次使用 例19（2013浙江）设正数满足,求证,并给出等号成立的条件.【秒解】由,得.由柯西不等式,得即,当且仅当时,即时,等号成立.代入,得.即等号成立的条件是. （4）在其他题型中的运用 例20（湖北理9）已知是椭圆和双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） B. C.3. D.2.【秒解】设椭圆方程为 ,其离心率为,双曲线方程为,其离心率为,两曲线的公共点在第一象限,则可得,即由柯西不等式得,当且仅当时等号成立,故的最大值为,从而选A. 例