高三数学空间角与距离习题精选精讲

1、13BD= 一2图（1）图（3）空间角与距离（1）异面直线所成的角 一一空间角的最小元素直线与直线所成角是立体几何的所成角（线线角、线面角、面面角）中最简单的一种，只需要把两条直线（或其中一条直线）平移，使它们相交于一点，就可以把两条异面直线所成角的问题转变为平面中两条相交直线所夹角的问题了.要注意的是角的取值范围， 分清那个角是这两条直线的所成角（或者它的补角）.其范围是【例1】 如图（1）所示，在空间四边形 ABCD中,已知AD=1 , BC= 33 ,且ADXBC,对角线AC 3, 一 一AC =,求AC和BD所成的角.2作平行线，找与异面直线所成的角相等的平面角，将空角问题转化为平面问

2、题【解析1】如图（2）所示，分别取 AD、CD、AB、BD的中点E、F、G、H,连结EF、FH、HG、GE、GF.由三角形中位线定理 TOC o 1-5 h z 知，EF / AC ,且 EF= , GE/ BD,且 GE13-. 44GE和EF所成的锐角（或直角）就是 AC和BD所成的角.1. 一 3同理，GHj HF =，GH/ AD, HF/ BC. 22又 adl BC. GHF =90 . HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 222GF2 =GH2 HF2 =1.在aefg中，EG2 EF2 =1 = GF2,ZGEF =90,即AC和b

3、d所成的角为90.【解析2】 如图（3）,在平面BCD内，过C作CE / BD 且 CE=BD 连 DE 贝U DE/ BC且 DE=BC./ ACE就是AC和BD所成的角（若/ ACE为钝角，则/ACE的补角就是AC和BD所成的角）.又 ADL BC, -. ADL DE.222AE2 = AD2 DE2 =4.：/ACE=90 ,即AC和BD所成的角为90 .【点评】 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”.平移的方法一般有下面三种类型：利用图有已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移，计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行（2）线面角一一直线与射影的夹角为

4、主体直线与平面所成的角分两种，一是平面的斜线与平面所成的锐角，即斜线与平面内的射影所夹的角；二是平面的垂线与平面所成的直角.直线与平面所成角不存在补角的问题直线与平面成角的范围是图（4）图（5）【例2】 如图（4）,在三棱锥 P ABC中，ABXBC, AB = BC = kRA,点O、D分别是AC、PC的中点， OPL底面 ABC.（I ）求证：OD /平面FAB;1（口）当卜=时，求直线PA与平面PBC所成角的大小.【解析】（1）:0、D分别为AC、PC的中点：0D / PA,又 AC 二平面 PAB, .0D/平面 PAB.-. AB BC,OA=OC,OA=OC=OB,又,OP,平面

5、ABC, PA=PB=PC.取BC中点E,连结PE,则BC,平面POE,作OF，PE于F,连结DF,贝U OF,平面PBC Z ODF是OD与平面PBC所成的角.又OD / PA, PA与平面PBC所成角的大小等于/ ODF.在 RtAODF 中,sin / ODF= OF-= J21OD 30 ,210:PA与平面PBC所成角为arcsin -30【点评】 求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角（3）二面角用 平面角来量度面面成角是立体几何中的所成角问题的重点，二面角的两个面是两个半平面，因此二面角中有钝角存在，二面角的取值范围与线线角、 线面角不同，它的取值范围是 （Q二）.

6、二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小求解，以利用平面几何、三角函数等重要知识 【例3】在棱长为a的正方体ABCD A B C D中，E、F分别是BC、A D的中点.S1图（6）（1）求证：四边形B EDF是菱形；求直线A C与DE所成的角；（3）求直线AD与平面B EDF所成的角;B E=ED=DF=FBa,2（4）求面B EDF与面ABCD所成的角.【解析】（1）证明：如上图所示，由勾股定理，得下证B、E、D、F四点共面，取 AD中点G,连结A G、EG,由EGABA B知，B EGA是平行四边形B E/A G,又 A FDG,：A GDF 为平行四边形.：A

7、G/FD, ： B、E、D、F 四点共面故四边形B EDF是菱形.（2）解：如图（7）所示，在平面 ABCD内，过C作CP / DE,交直线AD于P,图（7）则/A CP（或补角）为异面直线A C与DE所成的角.5在A A CP 中，易得 A C= V3 a, CP=DE = a A2 P=a215由余弦定理得 cosA CP= 1515故A C与DE所成角为arccos15解：,/ ADE = /ADF,：AD在平面B EDF内的射影在/ EDF的平分线上.如下图所示图（8）又 B EDF为菱形，：DB为/ EDF的平分线, 故直线AD与平面B EDF所成的角为/ ADB在 RtAB z A

8、D 中，AD= 2 a, AB =j2a,B D= 22 a贝U cosADB,33故AD与平面B EDF所成的角是 arccos解：如图，连结 EF、B D,交于。点，显然。为B D的中点，从而。为正方形ABCDA B C D的中心.图（9）作OH，平面ABCD ,则H为正方形 ABCD的中心， 再彳HM XDE,垂足为 M,连结 OM,则OM XDE , 故/ OMH为二面角 B DE A的平面角.在 RtDOE 中，OE= = a,OD = 5a,斜边 DE= ：a,则由面积关系得OM = OD OE = _2a DE 10 八 OH . 30在 RtOHM 中，sinOMH= =OM

9、6故面B EDF与面ABCD所成的角为arcsin三30 .B E=ED = DF=FB就断定B EDF是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证【点评】对于第（1）问，若仅由 明B、E、D、F四点共面.求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法.求二面角的大小也可应用面积射影法（4）点面距离一一空间距离的基石在点、线、面三者之间，有 6种距离存在，其中点点距和点线距属平面几何的内容，点面距是空间距离的基础，线面距、面面距、异面直线间的距离，一般都化归为点面距（点线距）求解例4 如图（10），正四面体ABCD的棱长为1,A到平面BCD的距离；【解析】（1）过A作AO

10、，平面BCD于O,连BO并延长与CD相交于E,连AE.AB=AC=AD,. OB=OC=OD.O是4 BCD的外心.又 BD = BC=CD,O是4 BCD的中心，：bo=2be=2 由=色3323又 AB=1 ,且/ AOB=90 ,.其中，异面直线间的距离，是距离问题的难点 求：图（10）AO= , AB2 -BO2 =、6A到平面BCD的距离是“63（5）异面直线距离一一空间距离的顶峰求异面直线的距离：（1）定义法，即求公垂线段的长.（2）转化成求直线与平面的距离.（3）函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分 别在两条异面直线上两点间距离中最小的.例5正方体ABCD A1B1C1D1的

11、棱长为1,求异面直线 AiCi与AB1间的距离.【解析1】 如图（11）,连结AC1,在正方体 AC1中，.庆1&/庆。,：2&/平面AB1C, ： A1cl与平面AB1c间的距离等于异面直 线A1cl与AB/可的距离.图（11）连结 BiDi、BD,设 BiDi CAiCi=Oi,BD n AC=O ACXBD , ACXDD1, ： AC,平面 BBiDiD ;平面ABiC,平面BBiDiD,连结BiO,则平面 作 O1G，B1O于G,则 OiGL平面 ABiCABiCn平面 BBiDiD=BiO：OiG为直线AiCi与平面ABiC间的距离，即为异面直线 AiCi与ABi间的距离.在 Rt

12、OOiBi 中，: OiBi=y-, OOi=i, . . OBi=，OOi2+OiBi. .OiG=Oi OiBi = 即异面直线AiCi与ABi间距离为 迎.OB1【解析2】如图（，在AQ上任取一点M,作MNABi于N,作MR，ABi于R,连结RN,图（i2）平面 AiBiCiDi,平面 AiABBi, ： MR ,平面 AiABBi, MRXABi ABJRN,设 AiR=x，则 RBi=i-x: / CiAiBi=/ABiAi=45 , TOC o 1-5 h z .2 MR=x,RN=NBi= （i -x）2 i 23 i 2 iMN=.MR2 RN2yX +2（i-X）=E（X3）

13、 +- （0 xi）.3. 3时，MN有最小值,即异面直线AiCi与ABi距离为 7.【点评】本题容易错误认为 OiB是AiC与ABi的距离，这主要是对异面直线定义不熟悉，异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的距离.求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得 通法特法妙法（i）定义法一一直奔问题核心空间距离的概念：图形点集的元素之间距离的最小值题1如图（i3）,正方形Fi内的任一点与图形F2内的任一点间的距离中的最小值叫做图形Fi与图形F2的距离.它可以看成是两个ABCD、ABEF的边长都是i,而且平面点M在AC上移动，点N 在

14、BF 上移动，若 CM=x ,BN=y,ABCD、ABEF互相垂直.（0 : x, y : 2）(1)求MN的长(用x,y表示)；(2)求MN长的最小值，该最小值是否是异面直线AC, BF之间的距离.图(13)【解析】在面ABCD中作MP _L AB于P,连PN,则MP_L面ABEF,所以MP_LPN, PB=1-AP= lx在 PBN中，由余弦定理得:22222pn =(x) y2-.2xycos450在 R3PMN 中，mn= ,mp2 +PN2 (1七x)2 Jx2 + y2 xy 22=V x2 + y2 - xy - V2x +1 (0 x, y 2).； MN = Jx2 +y2

15、- xy -aQa2b2a3b3距离公式：在空间直角坐标系中，已知 A (x1, y1, z1) , B (x2, y2, z2),则222dAB = (x2 - Xi)(丫2 - y1)( Z2 - Zi)【题2】 如图(14),在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱 PAL底面ABCD , AB=，, 3 , BC=1 ,PA=2, E为PD的中点.(I )求直线AC与PB所成角的余弦值；(口)在侧面 PAB内找一点N,使NEL面PAC,并求出N点到AB和AP的距离.【解析】解法1: (I)建立如图所示的空间直角坐标系，则 A、B、C、D、P、E 的坐标为 A (0, 0, 0)

16、、B ( V3 , 0, 0)、C ( %/3 , 1 , 0)、D (0, 1, 0)、1,、P (0, 0, 2)、E (0, - , 1),从而 AC =( .3,1,0), PB =( .,3,0,-2).设AC与PB的夹角为e ,则AC PB 33 . 7cos 1：|AC | | PB |2.714 .AC与PB所成角的余弦值为 至二14（口）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x, O, z）,则1 ,、NE =（-X,1Z）,由 NE,面 PAC 可得，2NE AP =0,国 AC =0.1，c(x, ,1z) (0,0,2) =0,z1=0,即2化简得厂1/1 d ni

17、-v3x+- =0.(x, ,1 z) (3,1,0) =0.223x =6z = 1即N点的坐标为（3,0,1）,从而N点到AB、AP的距离分别为 61,（3）平移法一一集中条件构造图形平移法是将空间问题转化为熟知的平面问题的重要手段之一立体几何中的三种角（线线角、线面角、二面角）和四种距离（线线距、点面距、线面距、面面距）从定义到具体的计算以及三垂线定理都体现了空间到平面的转化 .【题3】如图（16）,已知四棱锥 P ABCD , PBXAD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120（I）求点P到平面ABCD的距离，（II）求面APB

18、与面CPB所成二面角的大小.【解析】（I）解：如图（17）,作POL平面ABCD ,垂足为点 O.连结OB、OA、OD、OB与AD交 于点E,连结PE.- AD PB, AD OB, PA=PD, OA=OD ,于是OB平分AD ,点E为AD的中点，所以 PEXAD.由此知/ PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角, ：/ PEB=120 , / PEO=60由已知可求得PE= , 3一. 33PO=PE - sin60 = Rx =一22 图(17) 3即点P到平面ABCD的距离为一2(II)如图(18),取 PB 的中点 G, PC 的中点 F,连结 EG、AG、GF,贝 U AG

19、 PB, FG/BC , FG= - BC2图（18）等面积法是平面几何图(19)图（20）. AD PB, BCXPB, FG PB,：/ AGF是所求二面角的平面角. AD，面 POB,AD EG.又,. PE=BE,EGXPB,且/ PEG=603在 RtA PEG 中，EG=PE - cos60 =2在 RUPEG 中，EG=1AD=12 一 EG ,3于是 tan/GAE=AE 2 t 3又/ AGF=无一/ GAE.所以所求二面角的大小为a arctan2（4）等积法一一求点面距的特法等积法包括等面积法和等积法，等面积法可以求出点到直线的距离，等体积法可以用来求点到平面的距离 中用到的，而等体积法则是立体几何用来求点面距的特法【题3】如图（19）