高三数学专题6三角恒等变换与解三角形练习

1、专题6:三角恒等变换与解三角形（两课时）、前测训练 兀 1。，八 天 一1. （1）已知 cos（今 6）= 3氐（，2）,则 cos 后111答案：1 （忤2小）；1； 1 （23F63 671;sin(文-)=兀;,cos(2 #g) = cc .2sin 2x 2sin x(2)已知 cos(j + x) = |, 172 xvg 则 1-tanx =答案：28752sin50 sin80 (1 3tan10 ) TOC o 1-5 h z 41+cos10-=答案：2sin 2. - cos2 ;(4)已知 tan(； + o() = 2 .则1 +cos2=5答案：56(1)在4AB

2、C 中，b=g, B = 60, c= 1,则 C=; a=答案：300; 2(2)在ABC 中，A= 1200, a=7, b+c=8,贝U b=; c=答案：3或5; 5或3(3)如图，在四边形 ABCD 中，已知 AD_LCD, AD = 10, AB = 14, /BDA=60 , /BCD = 135，则 BC =答案：8.2(1)在4ABC 中，acosA=bcosB,则 ABC 的形状为.答案：等腰或直角三角形(2)在4ABC 中，sinA =2cosBsinC,则 ABC 的形状为.答案：等腰三角形 二、方法联想.三角变换基本想法（1）角：观察角的联系，实现角的统一.（2）名：

3、弦切互化，异名化同名.形：公式变形与逆用.哥：平方降哥，根式升哥.解题前先观察角的联系，分析角的变化，实现角的统一，从而决定解题方向，再结合三角函数名、公式的 变形、哥的升降，做出公式的选择.注意 判断角的范围，确定三角函数值的正负或角的值.若在已知范围内不能确定时，利用三角函数值的 正负或大小来缩小角的范围.三角形中边角计算方法 正、余弦定理的本质是六个量中四个量可以建立一些关系式，如涉及三边一角考虑用余弦定理，两 边两角考虑用正弦定理.边角转化、角角转化 .b2+ c2 a2万法 关于含有边角的关系式，利用 (1)a=2RsinA, b=2RsinB, c= 2RsinC 或cosAnbc

4、土等进行 2bc边角互化，即边化角或角化边.方法 角角转化，即利用 A+B + C=兀消元实现三角化两角，若已知一个角，可以将两角化一角.三、例题分析第一层次cosA-2cosc _ 2c-a例1、在4ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c.已知cosB b .sin C(1)求sin A的值;1(2)若cosB= 4 , AABC的周长为5,求b的大小.sinC解(1) sinA =2.(2) b=2.R教学建议1(1)主要问题归类与方法：边角互化问题利用a=2RsinA ,b = 2RsinB,c=2RsinC将边化为角；利用cosA=b2+c2- a2等将余弦化为边；cc

5、osB 2bc+ bcosC = a等化角为边.方法选择与优化建议：cosA-2cosc _ 2c-a1、对于等式 cosB b的右边，我们可以选择方法，化变为角，推导出 sinC=2sin A；cos A-2cos C _ 2c-a2、利用cosA = b2+ c2-a2等将等式cosB b的左边余弦化为边来做，运算量较大，所以不选2bc择方法.cosA-2cosc _ 2c-a3、等式cosB b 可以化为bcosA + acosB= 2(bcosC+ccosB),即c=2a,所以可以选择方法.(2)主要问题归类与方法：求边长利用正弦定理求边； 利用余弦定理求边.方法选择与优化建议：因为从

6、第一问已经可以得到c=2a,又a+ b+ c= 5,所以三边可以转化为只含有一个未知量b,利用减元消元解方程的方法解决问题，因此选择方法的余弦定理解决问题比较方便.例 2 已知函数 f(x) = 2 cos2x+ 2*73sinx cosx .IT IT(1)求函数f(x)在-6, 3上的值域;(2)在 ABC 中，若 f(C) = 2, 2sinB=cos(A C)cos(A + C),求 tanA 的值.解 (1)函数f(x)在行守上的值域为0, 3.(2) tanA =产.R教学建议1(1)主要问题归类与方法：将已知函数转化为函数f(x) =Asin( 3叶(j)+b的形式，使此函数变为

7、只含有一个三角名称的一次三角函数.方法选择与优化建议：平方降哥，将2次变为1次；角统一，化为只含有一个角的三角函数；注意利用角的范围来确定函数的值域，防止学生求值域时只是代入两个端点.(2)主要问题归类与方法：三角形中求某一个角的三角函数值，正弦定理余弦定理三角恒等变形方法选择与优化建议：本题没有边的的条件，所以方法不作考虑；注意到角C已知，又A+B+C= Tt,因此本题可化为只有一个只有未知角 A;利用第第二个条件 2sinB=cos(A C)cos(A+C),化为只有一个未知量角A的方程解决.例3如图所示，在半径为 2、圆心为45 口的扇形AB弧上任取一点P,作扇形的内接平行四边形PNMQ

8、 ,使点Q在OA上，点M, N在OB上，设/ BOP=。乎行四边形 PNMQ的面积为s.(1)求这s与之间的函数关系;(2)求s的最大值及相应的6的值.2 . 一二S=(2cos 日-2sin 6)x2sin 日=4sin 呢0一4所 9 ”二(2)当 8 时，ax = 22 - 2R教学建议1(1)主要问题归类与方法：平行四边形 PNMQ的面积=MIN- QMsin / QMN ;平行四边形高)方法选择与优化建议：MN、QM、/ QMN不好表示，所以方法不作选择；PNMQ的面积=min- h(h为MN边上的方法实际上就是分别过点P、Q作PD 1OB,QE1OB垂足分别为D、E,将平行四边形P

9、NMQ转化为矩形PDEQ,这个问题就可以仿照苏教版数学 (必修4)中的习题解法求解.(2)主要问题归类与方法：转化为函数f(x) = Asin( 3升(j)+b的形式，此函数只含有一个三角函数.方法选择与优化建议：化为只含有一个角的一次三角函数；注意利用角的范围来确定函数的值域，防止学生求值域时只是代入两 个端点.第二层次cosA-2cosC _ 2c-a例1、在4ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c.已知c0sBbsin C(1)求sin A的值;1(2)若cosB= 4 , AABC的周长为5,求b的大小.sinC解 (I) sin A =2.(2) b=2.R教学建议1

10、(1)主要问题归类与方法：边角互化问题 b2+c2- a2 一利用a=2RsinA , b = 2RsinB , c= 2RsinC将边化为角；利用cosA =-等将余弦化为边；ccosB2bc+ bcosC=a等化角为边.方法选择与优化建议：cosA-2cos C 2c-a1、对于等式 cosB b的右边，我们可以选择方法，化变为角，推导出 sinC=2sin A；cosA-2cos C _ 2c-a2、利用cosA = b2+c2-a2等将等式cosB b的左边余弦化为边来做，运算量较大，所以不选2bc择方法.cosA-2cos C 2c-a3、等式cosB b 可以化为bcosA + a

11、cosB= 2(bcosC+ccosB),即c=2a,所以可以选择方法.(2)主要问题归类与方法：求边长 利用正弦定理求边； 利用余弦定理求边.方法选择与优化建议：因为从第一问已经可以得到c=2a,又a+ b+ c= 5,所以三边可以转化为只含有一个未知量b,利用减元消元解方程的方法解决问题，因此选择方法的余弦定理解决问题比较方便.例 2已知函数 f(x) = 2 cos2x+ 2-73sinx cosx .(1)求函数f(x)在$上的值域；(2)在 ABC 中，若 f(C) = 2, 2sinB=cos(A C)cos(A + C),求 tanA 的值.解 (1)函数f(x)在刍上的值域为0

12、, 3.(2) tanA =，.6 32R教学建议1(1)主要问题归类与方法:将已知函数转化为函数 f(x) =Asin( 3叶(j)+b的形式，使此函数变为只含有一个三角名称的一次三角函数.方法选择与优化建议：平方降哥，将2次变为1次；角统一，化为只含有一个角的三角函数；注意利用角的范围来确定函数的值域，防止学生求值域时只是代入两个端点.(2)主要问题归类与方法：三角形中求某一个角的三角函数值，正弦定理余弦定理三角恒等变形方法选择与优化建议：本题没有边的的条件，所以方法不作考虑；注意到角C已知，又A+B+C= Tt,因此本题可化为只有一个只有未知角 A;利用第第二个条件 2sinB=cos(

13、A C)cos(A+C),化为只有一个未知量角A的方程解决.例3、已知 ABC的面积为S ,且AB AC = S .(1)求tan2 A的值;(2)JTB 二若 4 ,CB 一孰=3,求4人3。的面积$.tan 2A(1)2tan A1 Tan2 A(2) 3.R教学建议1(1)主要问题归类与方法：向量的数量积表示有两种方法，是数量积的定义，是数量积的坐标表示.方法选择与优化建议：本题中没有涉及到向量的坐标，同时还需要表示三角形的面积，所以选择方法.(2)主要问题归类与方法：求三角形的面积问题计算三角形的面积需要三个条件，已知两条边一夹角；已知三条边；已知一条边以及此边上的高等 等.方法选择与

14、优化建议：已经知道了两个角一条边，以上的三个方法都可以解决问题，但相对而言，方法的运算量较小.第三层次例1、已知a, 3 (,兀)且tan后2, cos片一 ”朱.(1)求cos2 a的值；(2)求2 a 3的值.-3解(1) cos2 a=-5(2)2 a 3=.4R教学建议1(1)主要问题归类与方法：问题 1、cos2 a= cos2 a sin2 a= 2cos2 a 1 = 1 2sin2 a问题2、由于cos2 k cos2 a sin2% 这可以化为tan a的齐次式.方法选择与优化建议：代(0,兀)tan后2求cos必sin a时要注意对于问题1,选择以上三个公式中的任何一个都可

15、以，但在从 判断它们的符号.对于问题 2, os2 a= cos2 k sin2cos2 旧 sin2 asin2 + cos2 a处理起来更加便捷.(2)主要问题归类与方法：求角的问题求角就需要选择一个关于 2 a- 3的三角函数，它可以是正弦、余弦，也可以是正切，关键在于这个三角函 数值可以求。另外，2a 3的范围不仅影响角的结果，也影响着选择正弦、余弦、正切中的哪个三角函数. 方法选择与优化建议：、一、一八一一一,、八一，1 一 I一兀兀通过推理，我们得到 2a凯(一J 2),所以可以选择计算 sin(2寸3值，也可以选择计算tan(2中3的值, ，一、r一.一、， 一 兀 兀一 一但不

16、宜选择计算 cos(2 k 3)因为在(成万)上，正弦函数、正切函数都是单调的，而余弦函数却是不单调的.例2设&ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,且(a+b+c)(a b + c)=ac.求B;3-1sin Asin C =(2)若4 ，求 C.0解B =120 .(2)C=15或 C=45.点评：求角一般要先求值，即求出该角的某一个三角函数值，但求哪一个三角值，要根据条件选择；由值求角，要注意角的取值范围，有时会有多个角.R教学建议1主要问题归类与方法：在三角形中求角的大小通常利用正弦定理，利用已知的两边一对角，求另外一个对角；是利用余弦定理，已知三条边求任意一个角.方法选择与优

17、化建议：条件(a +b +c)(a -b +c) =ac可化为a2 +c2 b2 = -ac,所以选择方法余弦定理可以直接得到角B的大小.(2)主要问题归类与方法：在三角形中求角的大小由第一问，我们已经得到了B=120,所以A + C=600 , A = 600 -C，代入到条件中去，求解关于角C的方程，利求得角 C的某个三角函数值；013 _ 1cos(A C) = cos60 = sin Asin C = . A 八、从2 ,以及4,可以求得cos(A-C),进而得到角C的大小.方法选择与优化建议:0 J 3sin(2C 30 )：方法代入后化归为2 ,这个解法虽然比较麻烦，但是多数学生会

18、采取这个方法，它符合学生的正常思维.方法解法简洁，但是学生不太容易想到计算cos(A-C)的值.方法值得学生选择并掌握.cosA-2cosC _ 2c-a例3 在4ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c.已知 COsB b .sin C(1)求sin A的值;1(2)若cosB= 4 , ABC的周长为5,求b的大小.sinC解 (I) sin A =2.(2) b=2.R教学建议1(1)主要问题归类与方法：边角互化问题利用a=2RsinA ,b = 2RsinB,c=2RsinC将边化为角；利用cosA=b2+c2- a2等将余弦化为边；ccosB 2bc+ bcosC = a等化角为边.方法选择与优化建议：cosA-2cos C _ 2c-a1、对于等式 cosB b的右边，我们可以选择方法，化变为角，推导出 sinC=2sin A；cos