高三数学数列练习题

1、高三数学数列练习题1,已知数列a n是公差dw0的等差数列，其前 n项和为Sn . ，S- SSc(1)求证：点P1(1,；) , P2(2,y)Pn(n,)在同一条直线l1上;(2)过点Q1(1 , a1) , Q2 (2 , a2)作直线12,设l 1与l 2的夹角为。，2,已知数列 匕中，Sn是其前n项和，并且Sn+=4an + 2(n=1,2|),a1=1,设数列bn =an书2an(n =1,2,),求证：数列(bj是等比数列；设数列cn =2,(n=12)，求证：数列 &是等差数列；2n求数列Gn)的通项公式及前n项和.3.在直角坐标平面上有一点列 P1(X1，y)P2(X2，y2

2、)，Pn(Xn，yn)，对一切正整数n,点Pn13 5位于函数y=3x+一的图象上，且 Pn的横坐标构成以 -一为首项，-1为公差的等差数列42求点Pn的坐标；设抛物线列G，C2，c3J,cn中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线cn的顶点为Pn ,且过点 Dn(0,n2 +1),记与抛物线cn相切于Dn的直线的斜率为 心，求:+ k1k2 k2k3+knjkn设 S =x | x = 2xn ,n w N, n 之 1,T = y | y = 4yn ,n 1),等差数列 an的任一项 an w ScT ,其中现是5小丁中的最大数，265a10 bn.115.已知f (x) =-v4+

3、 数列an的前n项和为Sn，点Pn(an,-)在曲线y= f(x)上 xan 1*.(n = N )且a =1自 0.(1)求数列an的通项公式;(2)数列0的前n项和为且满足T21 =4-+16n2 8n-3,设定b,的值使得数列bn a n an 1是等差数列；1*(3)求证：Sn . 4n 1 -1,n N .2.设数列an的前n项和为 S.已知a1=a, an+1 = S+3n, nCN*.列bn的通项公式；(2)若an+1 an, nCN*,求a的取值范围.数列an满足a1 =1 且8an书an -16an+2an +5 = 0(n 8 1).记 bn(1)设 bn=Sn- 3n,求

4、数(n-1).(I)求 b、b3、b4 的值；(II)求数列bn的通项公式及数列an的前n项和Sn.参考答案1.证明：（1）因为等差数列an的公差dw0,所以k(k-l)d ShS* =ka)+-工=/Sk Si当k2(正时时，-V-T k -1k-h丁k -1r:= - d(d是常数)，即 k -12Kp1P k 是常数(k=2 , 3,，n).2璋都在过点斗（1.3）且斜率为常数（的直线上. 1（2）直线l 2的方程为y-a 1=d(x-1),直线l 2的斜率为d.dd -21 + d * 22 + d2 2 ffldi2.解：（1）由 Sn书=4an2 , Sn 2 =4an 1+2,两

5、式相减，得Sn42-Sn 书=4(a n 书-a n)，即an生=4an由-4a n a n 七-2a n 由=2(a n+-2a n)，又 bn=an 由-2an，所以 bn+=2bn已知 S2 =4a1 +2, a1 =1, a1 +a2 =4a1+2,解得 a2 =5, b1 =a2 -2a 1=3由和得，数列bn是首项为3,公比为2的等比数列，故bn=3-2n，因为二送&iEM，所画1&H+1 %2/- - = =n+i 2n2】3 211T 3泮 =XC1 2113；故数列Z）是首项为:公差是一的等差数列,所以P2, P3n都在过点P1 （1, a）且斜率为常数 d的直线11上。0）

6、因为 =蓑，= -n-,所以矢=m一，=（如-1）n-2当 n2 时，Sn =4an 1 +2=2n A(3n-4)+2 ;当 n=1 时，S1=a1 =1 也适合上式.综上可知，所求的求和公式为Sn=2n-（3n-4）+2 .3.解:.53xn = - (n -1) (-1) - -n -22yn135=3 xn = -3n -44丁 Cn的对称轴垂直于X轴，且顶点为Pn .二设的方程为:2n 3 2 y =a(x 2)12n 54把 Dn (0, n2 +1)代入上式，得 a=1, ,cn 的方程为：y = x2 + (2n+ 3)x + n2 +1。kn =ylx_。= 2n +3,二=

7、_ (lx-kkn(2n 1)(2n 3) 2 2n 1 2n 3k1k2+ +k2k3knkn1r/11,11,=()()(2 57792n 1 2n 3)J(1_2 5 2n 3 S=x|x=-(2n+3n Nn之T =y|y = -(1不 5),n N,n-1 =y| y = -2(6n 1) -3n N,n-1二 S0|T =T,T 中最大数 a1 = -17.设an公差为 d ,则 a10 = -17 + 9d w (-265,-125),由此得248-*-d 。a1=1当 n2 时，a3 +a2 +a3 +3an=S：a1 * a2 +a3 +an=Sn 二得，a； =S； -SL

8、 = Sn -SnSn Sna-an0 . a2 = Sn +Sn4=2Snan. ai=1适合上式当 n2 时，a；1=2&T anT an an=2(Sn - $ i) an+an i=2an an+ an-1= a n+ a n-1 an+an-10. . an an - 1=1数列an是等差数列，首项为 1,公差为1,可得an=n TOC o 1-5 h z (2)an =n.bn =3n(1)n, 2an = 3n(1)n,2nbn .1 -bn=3n 1(-1)n 2n 1 -3n (-1)nJ- 2n=2 3n -3 (-1)nJ 2n0n -1, 3X n -1 a, ,(-1

9、)九M()3当n=2k-1, k=1, 2, 3,时，式即为 九(一)2k/ 2依题意，式对 k=1, 2, 3都成立，入 _(一)2k 2依题意，式对 k=1, 2, 3,都成立，33一，九A 分二 一一父儿1,又儿 0 HYPERLINK l bookmark30 o Current Document 22，存在整数 入=1,使得对任意nCN,都有bn+1bn5.解：11 L=f(an) = 4+-y且an 0an 1ta n112-2 =4(nN*)an 1an一 1 一 1_数列是等差数列，首项 1=1公差d=4anan12F=1+4(n1)an2an14n -3-an 0. an -

10、 3(n N*)1T-o(2)由 an = j ,4=l6n2 -8n-34n -3 an得(4n -3)Tn i = (4n 1)Tn (4n-3)(4n 1)=T1 n -14n -3I n 1 n4n 1 4n -3 Tn =(4n -3)(T1 n -1)若bn为等差数列，则T1 1=0,11 =1即b1 =1. . bn =8n-7 n N*an1.4n -322. 4n 1 - . 4n - 3, , a n =二2”4n -3 4n -3 、.4n 12Sn = a1a2 一 一 an 1(. 5 -1) (. 9 - 5)2+( . 4n 1 - . 4n -3) = 1、4n

11、 -1 -1- 4n 1 = 1 n N * 22分析： 第(I)小题利用 Sn与an的关系可求得数列的通项公式；第(II)小题将条件an+1 a n转化为关于n与a的关系，再利用awf(n)恒成立等价于a2 时，an=SS,=3n+ (a 3)2 n/一3n一(a3)2 n = 2X3十 (a 3)2n _2an+1an = 4X3 n”+ (a 3)2 n= 2 n 12 (|)n+a3,2, 3 n_2, 3 n-2当 n2 时，an+1an,即 2n 12(3) +a 3 0, 12 ( 3)+a-30, .-.a- 9,综上，所求的a的取值范围是9, +8.1_.（本小题12分）解法

12、一：（I）a=1,故灯=2;1 - 128 一 3 -1-21 17 一 00 -故,7 一 00-2a=4;2013拓a4 =葭,故 b4 =203)44(II )因(“一 )(b3 3(b2 -之=(鼻:(b -)(b3 -) =(b2 -) 33333,4 一、一， 2 ,.故猜想bn -3是首项为2,公比q =2的等比数列.33因an #2,（否则将an =2代入递推公式会导致矛盾）故an15 2a16-8an(n因bn16-8an 420-16anan 16an -336an -342(bn -3)20-16an1 an -26an -3,4 ,4 c二 bn1,b10,334故|b

13、n-4|确是公比为q=2的等比数列3因。4二,故bn2n, bn4(n -1)由bnan1 ，口11 得 anbn =3 bn1,2故 Sn =abia2b2anbn法二:5n1-231 n=-(2 5n-1)an得an1 +1,代入递推关系8a4 2n a -16%1 2an 5=0,4整理得bn 1bn b3bn= 2bn20(H)由 bi =2bn3,b44、，n 1 -彳=2(bn - 彳),b133go,4 bn3=-20 ,即 bn =32n43(n-1).由 a1 = 1,有 bi = 2,所以 b2 = -，b3 = 4, b43 TOC o 1-5 h z 11 一.由bn

14、=7 倚anbn =二 bn +1,an 2124 一、，一 . 2bn -4是首项为 :公比q = 2的等比数列，故33故Sn 二aQ , a2 b2 - - 9 bn1 八，,、= 2(bi b2bn) n；(1-2n) 35n1 -231 n=3(2n 5n -1).解法三: TOC o 1-5 h z ，2 ,.4 1,8 2 84 o(n) b2 -b1= ,b3 -b2=,b4 -b3=-, =()21 3 32 3 43 3 3 33猜想必书一是首项为2,公比q=2的等比数列，bnxbnJ 33一 一 5 2a 一又因 an # 2,故an+ =5 2an（n，）.因此16 -8an1bn 1 -bn 1an 1 -2112一 5 2an1 2an -1%