高三数学新增教材专题――向量

1、高三数学新增教材专题-向量河北 刘尚超（063600）平面向量是这次（教材改革新增加的内容之一.按新大纲的教学目标和要求， 主要内容有向量的概念与性质，向量的四种基本运算.向量的简单应用.其中的重点是向量的运算与简单应用分析近年的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算.由于新教材是首次增加这部分 内容，而且大纲要求重在基础，加之教学中师生还有一个逐步适应的过程.所以预计单独考查平面向量的 题目应属基本运算之类，将会以填空题或选择属的形式出现1个题目.对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为将来学习解析几何的基本工具，在相关内容中也可能会进行考查.本章的另一部分是解斜

2、三角形，它是从初中教材中遂步分离并划归到高中教材中的一部分内穿.从知 识体系上看，应属于三角函数一章，从研究方法上看，应属于向量应用的一个方面.近几年的全国高考试 题逐渐加大了对这部分三角内容的考查力度，主要是在三角形中考查正弦定理、余弦定理与三角恒等变形 等知识的综合应用.由于向量沟通着初中数学的有关知识，与高中数学中的函数、三角、解析几何、立几几何的知识密切 相关，较之导数、概率统计知识更为活跃、更为重要。一、向量正成为支撑高中数学学科的重点知识2005年普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科数学。新课程版）明确指出：“对数学基础知识的考查，要求全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点知

3、识，考查时要保持较高的比例，构成数学 试题的主体，注重学科的内在联系，不刻意追求知识的覆盖面，从学科的整体高度和思维价值的高度考虑 问题，在知识网络交汇点设计试题，考查达到必要的深度。 ” 由于新课程的新增加 的内容大都是近年来现代数学的重要基础，对于学生对于数学学科的学习兴趣、增 强学生的数学应用意识，都具有十分重要而深远的意义，并且它们必然成为支撑数学学科知识体系的重点 知识，从而他成为保持较高的比例，构成数学试题的组提的终于只是啊板块，在向量的在新高考试卷中频 频出现，引起大家的注意和关注，对改革传统高中数学教育学都产生意义深远的影响和积极的作用。向量的特有的“神”（坐标形式）形（几何形

4、式）兼备这一特征，时向量及其平行、垂直的充要条件 都有其坐标表示形式和几何表示形式，加之向量的数量积不仅是一个数值，而且与向量的夹角及其余弦值 密切联系，使得它必然成为沟通数学个主要分支（解析几何、立体几何、三角知识、数列等知识），嫁接数学知识之间横向联系的重要桥梁和纽带，决定了作为新课程卷新增内容的向量必然成为支撑数学学科知 识体系的重点知识，近年来向量的所占的比例大约在30分左右，约占全卷的 20%,向量作为现代数学的重要基础进入高中数学知识体系后，不仅确定立即成为支撑数学学科的重要知识，也是学习和研究许多重要数学问题的通性通法的强有力的工具，“注重通性通法，淡化特殊技巧”是近几年高空新命

5、题的重要理念之一，向量是高中数学的重要工 具之一，向量作为工具不仅在处理三角、不等式、解几、立几问题时显得简捷、明快，而且在中学其它学 科也有广泛的应用，向量的概念与运算包含着丰富的数学语言，常见形式主要有三种：一是自然语言，二 是符号语言，三是图形语言，这三种语言本质上是等价的，但不同的语义给人不同的信息，因此灵活、准 确地进行语义转换是正确、快速地用向量解题的保证。二、向量概念教学中的几个似是而非的问题注意向量中一些不合常理的性质：如向量不是有向线段，但却用有向线段表示；（向量有大小方向，但与起点无关，有向线段有大小、方向、和起点组成）向量有大小却不可以进行大小比较；（向量是一个有大小的量

6、，它可以用数来表示它的大小（模）：即同向又模相等的情况下,但它却不可以进行大小比较，同时向量在一个特殊的情况下可以比较大小,存在a =6)零向量方向是任意的， 但可平行却不可垂直；（零向量的方向是任意的，因此可以和任意向量平行,但却不可以与任何向量垂直，因此a 6 = 03a_Lb是错误的，必须加上 a,b都是非零向量。向量运算满足交换律、分配律，但满足结合律、消去律。（a（b c） = （a b）c, a b = a c= a = c都是错误的）向量有坐标，但坐标却与向量无关；（向量（3, 2）并不意味着向量过点（3, 2），2 ，一22 a，a=a ,，但 a b = ab #|a |b

7、|,常见的错误有（a b） =a b ,2 ,2正确的式子是：（a b）2三a b ,| a b|H a | | b |OA OB = BA,但是OA + OB却要画辅助线。 a / b u x1y2 - x2 yl = 0,但 a / b不等彳于 a = .b （必须 b = 0）直线方向向量的夹角不一定是直线的夹角。三、向量解题中的通性常法平面向量具有代数形式和几何形式的双重身份和内涵，在高中数学中起着桥梁和工具的作用，涉及的 主要问题有线段定比分点，平移问题，三角问题、平面几何，解析几何等。平面向量在高考中处于解决问 题的辅助地位，在解题中具有独特的功能.常作为工具与数列、三角函数、不等

8、式、解析几何、立体几何 等专题结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、角度、垂直等问题 以及圆锥曲线中的典型问题等.由于向量有其独特的形式和内涵，因此解题方法也多种多样，各领风骚，主要的有以下几种：1.巧用“回路”在平面封闭图形中，根据首尾相接的向量和为零向量，构造出一个向量等式，再根据向量加法的三角 形法则、平行四边形法则进行化简求解。【例】如图，已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：|EF| = ；（ Ab +dc）.【分析】根据求证的内容，将 EF转化为向量 AB、DC的和、差形式表示，充分运用如、减法的运算法则完成.【证明】如图

9、，在四边形 CDEF中，EF + FC + CD +DE =0.在四边形 ABFE 中，EF + FB +BA+AE = 0. + 得(EF + EF) + ( FC+FB) + (CD+BA) + ( DE + AE) =0.E、F 分别是 AD、BC 的中点，FC+ FB r0, DE +AE = 0.-2eF=- Cd - Ba= Ab + Dc .因此 EF = 1（ Ab + Dc）.2【评析】在四边形 CDE陵口在四边形 ABFE中写出向量的“回路”形式是破题的关键。“回路”是向量解题的一个特点，看似简单，但其应用广泛。2.数形结合由于向量具有代数和几何的双重特征，因此充分挖掘问题

10、的几何背景，数形结合往往是化解问题难点的制胜法宝。【例】（2003年高考新课程题）设0是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点 P满足AB AC OP=OA+M - +)，九W 0,也),则P点的轨迹通过 ABC的(|AB| |AC|（A）外心，（B）内心 （C） 重心（D）AABC的垂心.【分析】注意AB AN,| AB | | AN |是单位向量，利用向量加法的三角形法则作图求解。AB AN _ 【解】记 AM =, AN，则 AM、AN 都是单位向量，设 AQ= AM + AN , |AM |=|AN |,| AB | AN |. AMPN 是菱形，AQ 平分 NBAC,：

11、OP=OA + AP,而由条件知 OP=OA AQ, . AP = , AQ（0,二），.点P的轨迹是射线 AQ ,且AQ通过 ABC的内心.，应选BoAB - AN 一【评析】如果设 AM =,AN ，则AM、AN都是单位向量，这是构造单位向量的一条捷径.|AB| |AN|【例】点P为直线L上一点，A为L外一点，e为L上的单位向量，点 A为点A关于直线L的对称点，若用e和pA表示pAi ,则pAi =.A1【分析】注意到对称与垂直、中点的内在联系，并结合向量中射影的知识。【解】如图，作ab，l于b,则而=(PA e)e,AB = PBPA,所以城=而 函=而 而=2PB -PA =2(pA

12、e)e-pA.【评析】本题解法构思精巧，别出心裁，特别是 pb=(pa e)e是向量数量积几何性质的巧妙应用。【例】设x, yCR, i , j为直角坐标平面内x, y轴正方向上的单位向量，若向量 a=xi + (y + 2) j ,b = xi + (y2) j 且|才|+|b |=8。求点 M (x, y)的轨迹方程；_ 一【解】因为 a = xi + (y + 2) j , b = xi + (y2) j 且|a|+|b|=8。 TOC o 1-5 h z 所以点M(x,y)到两定点F1(0,2),F2(0,2)的距离之和为8。 HYPERLINK l bookmark49 o Curr

13、ent Document 22所以轨迹C为以Fi, F2为焦点的椭圆，方程为 +2 = 1。1216【评析】如果仅仅从代数的角度出发，将 | 5| +1 b | = 8转化为Jx2 +(y+2)2 + & 十(y _ 2)2 = 8 , 则会遭遇“计算之痛”，而数形结合则巧妙求解，一气呵成。3. “模”取平方模是向量的一个特性，许多问题都与此相关，向量的模形式上是距离和根式，它的解题方法以两边22平方为佳。| x H y |u | x |2 二| y |2u x = y是处理向量模常用的方法，通过平方以及利用向量数量积等知识转为为实数的有关问题的研究。这种方法往往与数学中整体处理方法相结合。【

14、例】(2005年高考浙江卷(理)已知向量ae,d=1满足：对任意te巳恒有百t%|引a%|,则 () I- F-I- * a. ateb. a (a - e)c. e!(a - e)d.( a + e)(a - e)【分析】|a te|R|a e|两边同时平方展开进行讨论；【解】te r,恒有|ate|刁a e|,等价于|a -te|2河a e|2恒成立,即(ate) 2(a e) 2 恒成立.-fr fc- f展开整理得t22a et+(2a e-1)0对任意tCR均成立. TOC o 1-5 h z * 则需方程的判别式 =( 2a e)2 4(2a - e-1) 整理得(a - e)2-

15、2(a - e)+ 1 0,即(a - e- 1)20.a - e=1. f-fc-fH+f-fc-fe(a e)=e a -e2=11=0. e!(a -e). .应选 c.2 - 2- - -【评析】|xy|2 = (x y)2=x +y 2x ycos 是常用的一个公式，应熟练掌握。4 .“建基设系”利用平面向量基本定理， 即如果0、e.是同一平面的两个不共线向量，则对这个平面内的任意向量 a ,有且只有一对实数 人1、K 2,使a=九1 + K 2& .因此可以将平面上任何一个向量 a表示成不共线两个向量的线性组合形式，这在证明相关的平面几何时尤为常用。特别地，向量的中点公式一OM =

16、 (OA+OB),M 为 A、B 的中点。【例】在 ABC内求一点P,使AP2 +BP2 +CP2取得最小值，该点是三角形的A.垂心 B.内心C.重心D,外心【分析】解决三角形的有关问题常常以两边为基底，将其它的量表示成基底的线性组合形式。【解】如图，设 cA =a,cB =b,CP = x,AP =x-a,BP = x-b ,AP2 +BP2 +CP2 = (x-a)2 +(x-b)2 +x2 =3x2 -2(a+b)x + a2 + b2 TOC o 1-5 h z 11-12-2212 HYPERLINK l bookmark76 o Current Document =3x (a b)

17、 a b (a b). 33 HYPERLINK l bookmark78 o Current Document 199_9根据向量运算的意义，知当 x=3(a+b)时，AP2+BP2+CP2有最小值.设M为AB的中点，易知a + b=2CM1 2即当x=(a+b)时，CP= CM ,此时P为三角形的重心.33【评析】本题的关键在于建立一个以向量为变量的二次函数，因此，在解题重应消除只能以实数为变量的 原有定势，只要任何一个量是变化的，不管量的性质如何，就可以作为变量，从而建立以这个量为变量的 函数.本题也说明了解决利用向量解三角形问题，常常可以通过建立基向量的方法。【例】已知 ABC的三个顶

18、点A,B,C及平面内一点 P,满足PA+PB+PC=AB,则点P与4ABC的关系为()A、P在 ABC内部 B、P在 ABC外部 C、P在AB边所在直线上D、P是AC边的一个三等分点【解】构作一个特殊三角形， 即以A为顶点的等腰直角三角形， 且A (0, 0), B (1,0), C (0,1),P(x, y)1.则由条件得x=0, y=，应选D。3【评析】利用平面直角坐标系将向量问题坐标化，是向量代数化的一条有效途径，向量问题坐标化的优点在于思路明晰、以算取胜。5.“算两次”列方程算两次的方法在数学解题中屡试不爽，同一个式子、同一个图形、同一个问题从两个不同的角度出发，得到不同的式子、方程，

19、从而为解决问题提供了方便。在平面向量中“算两次”的方法运用的最为普遍的 是三点共线问题。【例】 ABC中，|AM| ： |AB| =1 ： 3, |AN| ： |AC| = 1 ： 4。线段 BN与 Cg于点E, AB = a, AC = b，试用a与b表示AE。【分析】用两种方式来刻划 M E, C三点共线，并注意利用平面向量基本定理。1 -【解】.M E, C三点共线，且 AM =1AB设ME =tMC3由平面向量定理知，AE=t AC + (1-t) AM = t AC +又设 NE = s NB , AN = 1 AC ,4由平面向量定理知， AE=sAB+(1 s) AN=sAB +

20、AC。1-tAB ,3 AB , AC是 ABC的两条边向量,b不共线，由平面向量基本定理知，AE的表示唯一。解得,2 一 2 .3t = 2。AE= b + a111111【点拨指导】由 AE=t AC+ (1-t) AM , AE=sAB+ ( 1 s) AN ,和向量表示的唯一性，得到t = 1 -s ,且1t =s.这种“算两次”的方法被广泛的应用在利用向量解决几何问题中，应反复琢磨，领43会要义.6.待定系数法待定系数法是常用的数学思想方法，在平面向量中关于向量的平行、三点共线、点的轨迹、最值问题 等都可以利用待定系数法，从而转化为方程的求解。【例】已知两点 A(1, 0)、B (1

21、, 0),点P使AP?AB, AP?PB, BA? BP成公差小于等差数列,则PA与PB的夹角0的取值范围是设 P (x, y),则由 2PA?PB= AP?AB+ BA? BP,得 x2 +y2=3.又由公差 d=(1-x) (x-1)一一一 PA PB0,则 0 xw 3 。所以 cos 0 =得PA PB1,1 - - 二=，匚(,1,得 0w 0 4-x223【例】已知 OP= (2, 1) OA= (1, 7), OB= (5, 1),设M是直线OP上的一点(O是坐标原点)，(1)求使MA MB取最小值时的OM ；(2)对(1)中求出的点 M,求/AMB的值。【分析】因为 M是直线O

22、P上的一点，所以设 OM =入OP并将MA MB表示成九的函数。求出了 M（2）就容易解决了。y + A【解】（1） : 0、P、M三点共线，设 OM =lOP=（2入，入），则MA =（1一2入，7 入），MB =（52 入,1入），mA - mB =5入 2-20 x + 12,当入=2时，mA mB取最小值，这时 oM =（4, 2）。 MA= (3, 5), MB =(1, - D, cosAMB =mA mb 17又 0 E ZAMB = OA (OB + OC)又 MC = -MB=OA 20M =2|OA|OM | cqs180o=-2|OA|QM |.又 iOA|+i而|=2,

23、|0A|0M0A1；10M |)2=i (当且仅当 |0A|=|而时取等号). OA - (OB + OC)=-2|OA|=|OM除2,即O为AM中点时，oA ( oB + OC )取最小彳1为一2.，应填一2。【评析】涉及两个向量和的问题可联想和构作中点、三角形的中线图形。【例】如图，0、A、B是平面上一点，向量 oA= a, oB = b，设P是线段AB垂直平分线上任意一点,向量 OP = p。若 |a |= 3, |b |=2,则 p? ( a b )的值是。 TOC o 1-5 h z 1,-1_11_1【解】连结 0C,则 OC = (a +b), BA = a b,CP = p O

24、C.2因为 CPXBA,所以 CP BA=0(pOC) (ab)=0,-1 . -1,-2 -21-225故 p ? ( a - b)= OC ?(ab)= (a+b) ?(ab)= (a - b ) =-( a - b )= 一2222i ,、【评析】向量的中点公式实际上是提供了一个向量万程0P =(OA +0B),能否充分挖掘和利用这一隐含2条件往往是解题的关键和难点。2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第9题4 3、已知平面上直线l的万向向重e=(,一)，点0 (0, 0)和A (1, 2)在l上的射影分别是 0和A,5 5 TOC o 1-5 h z 则0 A = ? e,

25、其中人=()A . 11B. -C. 2D. -255四、关于向量在立体几何解题中的作用利用法向量求解和传统方法相比具有明显的优势。1、空间向量在许多问题的证明中有独到之处。比如证明直线和平面垂直的判定定理，传统方法是构造并多次利用平面几何中的三角形全等，技巧性大，思想方法灵活（多次转化），虽然解题方法典型但许多同学难以理解和熟练掌握，更不便于表述， 再比如，证明同垂直与一个平面的两条直线平行，理解很简单，真正书写时不少同学无从下手，但使 用空间向量简单明了，易于掌握。【例】（2003年高考全国卷）如图，直三棱柱ABG-AiBiG中，底面是等腰直角三角形，/ ACB=9CT ,侧棱AA=2,

26、D、E分别是CG与AB的中点，点 E在平面ABD上的射影是 ABD的重心G.（1）求AiB与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点Ai到平面AED的距离【思路分析】本题涉及的垂直、度量、中点、重心等条件比较丰富，适合利用向量方法解题。当然用综合 几何的方法也可以解决，这时关键要充分利用中点、重心的条件，添加适当的辅助线，并注意在直角三角 形中射影定理的运用。【方法过程】法一：解:连结BG，则BG是BE在面ABD上的射影，即/ ABG是AiB与平面ABD 所成的角.如图所示建立坐标系，坐标原点为O,设CA=2a ,则 A(2 a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,i

27、)- 2a 2a i TOC o 1-5 h z A(2a,0,2),E(a,a,i),G().3 3 3一一 2 c 2.GE BD 二 一一a2 =0.解得a =i.33, BA =(22,2), BG =(-).3 3 3BA BG i4/37cos A BG :：=二.|BA |BG| 2 3 i 2i 33AB与平面ABD所成角是arccos217.i , i), D (0, 0, i)3(2)由(i)有 A (2, 0, 0), Ai (2, 0, 2), E (i,AE =(i,i,i) (2,0,0) =(i,i,i), AD =(0,0,1)(2,0,0) = (2,0,1)

28、, 设平面AED的法向量为n0 =(x, y, z)y = _xz = 2xJ TAE n 0 = -x + y + z = 0 加日则T，解得)AD n0 = 2x +z=0取 x=1,得 n1=(1,1,2)Aa1 =(2,0,2) (2,0,0) =(0,0,2),点Ai到平面AED的距离d =|A：E no |no I41,62.6法二：（1）解：连结 BG,则BG是BE在面ABD 设F为AB中点，连结EF、FC,的射影，即/ EBG是AiB与平面ABD所成的角. 连结 AD,有 Va-ed =Vd a1e丁 ED -LAB,ED _L EF,又 EF c AB = F,二ED _L平

29、面A AB,设A1到平面AED的距离为 则 S.AED h = SA,AB ED丁 D,E分另U是CCi,AB的中点，又DC _L平面ABC. CDEF为矩形 连结DF,G是AADB的重心，,Gw DF .在直角三角形EFD中 EF2 = FG FDFD2, EF =1, FD = 3.3于是 ED =、2,EG =FC =CD =、2, AB =2.2,A1B = 2 3, EB = 3. TOC o 1-5 h z EG.6 12sin EBG= .EB3332二AB与平面ABD所成的角是arcsin.h,一111又S&ae = 2 SAiAB = 4 A A AB = * 2, S*ed

30、 = 2 AE ED =- h =涯/2 =!即A1到平面AED的距离为22但6332【点拨指导】 本题考查的知识点多、数学内涵丰富，问题所给的信息和图形位置关系比较复杂；对立体几何的综合解题能力有较高的要求，两种解法视角不同、 各显风采， 比较而言，解法一、目标明确,以算取胜，解法二、构思巧妙，以智夺标。要仔细比较两种解法的差异，体会其中的实质。【例17】(2004年春季高考上海卷)如图，点P为斜三棱柱 ABC-A B1cl的侧棱BB上一点2、空间法向量在求解距离和角度方面比传统方法更简单。求解空间角与距离，传统方法要需要“作一一证一一算”但对于不容易作出的角与距离，空间向量则简单易行。比较

31、吻合重在能力，重在内在，重在空间相象能力的考查，适当淡化形式的教改方向。【例19】(2005年上海高考题(理) 在四锥 V-ABCD4底面ABCD正方形，侧面 VAD是正三角形(I )证明AB，平面VAD(II)求面 VAD与面VDB所成的二面角的大小.【证明】(I)作AD的中点0,则VOL底面ABCD建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1,则A ( 1 , 0,20), B ( 1,1, 0), C (-1, 1, 0), D (-1, 0, 0),222V (0, 0,)，1醺=(010)加=(1,0,0)=(一”平面 VADL底面 ABCD2由 AB AD =(0,1,0) (1,0

32、,0) =0 AB _ AD Ab AV =(0,1,0) = OA (OB + OC )、又; MC = -MB=OA 2OM =2|OA|OM | cos180*= 2|OA|OM |.又|OA|+|OM|=2,|Oa|OM| 2,即O为AM中点时，OA - (OB+ Oc )取最小彳1为一2.，应填一2。【例】(2002天津文22,理21)已知两点 M (1, 0), N (1, 0),且点P使MP MN,PM PN, NM NP成公差小于零的等差数列(1)点P的轨迹是什么曲线？ 若点P坐标为(X。，y。)，。为PM.与PN的夹角，求tan。.5、以“双基”为立足点，着重创新能力“双基”

33、教学是中国的教学特色，对“双基”的考查一直是高考命题的重点“设有基础的创新是空想，没有创新的双基是傻练”近几年的高号试题一直在寻求“双基”与创新之间的个平衡2005年高考试卷中有许多新颖别致的试题，这些试髓的编制，是以“双基为立足点，进行横向类比、纵向加深或陈 题开放这些题目背景新颖、运算量不大、但思维容量较大，靠“题诲战术”和大量重复操练是无法达到的，能很好地考查学生的创新意识和创新能力，【例29】(2005年上海高考题(理)在直角坐标平面中，已知点P1(1,2),P2(2,22),一,Pn(n,2n),其中n是正整数.对平面上任一点A,记A为A0关于点P1的对称点，A 2为A关于点P2的对

34、称点，,A n为An-1关于点R的对称点.(1)求向量A为的坐标；(2)当点A在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数 y=f(x)的图象，其中f(x)是以3为周期的函数，且当 xC(0,3时，f(x)=lgx.求以曲线C为图象的函数在(1,4上的解析式；(3)对任意偶数n,用n表示向量A0 Al的坐标.【思路分析】(1)利用对称点的关系求出 与；(2)利用平移得到g(x),由此根据周期性进行适当的变形 求函数在(1,4上的解析式；(3)从AgAn = A0A2 +A2A4 + AnAn入手转化为等比数列求和问题。【过程方法】(1)设点A0(x,y), A0为P1关于点的对称点儿的坐标为(2-x,

35、4-y),A1为P2关于点的对称点4的坐标为(2+x,4+y),A0 A2= (2,4).(2)法一：A0A2= (2,4) , .-.f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到因此，曲线C是函数y=g(x)的图象，其中g(x)是以3为周期的周期函数且当 xC (-2,1时,g(x)=lg(x+2)-4.于是，当 xC (1,4时，g(x)=lg(x-1)-4.法二：设点 A)(x,y), A2(x 2,y 2),于是 x2-x=2,y 2-y=4,若 3 x 2W 6,则 0 x 2- 3 3,于是 f(x 2)=f(x 2-3)=lg(x 2-3).当 1 xW4 时，则 3 x26,y+4=lg(x -1).当 xC(1,4时，g(x)=lg(x-1)-4. AA = A0A2A2A4AniAn ,由 A2yA2k =2P2-P2k,得AA =2( P1P2P3P4Pn4Pn)3n-i n 2(2n -1)4(2n -1)=2(1,2+1,2+ +1,2)=2 -, =n, 【例】（2000年上海高考题）根据指令（r,e）（r20,-180=y10 w180）,机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度日（日为正时，按