高三数学用补形法解立体几何题的常用策略学法指导

1、用补形法解立体几何题的常用策略罗建中一、棱锥补成棱柱例1 一个四面体的所有棱长都为 42 ,四个顶点在同一球面上，则球的表面积为A. 3 二B. 4 二C. 3 3二D. 6 二分析：正四面体可看作是正方体经过切割而得到，因而构造一个棱长为1的正方体ABCD AiBiCiDi,则四面体 A1 BC1D就是棱长为72的正四面体，而正方体的外接球就是四面体的外接球，又正方体的对角线长就是球的直径，易知对角线长度为73 ,故球表2面积 S =4n=3n。Y)评注：对棱长全相等的正四面体通常把它补成正方体。若是相对棱长相等的四面体，则可考虑把它补成长方体。例2如图1,在底面是直角梯形的四棱锥S -AB

2、CD中，Z ABC= 90, SAL面ABCD ,一 -1SA=AB=BC=1 , AD=。2Si(1)求四棱锥S -ABCD的体积；(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。解：(1)解答略。图2(2)以SA为棱，构造正方体 AECB-SFGH ,如图2,分别取棱 SF、HG中点M、N,连结DM、MN、SN、ND ,设ND与SC相交于 O,连接 MO。则有面 MDN /面SAB,且SML面 MDN ,所以所求的二面角等于二面角S-DN-M。在正方体 AECB-SFGH中， NSD与 NMD都是等腰三角形，所以 SOXDN , TOC o 1-5 h z MO DN ,所以/ SOM是二

3、面角S-DN-M的平面角。X MO =- SB= , SM=），所 222.,SM ,2.2以tan. SOM = 二,故所求二面角的正切值是 。MO 22评注：从一顶点出发的三条棱互相垂直的锥体通常可考虑把它补成长方体或正方体。二、三棱柱可补成四棱柱例3已知斜三棱柱的侧面 A1ACC1与平面ABC垂直，ZABC= 90, BC=2 , AC= 273 , 且AAi_LAC, AAi=AiC,求点C到侧面AiABBi的距离。B图3解：把斜三棱柱 ABC -A1B1C1补成如图3所示的平行六面体，设所求的距离为d,则d也是平面ABB1A1与平面CMM1C1间距离，作 AD_LAC于点D,作AE_

4、LAB于点F, 因为 AA1MA1C, AC=2V3, AA1 _LA1c，所以 A1D =73 ,又/ ABC= 90*, BC=2,所 以AB=2V2,因侧面A1ACC1与底面ABC垂直，AiD_LAC于点D,所以AD _LAB ,又 A1E _LAB ,知 AB，面 A1ED ,因而 AB XED,又/ ABC= 90,所以 DE / BC, D 为 AC 中 点 ，且 DE=/bC=1, 故 A1E=，AiD2+DE2 =2, 而V平 行=SA IB A点=SaA 1 Bd 0 B所以d=SABMC A。=2旧二后 SA1ABB12评注：本例通过斜三棱柱补成四棱柱，从而达到把线面距离转

5、化为面面距离，再通过等积变换达到简化解题之目的。、棱台补成棱锥例4如图4,三棱柱ABC A1B1cl中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1cl F将三棱柱分成体积为 5、V2的两部分，那么 V/V2等于多少?图4解：延长 A1A 到 A2 , B1B 到 B2 , C1c 到 C2 ,且 A1A =AA 2 , B1B = BB2 , C1C =CC2, 则得二棱柱 ABC A 2 B2C2 ,且 VA B CA1B1cl =VA B CA2B2C2 ,延长 B1 E C1F , 则BEcC1F=A2 即有三棱锥 A2 -A1B1C10 TOC o 1-5 h z 1一1因为 A2A：

6、A2A1 =1：2,所以 Va _AEF Va _A B1C1 ,又 Va?_AEF = Va _ABC 221112284Vabc a 2b2c21一 Vabc4自C。所以 VAEFq BCAEF -A 1 B1C 1121 1 1-7Va2sef Vabc ab1cl 2121 1 1故 V1:V2 =7:(127 )=7:5。评注：本题通过把棱台补成棱锥，以棱锥A2 -AEF为辅助几何体，利用它与棱柱ABC -A2B2c2及棱台AEF -A1B1C1的关系进行变换。四、补相同几何体1例 5 长万体 ABCD A1B1c1D1 中 AB= 1 , AD=1 , AA 1 ，2=2 ,求异面

7、直线A1C1与BD1所成的角。解：如图5,补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面BC的长方体B1F,连结一一 一BF,则/ DiBF为异面直线 AiCi与BDi所成的角，而 AB = , AD=1 , AA=2。连结DF,在DNF中，BF= 51 , BDi=Nj1, D1F=；5 ,由余弦定理得 cosZDiBF=105 ,故 ACi 与 BDi 所成角为 arccos三5。3535评注：补相同几何体之目的在于平移相关直线。五、不规则几何体补成规则几何体例6如图6,多面体的底面是边长为 l的正方形，上面的棱平行于底面，其长为 21 ,其 余棱均为I,求这个多面体的体积。9/ .图6解：如图7,作以2I为棱长的正四面体 ABCD ,连结AC、AD、BC、BD中点组成的四 边形为正方形即为多面体的底面（因正四面体的对棱互相垂直），这个正方形所在平面把四面体分成两个全等的多面体，故V多面体V正四面体