矩阵的特征值和特征向量课件

1、第三章矩阵的特征值与特征向量7/28/20221第三章 矩阵的特征值与特征向量1 方阵的特征值与特征向量2 矩阵的对角化7/28/20222第1节方阵的特征值与特征向量7/28/20223定义3.13.1.1 特征值与特征向量的基本概念 7/28/20224例1解是不是7/28/20225命题1命题2命题3矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。7/28/20226它有非零解的充分必要条件是即怎样求矩阵A的特征值与特征向量？7/28/20227矩阵的特征方程和特征多项式定义3.2A的特征方程A的特征多项式A的特征矩阵特征方程的根称为A的特征根，也称为A的特征值。7/28/20228求矩阵的

2、特征值与特征向量的步骤求矩阵A的特征方程2.求特征方程的根，即特征值3.对每个特征值解方程组求出该齐次线性方程组的通解，除去0向量便得属于的全部特征向量。7/28/20229例2：求矩阵的特征值和特征向量解A的特征多项式为A的特征值为7/28/202210得基础解系得基础解系7/28/202211练习:求下列矩阵的特征值和特征向量解A的特征多项式为A的特征值为即对应的特征向量可取为7/28/202212对应的特征向量可取为7/28/2022133.1.2 特征值与特征向量的性质 定理1定理2推论若 n 阶方阵有互不相同的特征值则其对应的特征向量线性无关。7/28/202214定理37/28/2

3、02215(2) 由于7/28/202216定理4设 A 是 n 阶方阵，是的特征值.若 为 A 的特征值，则7/28/202217例3设 A 是一个三阶矩阵，1，2，3是它的三个特征值，试求（1） A的主 对角线元素之和（2）解的特征值依次为7/28/202218例4试证 n 阶矩阵 A 是奇异矩阵的充要条件是 A 中至少有一个特征值为0。证明因为为A的特征值）所以的充分必要条件是至少有一个特征值为零。7/28/202219第2节矩阵的对角化7/28/202220定义3.3 设 A和B为 n 阶矩阵,如果存在n 阶可逆矩阵P，使得则称A相似于B，或说A和B相似(similar) ,记做AB.

4、性质（1）反身性 A相似于A（2） 对称性 A相似于B，可推出B相似于A（3） 传递性 A相似于B，B相似于C，可推出 A相似于C。 3.2.1 相似矩阵及其性质 7/28/202221方阵的迹定义3.4方阵的迹是它的主对角线上的元素和例5Tr(A)=2+(-3)+0=-1性质： (1) Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B)(2) Tr(AB)=Tr(BA) (性质3.1)7/28/202222性质： (1) Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B) (2) Tr(AB)=Tr(BA) (性质3.1)7/28/202223相似矩阵的性质若A和B相似，则A和B有相等的秩。2.方阵A和B有相等的行

5、列式。(性质3.2)证明（1） 7/28/2022243.方阵A和B有相等的迹。(性质3.2)4.方阵A和B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。TH5推论如果矩阵A相似于一个对角矩阵，则对角矩阵的主对角线上的元素就是A的全部特征值。7/28/202225定理3.6 n 阶矩阵A与n 阶对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。充分性3.2.2 矩阵的对角化 7/28/202226必要性设A相似于对角矩阵即存在可逆矩阵B，使得由B可逆便知：都是非零向量，因而都是A的特征向量，且线性无关。7/28/202227推论如果n阶矩阵A的特征值互不相同则A相似于对角矩阵定理3.7n 阶

6、矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个 重特征值 ,对应着 个线性无关的特征向量.7/28/202228相似变换若A有n个线性无关的特征向量则A相似于对角阵7/28/202229例 矩阵 A = 能否相似于对角阵？解 =(- 2)(-1)2 所以 A的特征值为 1 = 2 2 =3 = 1对于 2 =3 = 1，解方程组 (I A )= 0对系数矩阵作初等变换 7/28/202230解方程组 得通解 为任意常数）因为 2 =3 = 1 是二重根，而对应于2 =3 = 1无两个线性无关的特征向量，故A不能与对角阵相似。7/28/202231例 用相似变换化下列矩阵为对角形解:A的特征方程为特征值为对于可求得特征向量对于可求得线性无关的特征向量这三个特征向量线性无关7/28/2022327/28/202233练一练用相似变换化矩阵为对角形.7/28/202234应用 :利用对角化计算矩阵的乘方7/28/202235设解:A的特征方程为特征值为对应的特征向量为对应的特征向量为例77/28/2022367/28/2022377/28/202238THE END.P88将一个方阵A对角化的三步骤.思考?第三章作业:1(4),3,7,9,10(3),11,15,167/28/202239练习 已知 问 满足什么条件时，A可对角化？ 解 首