空间夹角和距离的计算.课件

1、第7课时空间夹角和距离的计算1利用空间向量证明空间中的位置关系若直线l，l1，l2的方向向量分别为v，v1，v2，平面，的法向量分别为n1，n2，利用向量证明空间中平行关系与垂直关系的基本方法列表如下：平行垂直直线与直线l1l2v1v2v1v2(为非零实数)l1l2v1v2v1v20直线与平面(1)lvn1vn10(2)lvxayb其中a，b为平面内不共线向量，x，y均为实数lvn1vn1(为非零实数)平面与平面n1n2n1n2(为非零实数)n1n2n1n202.利用空间向量求空间角(1)直线间的夹角当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中不超过90的角叫做当直线l1与l2是异面直线时

2、，在直线l1上任取一点A作ABl2，我们把直线l1和直线AB的夹角叫做 其夹角.两直线的夹角异面直线l1与l2的夹角(2)平面间的夹角两个平面所成的二面角的平面角的大小就是这其夹角0，平面1和2的法向量为n1和n2，MRN为两个平面二面角的平面角，它由n1，n2确定s1，s2 s1，s2 两个平面的夹角n1，n2 n1，n2 (3)直线与平面的夹角平面外一条直线与它在平面内的夹角叫做该直线与此平面的夹角其夹角 .已知直线的方向向量s与平面的法向量n，当s，n时，则=；当s，n时，则.投影3利用空间向量求空间距离(1)空间一点A到直线l的距离的算法框图如图d . (2)空间一点A到平面的距离的算

3、法框图如图d . 1已知平面内有一个点M(1，1,2)，平面的一个法向量为n(6，3,6)，则下列点P中，在平面内的是()AP(2,3,3)BP(2,0,1)CP(4,4,0) DP(3，3,4)答案：A2已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()A45 B135C45或135 D90答案：C答案：C答案：45如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AA12，则二面角C1ABC的余弦值为_利用向量的夹角来求异面直线的夹角时，注意区别：当异面直线的向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的

4、夹角(2010天津卷)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CFAB2CE，ABADAA1124.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明：AF平面A1ED.利用向量法求线面角的方法一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角【变式训练】2.如图(1)，在直角梯形ABCD中，ADC90，CDAB，AB4，ADCD2.将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图(2)所示(1

5、)求证：BC平面ACD；(2)求BC与平面ABD所成角的正弦值利用空间向量方法求二面角，可以有两种办法：一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个面的法向量分别为n1和n2，则二面角的大小等于n1，n2(或n1，n2)【注意】利用空间向量方法求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面， BAC90，ABAA12，AC1，M、N分别 是A1B1、BC的中点(1)证明：MN平面ACC1A1；(2)求二面角MANB的余弦值解析：依条件可知

6、AB、AC、AA1两两垂直，如图，以点A为原点建立空间直角坐标系Axyz.【变式训练】3.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE平面BCC1，(1)证明：ABAC；(2)设二面角ABDC为60，求B1C与平面BCD所成的角的大小利用空间向量解决探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只须通过坐标运算进行判断，在解题过程中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，可以使问题的解决更简单、有效、应善于运用这一方法 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1面ABC，BCAC，BCAC2，D为AC的中点(1)求证

7、：AB1面BDC1；(2)若AA13，求二面角C1BDC的余弦值；(3)若在线段AB1上存在点P，使得CP面BDC1，试求AA1的长及点P的位置解析：(1)证明：如图，连结B1C，交BC1于点O，连结OD，则O为B1C的中点，D为AC中点，ODAB1，又AB1平面BDC1，OD平面BDC1，AB1平面BDC1.(2)AA1平面ABC，BCAC，AA1CC1，CC1平面ABC，则BC平面AA1C1C，CC1AC.如图，建立空间直角坐标系，则C1(3,0,0)，B(0,0,2)，D(0,1,0)，C(0,0,0)，1用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进

8、行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题2若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算(1)求两异面直线a、b的夹角，须求出它们的方向向量a，b的夹角，则cos |cosa，b|.(2)求直线l与平面所成的角可先求出平面的法向量n与直线l的方向向量a的夹角则sin |cosn，a|.(3)求二面角l的大小，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，则n1，n2或n1，n2从近两年的高考试题来看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点，题型主要为解答题，难度属于中等偏高，主要考查向量的坐标运算，以及向量的平行与垂直的充要条件，如何用向量法解决空间角等，同时注重考查学生空间想象能力、运算能力【阅后报告】本题考查了面面垂直及直线PB和平面PCD所成的角，求空间角的主要方法是利用空间坐标系，求解时应注意向量的夹角并不一定是所求空间角，应结合图形的特点来确定解析：(1)如图所示，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为