含绝对值不等式的解法

1、 含绝对值不等式的解法一、复习目标掌握解含绝对值的不等式的方法、步骤与技巧.二、重点解析 1.绝对值等式与不等式具有的性质及运算法则是解绝对值不等式的依据. 2.解含有绝对值的不等式的方法关键是去掉绝对值符号, 基本方法有如下几种: (1)分段讨论: 根据 |f(x)|= 去掉绝对值符号. -f(x), f(x)0, f(x), f(x)0, (2)利用等价不等式:|f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x). |f(x)|g(x)f(x)-g(x) 或 f(x)g(x). 两端同时平方: 即运用移项法则, 使不等式两边都变为非负数, 再平方, 从而去掉绝对值符号. 三、知识要点2.|f(x

2、)|0)-af(x)a; 1.|x|0; |x|= x, x0, -x, xa(a0)f(x)a; |f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x)f(x)g(x); |f(x)|g(x)|f2(x)g2(x). 3.形如 |x-a|+|x-b|c(ab) 的绝对值不等式的解法有二: 零点分区间讨论法; 运用绝对值的几何意义. 4.重要绝对值不等式 |a|-|b|ab|a|+|b|. 使用时(特别是求最值)要注意等号成立的条件, 即: |a+b|=|a|+|b|ab0; |a-b|=|a|+|b|ab0; |a|-|b|=|a+b|b(a+b)0; |a|-|b|=|a-b|b(a-b)0. 注

3、: |a|-|b|=|a+b|a|=|a+b|+|b| |(a+b)-b|=|a+b|+|b| b(a+b)0. 同理可得 |a|-|b|=|a-b|b(a-b)0. 典型例题 1 解不等式 |x+1|+|x-3|5. 解: 原不等式的解集是下面三个不等式组解集的并集: 满足 的 x 不存在; x5. -1x3, x+1+3-x5. 或 x3, x+1+x-35. 或 由 得, x . 72x . 7232原不等式的解集为 (-, - )( , +). 7232典型例题 1 解不等式 |x+1|+|x-3|5. 另解: 如图: 数轴上表示数 -1, 3 的两个点之间的距离为 4, 点 - ,

4、到 -1, 3 两点间的距离之和 |x+1|+|x-3|=5. 3272故不难看出, 当 x 落在 - 左侧或 右侧时正好满足 |x+1|+|x-3|5. 3272原不等式的解集为 (-, - )( , +). 723223-1 0 1 2 3 -27x学一学, 练一练 不等式 |x-4|+|x-3|a 有解, 求 a 的取值范围.解: 不等式 |x-4|+|x-3|x-4|+|x-3| 成立, a 大于数轴上表示数 3 与 4 的两点间的距离 1, 故 a 的取值范围是 (1, +). 或先考虑无解时 a 的范围. 典型例题 2 解法一 零点分区间讨论 解不等式 |x+3|-|x-3|3.

5、原不等式等价于: x3, -3x3, |x+3+x-3|3, x3, |x+3-x+3|3. 或 或 即 x-3 或 -3x- 或 3. 3232x . 3232原不等式的解集为 (-, - )( , +). 3232解法二 两边平方 原不等式等价于 (|x+3|-|x-3|)29. 即 2x2+92|x2-9| ( 2x2+9)2(2|x2-9|)2. 即 4x2-90. x . 3232原不等式的解集为 (-, - )( , +). 3232典型例题 2 解法三 利用绝对值不等式性质 解不等式 |x+3|-|x-3|3. 33. x . 3232原不等式的解集为 (-, - )( , +)

6、. 3232学一学, 练一练 解: |x2-3|x|-3|1-1x2-3|x|-31. 解不等式 |x2-3|x|-3|1. x2-3|x|-40. x2-3|x|-20, |x|2-3|x|-40. |x|2-3|x|-20, |x|4, |x| . 3+ 17 2 -4x4, x- 或 x . 3+ 17 2 3+ 17 2 原不等式的解集为 -4, - , 4. 3+ 17 2 3+ 17 2 -4x- 或 x4. 3+ 17 2 3+ 17 2 或 |x|4. 3+ 17 2 典型例题 3 x-4 或 -1x1 或 x4. 原不等式的解集为 (-, -4-1, 14, +). 解不等式

7、 | |1. x2-4 3x 解法一 | |1-1 1 x2-4 3x x2-4 3x x2-4 3x -1, x2-4 3x 1. x2-4 x2+3x-4 0, 0. x2-4 x2-3x-4 (x+4)(x+2)(x-1)(x-2)0(x2), (x+2)(x+1)(x-2)(x-4)0(x2). x-4 或 -22, x-2 或 -1x0, 3-x 3+x 2-x x+2 | |. 解法一 | | . 3-x 3+x 2-x x+2 2-x x+2 x-3 3+x 3-x 3+x 0 x(x-2)(3+x), (3-x)(x+2)(2-x)(3+x). x0, -x2+x+6x2+x-

8、6, -x2+x+6-x2-x+6, x0, x0, x20, 3-x 3+x 2-x x+2 | |. 解法二 | | 或 3-x 3+x 2-x x+2 x2, 3-x 3+x x-2 x+2 . 0 x , 或 0 x(2-x)(3+x),x2, (3-x)(x+2)(x-2)(3+x). 或 0 x-x2-x+6, x2, -x2+x+6x2+x-6. 或 0 x0,x2, x26. 0 x2 或 2x 6 .0 x 6 .原不等式组的解集为 (0, 6 ).备选题 1解不等式 (1) 3; (2) |x+2|-|x-3|4.1+|x| |x|-1 (2) |x+2|-|x-3|4 等

9、价于解: (1) 3 01+|x| |x|-1 1+|x|-3(|x|-1) |x|-1 2|x|-4 |x|-1 0 1|x|2. -2x-1 或 1x2. 故原不等式的解集为 -2, -1)(1, 2. x-2, -x-2+x-34, -2x3, x+2+x-33, x+2-x+34. 或 或 x-2 或 -2x .52即 x . 52原不等式的解集为 (-, ). 52备选题 2解: mR, 可讨论如下: 1-2m3x-22m-1. 解关于 x 的不等式 |3x-2|0 即 m 时, 原不等式等价于 12解得 - x 时, 原不等式的解集为 (- , ).2m-3 3 2m+1 3 12

10、12备选题 3解: 依题意当 x3 时, 不等式 |x2-4x+p|+|x-3|5 恒不成立.当 x3 时, |x2-4x+p|+|x-3|5 恒成立. 即当 x3 时, |x2-4x+p|8-x 恒成立. 即 x2-4x+p8-x 或 x2-4x+px-8 对 38 时, |x2-4x+p|8-x 恒成立, 只要当 38-x 恒成立即可. 由式对 3x8 恒成立得 p8; 由式对 3x8 恒成立得 p-32. p-x2+3x+8=-(x- )2+ , 32441或 p-x2+5x-8=-(x- )2- , 5274但当 x=3 时 |x2-4x+p|+|x-3|5 要成立, 即 |p-3|5

11、-2p8. 故由 、 知 p=8. 备选题 4 解: (1)f(0)=f(1), b=1+a+b. a=-1.f(x)=x3-x+b. =x22+x1x2+x12-1.x1, x2-1, 1 且 x1x2, 0 x22+x1x2+x123.即 |k|2.(2)0 x1x21, 已知函数 f(x)=x3+ax+b 定义在区间 -1, 1 上, 且 f(0)=f(1), 又 P(x1, y1), Q(x2, y2) 是其图象上任意两点(x1x2). (1)设直线PQ 的斜率为k, 求证: |k|2; (2)若 0 x1x21, 求证: |y1-y2|1.则 k= = (x23-x2+b)-(x13

12、-x1+b)x2-x1 y2-y1 x2-x11= (x23-x13)-(x2-x1)x2-x11-1x22+x1x2+x12-12.|x22+x1x2+x12-1|2.由(1)知 |y2-y1|2|x2-x1|=2(x2-x1). 又 |y2-y1|=|f(x1)-f(x2)|=|f(x1)-f(0)+f(1)-f(x2)| |f(x1)-f(0)|+|f(1)-f(x2)|2|x1-0|+2|1-x2|=2(x1-x2)+2 即 |y2-y1|2(x1-x2)+2. +得, 2|y1-y2|2. |y1-y2|1. 备选题 5 解不等式 4x2+4mx+m2 x-m(xR).解: 原不等式

13、等价于 |2x+m|x-m -(x-m)2x+m0 且 x-2m. 当 m0 时, x 不存在;当 m0 时, 0 x-2m.故当 m0 时, 原不等式的解集为 ;当 ma.解: 显然当 aax2+2x-3a 或 x2+2x-30, 其两不等根为:即 a0 时, x2+2x-3-a0 , 或 x2+2x-3+a0 . x1=-1- 4+a , x2=-1+ 4+a . x-1+ 4+a . 由 , 方程 x2+2x-3+a=0 中, =16-4a, 当 a4 时, 0, x 不存在; 当 0a0, 方程 x2+2x-3+a=0 的两不等根为: x3=-1- 4-a , x4=-1+ 4-a .

14、 -1- 4-a x-1+ 4-a . 综上所述, 当 a0 时, 原不等式的解集为 R; 当 0a3a+1 即 a 时, B=3a+1, 2, 由 AB 得: 132a3a+1 且 a2+12. 解得 a=-1. 当 2 时, B=2, 3a+1, 由 AB 得: 132a2 且 a2+13a+1. 解得 1a3. 综上所述, 使 AB 的 a 的取值范围是 -11, 3. 备选题 8 解不等式 |logax|loga(ax2)|-2(0a1).解: 令 t=logax, 则原不等式等价于 |t|1+2t|-2|t|+2|1+2t|(|t|+2)2(1+2t)2t2+4|t|+44t2+4t

15、+1|4t|3t2+4t-3-(3t2+4t-3)4t0 且 3t2-30.解得 t1.即 logax1.0aa-3 或 0 xa. 原不等式的解集为 (0, a)(a-3, +).备选题 9 解: 原不等式等价于解不等式 | 2x-1 -x |2.2x-1 -x -2. 2x-1 x-2 2x-10, x+20, 2x-10. x-20, 2x-1(x-2)2, 2x-10,x-20. 或x2, x2-6x+50, 或 x2. 12x2, 1x5, 或 x2. 12 x2 或 2x512 x5.12 x5.12原不等式的解集为 , 5).122x-1 x-2. 备选题 10 解法1 原不等式

16、等价于 x-x2-2x2-3x-4 或 x-x2-2-(x2-3x-4). x2-2x-1-6.解不等式 |x-x2-2|x2-3x-4.原不等式的解集为 (-3, +).即 x-3.1- 2x-3.解法2 |x-x2-2|=|x2-x+2|, 而 x2-x+20 恒成立, 原不等式等价于 x2-x+2x2-3x-4. 即 2x-6.x-3.原不等式的解集为 (-3, +).备选题 11 解: (1)由 |x-1|+a-10 得 |x-1|1-a, 当 1-a1 时, xR; 设全集 U=R, (1)解关于 x 的不等式|x-1|+a-10; (2)记 A 为(1)中不等式的解集, 集合 B=

17、 x | sin(x- )+ 3 cos(x- )=0 . 若 (CUA)B 恰有三个元素, 求 a 的取值范围.3 3 当 1-a0 即 a1 时, x2-a. 故当 a1 时, 原不等式的解集为 R;当 a1 时, 原不等式的解集为 (-, a)(2-a, +).(2)由题设, 当 a1 时, CUA=; 当 a1 时, CUA=x|ax2-a.sin(x- )+ 3 cos(x- ) =2sin(x- )cos +cos(x- )sin 3 3 3 3 3 3 =2sinx.由 2sinx=0 得 x=k(kZ), 即 x=kZ, B=Z.当 (CUA)B 恰有三个元素时, a 应满足:

18、 a1 且 22-2a4. 解得 -10, 当 -1x1 时, g(x) 的最大值为 2, 求 f(x).|g(1)|=|a+b|=|f(1)-c|f(1)|+|c|1+1=2.|g(-1)|2 且 |g(1)|2. 当 -1x1 时, |g(x)|2. 备选题 12 已知 a, b, c 是实数, 函数 f(x)=ax2+bx+c, g(x)=ax+b, 当 -1x 1 时, |f(x)|1. (1)证明: |c|1; (2)证明: 当 -1x1 时, |g(x)|2; (3)设 a0, 当 -1x1 时, g(x) 的最大值为 2, 求 f(x).(2)另证: 由 x= , 可得:(x+1)2-(x-1)2 4 g(x)=ax+b=a( )