椭圆、双曲线、抛物线的等角定理与一竞赛题

1、椭圆、双曲线、抛物线的等角定理X 2已知双曲线 y2 =1，过N（t，0）的直线l父双曲线于A、B两点，问是否存在X轴上的一点P，使得斜率kpA + kpB = o?3解：存在这样的一点p （-, 0）使得题设成立方法下面通过作图验证基本步骤:1、在x轴上找到（t3 , 0）点，在y轴上找到（0,1）点1、连接时，以O为圆心，BD长为半径画圆，与X轴的交点就是E （*，0）2、分别度量B、E的纵、横坐标并把标签改成b、a,计算构造点及轨迹&几煎板，未命名卜 乂忤呵 WLU iiiiFlLyyisg Ssuj活函茴i_i迪j带刖凹_ |占XA*N=-51.55.a =1.73、Xo5=1.00、

2、Z/cos(mZGOH_ 2.79、XZ/ bta1(/712GO卜9 =-1.2、XXX 0).过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M证明：点M的纵坐标为定值；是否存在定点0使得无论AB怎样运动，都有ZAQP = ZBQP ?证明你的结论.(2007,全国高中数学联赛河南省预赛)解：(1)略(2)方法一：假设存在这样一点Q使得ZAQP = ZBQP成立.设 A(x , j ),B(x , j ), Q(x ,y ) 1122 匕 00因为AP = BP(k 0)，所以a、P、B三点共线，且P在A、B之间故可设直线AB的方程为j = kx + 8代入抛物线方程并整理得x 2 4kx 32

3、 = 0则 x + x = 4kxx = 32所以J + J = k (x + x ) +16 = 4k 2 +16 1212y. y = (kx. + 8)(kx + 8) = 64又 ZAQP = ZBQP o tan ZAQP = tan ZBQP所以k k k kAQ PQ = PQ BQ1 + k k1 + k kAQ PQPQ BQ。k k+ k k k k k 2 = k - k+ kk2 kk kAQ PQ AQ BQ PQ BQ PQ PQ BQ AQ PQ AQ BQ BQ TOC o 1-5 h z O (k+ k) 2k+ 2k k k (k+ k)k 2= 0AQ B

4、Q PQ AQ BQ PQ AQ BQ PQo (k+ k)(1 k2) = 2k (1 k k )AQ BQ PQPQ AQ BQ而y y y y y 8 k = o, k = o, k = AQ x x BQ x x PQ x TOC o 1-5 h z 10200所以772kx x + (8 一 y 一 kx )(x + x ) 一 2(8 一 y )xk + k =1 200120 0AQ BQ(x x )(x 一 x )j j yy y(y +y) + y2 k k = 120120AQ BQ (x x )(x x )一(y 0 一8)2 +16 y 0 96)从而式可化为Lx k

5、2 + 4(8 + y )k + 2x (8 y )1 x 20I 0000=2(8 y )x ky k2 + 4x k + (x 2 y 0000004x (x2 + y 2 64)k2 + 32x2 +12y x2 4(8+y )(8y )2 k+64x (8y ) = 00000000000由k的任意性可知4x (x 2 + y 2 64) = 032x 2 +12y x 2 4(8 + y )(y 8)2 = 0 00 00064 x0(8 y0) = 0ly A 8解得J%=0 y = 80故存在点Q(0,-8)使得无论A、B怎样运动，都有ZAQP = /BQP方法二:存在点Q（0,-8）使得无论A、B怎样运动，都有ZAQP = ZBQP下面通过作图验证基本步骤： 1、画出抛物线%2 = 4j，并找到P（0，8）,及满足题意的任意的A、B略几何画板-未命名UI U. I回11t 牛（B 普回显示 构造 藏度量（M） 麴g勤I绘图窗