第二节　点、线、面的位置关系

1、第二节点、线、面的位置关系 点、线、面的位置关系考向聚焦高考常考点,主要结合线面平行与垂直的判定和性质定理考查点、线、面的位置关系.多以选择题、填空题形式出现,难度中档,所占分值45分备考指津熟记定义、公理和定理,培养空间想象能力1.(2011年四川卷,理3)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是()(A)l1l2,l2l3l1l3(B)l1l2,l2l3l1l3(C)l1l2l3l1,l2,l3共面(D)l1,l2,l3共点l1,l2,l3共面解析:当l1l2,l2l3时,l1也可能与l3相交或异面,故A不正确;l1l2,l2l3l1l3,故B正确;当l1l2l3时,l1,

2、l2,l3未必共面,如三棱柱的三条侧棱,故C不正确;l1,l2,l3共点时,l1,l2,l3未必共面,如正方体中从同一顶点出发的三条棱,故D不正确,选B.答案:B.2.(2010年大纲全国,理11)与正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点()(A)有且只有1个(B)有且只有2个(C)有且只有3个(D)有无数个解析:如图所示,建立空间直角坐标系,设空间任一点M(x,y,z),则M到AB、CC1、A1D1的距离为如图中所示ME、MG、MF的长度.设正方体棱长为1,则|ME|2=(1-x)2+z2,|MG|2=(1-y)2+x2,|MF|2=(1-z)2+

3、y2.由|ME|2=|MG|2=|MF|2,得(1-x)2+z2=(1-y)2+x2=(1-z)2+y2,化简可得x=y=z.则M点有无数个,且都在正方体ABCDA1B1C1D1体对角线B1D所在的直线上,故选D.答案:D.异面直线所成的角考向聚焦高考对异面直线所成的角考查较少,主要考查异面直线所成的角的求法.一般以选择题、填空题或解答题第(1)问的形式出现,分值46分3.(2012年陕西卷,理5,5分)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()(A) QUOTE (B) QUOTE (C) QUOTE (D) QUO

4、TE 解析:设B(0,0,1),则C1(0,2,0),B1(0,2,1),A(2,0,0), QUOTE =(-2,2,1), QUOTE =(0,2,-1),cos= QUOTE = QUOTE = QUOTE = QUOTE .直线AB1与直线BC1的夹角的余弦值为 QUOTE .答案:A.4.(2011年辽宁卷,理8)如图,四棱锥SABCD的底面为正方形,SD底面ABCD,则下列结论中不正确的是()(A)ACSB(B)AB平面SCD(C)SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角(D)AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析:由题图AB与SC所成的角为SCD,DC与SA所成

5、的角为SAB,两角不相等.故选D.答案:D.5.(2012年四川卷,理14,4分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是棱CD、CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为2,则M(0,1,0),N(0,2,1).A1(2,0,2),D(0,0,0). QUOTE =(-2,1,-2), QUOTE =(0,2,1), QUOTE QUOTE =12-21=0, QUOTE QUOTE ,A1MDN.即两直线A1M与DN所成的角是90.答案:906.(2012年上海数学,理19,12分)如图,在四棱锥PABCD中,底面

6、ABCD是矩形,PA底面ABCD,E是PC的中点.已知AB=2,AD=2 QUOTE ,PA=2.求:(1)三角形PCD的面积;(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.解:(1)因为PA底面ABCD,所以PACD,又ADCD,所以CD平面PAD,从而CDPD.因为PD= QUOTE =2 QUOTE ,CD=2,所以三角形PCD的面积为 QUOTE 22 QUOTE =2 QUOTE .(2)法一:如图所示,建立空间直角坐标系,则B(2,0,0),C(2,2 QUOTE ,0),E(1, QUOTE ,1), QUOTE =(1, QUOTE ,1), QUOTE =(0,2 QUOTE ,0).设 QUOTE 与 QUOTE 的夹角为,则cos = QUOTE = QUOTE = QUOTE ,= QUOTE .由此知,异面直线BC与AE所成的角的大小是 QUOTE .法二:取PB中点F,连接EF、AF,则EFBC,从而AEF(或其补角)是异