第七章多元向量值函数积分学乱微积分7_第1页
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7.4曲线积分与路径的无关性一、曲线积分与路径无关的定义设D是开区域，在D内具有一阶连续偏导数.如果D内任意两个指定点A, B以及在D内从点A到点B的任意两条曲线L1，L2有：恒成立，则称曲线积分 在D内与路径无关,二、曲线积分与路径无关的条件证 必要性与路径无关，充分性设沿任何闭曲线的积分任取过A, B的闭曲线 L 则定理2在D内具有一阶连续偏导数,则曲线积分在D内与路径无关的充要条件是在D内恒成立.设开区域D是一个单连通域,函数证 充分性设在D 内恒有成立。必要性解原积分与路径无关 例1 计算 .其中L为由点 到点 的曲线弧 . 故 原式 解例2 设曲线积分 与路径无关, 其中 具有连续的导数, 且 , 计算:积分与路径无关，故 所以在不包含原点的单连通区域内曲线积分与路径无关. 三、全微分当条件满足时，函数u(x , y)(不计一常数)可由曲线积分求出，其形式为：应用曲线积分与路径无关.可得通解如下：通解为：或解是全微分方程,例5原方程的通解为例6解整理得A. 用曲线积分法:B. 凑微分法:C .不定积分法:原方程的通解为综上所述，可得如下四个等价条件：

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