二次函数中的符号问题与求解析式

1、二次函数中的符号问题2回味知识点：1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关？2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是 .3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是 .a0时，开口向上；a0时，开口向下。（0、c）X=-3归纳知识点：抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定开口向上a0开口向下a0交点在x轴下方c0与x轴有一个交点b2-4ac=0与x轴无交点b2-4ac0 向下ao 下半轴c0- 与1比较- 与-1比较与x轴交点个数令x=1，看纵坐标令x=-1，看纵坐标令x=2，看纵坐标令x=-2，看纵坐标3、判断y=ax2+bx+c符号a 、 b

2、 、 c2a+b,2a-b,b2-4aca+b+ca-b+c4a+2b+c 、 4a-2b+c1-110快速回答：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：xoy根据图像可得：1、a02、- 03、=b-4ac04、C011抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：xyo快速回答：根据图像可得：1、a02、- 03、=b-4ac04、C012抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：xyo快速回答：根据图像可得：1、a02、- 03、=b-4ac04、C013抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：xyo快速回答

3、：根据图像可得：1、a02、- 03、=b-4ac04、C014抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：xyo快速回答：根据图像可得：1、a02、- 03、=b-4ac04、C015练一练：1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（ ，a）在（ ）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 xoyD根据图像可得：1、a02、- 03、=b-4ac04、C016练一练：2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：b0；c0；4a+2b+c 0；（a+c)2b2，其中正确的个数是 （ ）A、4个 B、3个C、2个 D、1个

4、xoyx=1B根据图像可得：1、a02、- 13、=b-4ac04、C017练一练：3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：abc0；b=2a；a+b+c0；a+b-c0; a-b+c0正确的个数是 （ ）A、2个 B、3个C、4个 D、5个xoy-11C根据图像可得：1、a02、- -13、=b-4ac04、C0184.二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的顶点M在第二象限，且经过A(1,0),B(0,1),请判断实数a的范围,并说明理由.1MOBAyx1想一想：根据图像可得：1、a02、- 03、a+b+c04、C119 5.(06.芜湖市)如图

5、，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a0； b0；c0； a+b+c=0其中正确结论的序号是 （答对得3分，少选、错选均不得分）第(2)问：给出四个结论： abc0；a+c=1；a1其中正确结论的序号是 （答对得5分，少选、错选均不得分）xyO1-12仔细想一想： 212.若关于x的函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值为 ；1.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象写出y2 y1时，x的取值范围是_;3.(03武汉)已知抛物线y=ax2+bx+c （a0)经过点（1，0），且满足4a2bc0以下结论：a

6、b0；ac0；abc0；b2-2ac5a2其中正确的个数有（ ）（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个（1）二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，那abc，b24ac，2ab，abc，abc 这五个代数式中，值为正数的有（ ）练习A4个 B3个C2个 D1个yx-111.已知二次函数的图象如图所示， 则有（） () a0,b0,c0 () a0,b0,c0 (C) a0,b0,c0 (D) a0,b0,c0（2）根据下列表格中二次函数yax2+bx+c的自变量与函数值的对应值，判断方程ax2+bx+c =0（a0, a, b, c为常数）的一个解的范围是（ ）x6.176.186.

7、196.20yax2bxc-0.03-0.010.020.04A6.17 X 6.18 B6.18 X 6.19C-0.01 X 0.02 D6.19 X 6.20yx02-3 （3）小明从右边的二次函数yax2bxc的图象观察得出下面的五条信息： a 0； c0； 函数的最小值为-3； 当x0时，y0； 当0 x1x22时，y1 y2 你认为其中正确的个数有（ ） A2 B3 C4 D5 （4）请你写出一个二次函数yax2bxc，使它同时具有如下性质：图象关于直线x1对称； 当x2时，y0；当x2时，y0？（3）将抛物线作怎样的一次平移,才能使它与坐标轴仅有两个交点,并写出此时抛物线的解析式

8、。xyoABDC-15-2.5 4、 已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示：（1）求此抛物线的解析式；（2）当x取何值时，y0？（3）将抛物线作怎样的一次平移,才能使它与坐标轴仅有两个交点,并写出此时抛物线的解析式。xyoABDC-15-2.5 4、 已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示：（1）求此抛物线的解析式；（2）当x取何值时，y0？（3）将抛物线作怎样的一次平移,才能使它与坐标轴仅有两个交点,并写出此时抛物线的解析式。xyoABDC-15-2.5 4、 已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示：（1）求此抛物线的解析式；（2）当x取何值时，y0？（3）将抛物线

9、作怎样的一次平移,才能使它与坐标轴仅有两个交点,并写出此时抛物线的解析式。xyoABDC-15-2.55、如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及C点，（1）求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点D，使SOCD= SOCB，若存在，求出点D；若不存在，请说明理由。xyoABC（1）y=x+4A（1，5）y=-x2+6x5、如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及C点，（1）求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点D，使SOCD= SOCB，若存在

10、，求出点D；若不存在，请说明理由。xyoABC（1）y=x+4y=-x2+6x（4，8）（6，0）5、如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及C点，（1）求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点D，使SOCD= SOCB，若存在，求出点D；若不存在，请说明理由。xyoABCy=-x2+6x（4，8）（6，0）（2）SOCB=24设点D坐标为（x，y）y=12 1、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为P（-2，9），且与x轴有两个交点A、B（A左B右），SABC=27，求：（1）二次函数的解析式；（2）A、B两

11、点的坐标；（3）画出草图；（4）若抛物线与y轴交于C点，求四边形ABCP的面积。试一试：(1)y=-x2-4x+5(2)A(-5,0),B(1,0)(4)S=302、已知：一次函数的图象交y轴于点（0，-1），交抛物线y=x2+bx+c于顶点和另一点（2，5），试求这个一次函数的解析式和b、c的值。点拔：y=3x-1抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为 3、已知:抛物线y=ax2+bx+c过点（-5，0）、（0， ）（1，6）三点，直线L的解析式为y=2x-3，（1）求抛物线的解析式；（2）求证：抛物线与直线无交点；（3）若与直线L平行的直线与抛物线只有一个交点P，求P点的坐标。点拔：（1）（

12、2）证抛物线和直线的解析式组成的方程组无解（3）设与L平行的直线的解析式为y=2x+n则：此直线和抛物线的解析式组成的方程组只有一个解。即=04、已知：二次函数y=ax2+bx+c有最大值，它与直线 y=3x-1交于A（m，2）、B（n，5），且其中一个交点为该抛物线的顶点，求（1）此二次函数的解析式；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大。先求出A、B两点的坐标：A（1，2）、B（2，5）若A（1，2）为顶点：设解析式为y=a(x-1)2+25=a+2 a=3又函数有最大值, a=3不合,舍去.若B（2，5）为顶点：设解析式为y=a(x-2)2+52=a+5 a=-3则解析式为y=-3(x-

13、2)2+51、已知二次函数与轴两个交点为A（ ，0），B（ ，0），且满足 ，求此二次函数解析式。2、已知二次函数 （1）求证：不论k取何值，这个函数的图像与轴总有两个交点。（2）实数k为何值时，这两个交点之间的距离最小，并求这个最小距离。（南京市中考题）如果抛物线 与轴交于A、B两点，点A在轴的正半轴上，点B在轴的负半轴上，0A=a,0B=b,若a:b=3:1，求抛物线的解析式。已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k10有实数根，k为正整数.（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y2x2+4x+k1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2

14、）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线yx+b(bk)与此图象有两个公共点时，b的取值范围. 解（1）由题意，得168(k1)0，所以k3，而k为正整数，所以k1，2，3.（2）当k1时，方程2x2+4x+k10有一个根为0；当k2时，方程2x2+4x+k10无整数根；当k3时，方程2x2+4x+k10有两个非0整数根；综上所述，k1和k2时，不合题意，舍去，k3符合题意.当k3时，二次函数为y2x2+4x+2，把它的图象向下平移8个单位，得到的图象的解析为y2x2+4x6.（3）设二次函数为y

15、2x2+4x6的图象与x轴交于A，B两点，则A(3，0)，B(1，0).依题意，得翻折后的图象如图所示，当直线y x+b经过点A时，可求得b ；当直线y x+b经过点B时，可求得b .由图象可知，符合题意的b(b3)的取值范围为 b .如图1，已知二次函数yx22x1的图象的顶点为A.二次函数yax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数yx22x1的图象的对称轴上.（1）求点A与点C的坐标；（2）当四边形AOBC为菱形时，求函数yax2+bx的关系式.图1解如图2.（1）因为yx22x1(x1)22，所以顶点A的坐标为(1，2).又因为二次函数yax2+bx的图象经过原点，

16、且它的顶点在二次函数yx22x1图象的对称轴l上，所以点C和点O关于直线l对称，所以点C的坐标为(2，0).（2）因为四边形AOBC是菱形，所以点B和点A关于直线OC对称，因此，点B的坐标为(1，2).因为二次函数yax2+bx的图象经过点B(1，2)，C(2，0)，所以解得所以二次函数yax2+bx的关系式为y2x2+4x.图21、如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D（1）求出A、B的坐标和ABC的面积（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由（3）连接BC，与抛

17、物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PFDE交抛物线于点F点P在线段BC上移动的过程中，四边形PEDF是否能成为平行四边形？若能，求此时点F的坐标；若不能，请说明理由QE是否存在一点P，使BCF的面积最大？若存在，求出点P的坐标及BCF的面积最大值若没有，请说明理由2、（2010宁波）如图，已知二次函数 的图象经过A（2，0）、B（0，-6）两点（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求ABC的面积 （2010宁波）如图，已知二次函数 的图象经过A（2，0）、B（0，-6）两点（3）设（1）中抛物线交x轴于另一个点D，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得A