正定二次型的性质与应用

1、 TOC o 1-5 h z 摘要2关键词2Abstract 2Keywords 2 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 前言2 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 1预备知识31.1二次型定义31.2正定二次型定义3 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 2正定二次型的性质3 HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 3正定二次型的应用73.1正定二次型在解决极值问题中的应用 73.2正定二次型在分块矩阵中的应用

2、 1.0.3.3正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用 93.4正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用 103.5正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用 1.33.6正定二次型在欧氏空间中的应用（欧氏空间的积与正定矩阵） 133.7正定二次型在解线性方程组中的应用 133.8正定二次型在物理力学问题中的应用 14结束语 .131.5参考文献 正定二次型的性质及应用摘 要：本文主要探讨了正定二次型的性质， 结合例题重点介绍了正定二次型 的应用，如研究极值问题方面、解决多项式的根和在物理方面的应用等 .关键词：正定二次型；正定矩阵；合同；初等变换；分块矩阵The propertie

3、s and Applications of positivedefinite Quadratic FormsAbstract ：In this paper ，the properties of positive definite quadratic form is discussed. By giving examples, we mainly introduce the applications of positive definite quadratic form, such as the application to extremum questions 、studying the po

4、lynomial root and applications in physics et al.Keywords ： positive definite quadratic form; positive definite matrix; congruence;elementary transformation； partitioned matrix.、尸、 亠前言二次型是线性代数的主要容之一， 正定二次型是是实二次型中一类特殊的二 次型，占有特殊的地位 .正定二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中 ,且有 很大的实用价值，它不仅在几何而且在数学的其它分支学科以及物理和工程技术也常常用到，正定

5、矩阵是依附正定二次型给出的， 因而对正定矩阵的性质的考察， 有助于更好地了解正定二次型， 本文在二次型的基础上研究了正定二次型与正定 矩阵的一些性质及相关证明，并以例题的形式详细介绍了正定二次型的一些应 用.1 预备知识1.1 二次型定义设P是一数域，一个系数在数域P中的Xi,X2,.,Xn的二次齐次多项式f x1,x2,.,xna11x122a12x1x22a1n x1xna22 x22a2nx2xn2 + ann xn称为数域 P 上的一个 n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型1.2 正定二次型的定义定义 1 实二次型 f x1,x2,.,xn 称为正定的， 如果对于任意一组不全为

6、零的 实数 Ci,C2, ,Cn 都有 f C!,C2,.,Cn 0.定义2实对称矩阵A称为正定的，如果二次型 XAX正定.2 正定二次型的性质性质 1 实二次型f x1,x2,.,xn = d1y12 d2y22dnyn2是正定的当且仅当 di 0,i 1,2, ,n.证明 必要性.因为f Xi,X2,.,Xn =d2 d2y； dny2是正定的，所以对 于任意的一组不全为零的实数 C1,C2, ,Cn都有f C1,C2,Cn 0 于是取一组不全 为零的实数：0,0, ,0,1,0, ,0 （这里第i个为1，其余n 1个为0），有f(0,0, ,0,1,0, ,0)= di 0,i 1,2,

7、 ,n.充分性显然 .性质2 n元实二次型f xi,x2,.,xn是正定的充要条件是它的正惯性指数等于n.证明 设二次型f Xi,X2,., Xn经过非退化实线性替换变成标准型diy： dzy；dnyj.（1）上面的讨论表明，f Xi,X2,.,Xn正定当且仅当（1 ）是正定的，而我们知道， 二次型是正定的当且仅当di 0,i1,2, ,n，即正惯性指数为n.性质3正定二次型f Xi,x；,.,Xn的规形为222yiy2yn ，正定二次型的规性矩阵为单位矩阵 E，所以一个实对称矩阵是正定的当且仅 当它与单位矩阵合同.性质4实二次型.f Xi, X2,., Xn = X AX，正定的必要条件为

8、A 0证明 有实二次型知A是一正定矩阵，因为A与单位矩阵合同，所以有可逆 矩阵C使A CEC CC .两边取行列式，就有A CCC2 0.性质5实二次型f Xi,X2,.,Xn = XAX为正定的充分必要条件是 A的特征 值都是正数.性质6若A是正定矩阵，则A i也是正定矩阵.证明 如果A正定，则由性质2知A 0 ,因而A可逆，且其存在可逆矩阵II444T ,使A TT，将等式两边取逆有A T T ，令C （T ），于是 A i CC CEC，所以A i也是正定矩阵.性质7若A是正定矩阵，则对任意的实数k , kA也是正定矩阵.证明 因为A正定，所以对任意n维实向量X 0 ,都有X AX 0，

9、若k 0 , 则x(kA)X k(XAX) 0，故kA为正定矩阵.性质8若A是正定矩阵，则A的伴随矩阵A*也是正定矩阵.证明 因为A正定，因而A 0，且有性质四知A 1也正定，而 A*= AA1， 又由性质5知A*为正定矩阵性质9正定矩阵只能与正定矩阵合同.证明 若A正定，则A与单位矩阵E合同，若B也正定，则B也与E合同， 即A、B都与单位矩阵E合同，故A、B合同.反之，若A、B合同，且A正定，即A与单位矩阵E合同，所以B也与E合 同，故B也为正定的.综上，结论成立.性质10若A、B为正定矩阵，则A B也为正定矩阵.证明 因为A、B为正定矩阵，故 XAX，XBX为正定二次型，于是 x(A B)

10、X= XAX XBX也必为正定二次型，故 A B为正定矩阵.性质11 若A是正定矩阵，则对任意的正数k，Ak也是正定矩阵.证明因为A正定，那么当k 2m时，Ak AmAm (Am)Am，Am为实可逆矩阵，所以Ak正定； 当k 2m 1时，Ak (Am)AAm，因而Ak与A合同，有性质7知Ak为正定 矩阵.所以无论哪种情况，Ak都正定.性质12实二次型nnf x1,x2,.,xnaijxixj = XAX ，i1j1矩阵 A 的主对角线上的元素都大于零 . x1证明 因为 A 是正定矩阵，于是对任何 Xx20，xnnnAXaij xi xji 1 j 10，恒有f x1 , x2 ,., xn

11、= X其中aj(i, j 1,2,n)为A的元素，令0 0XI 1 (i 行) i 1,2,n,0那么 XiAXi aii 0,i 1,2, ,n, 证毕.性质13实二次型f (x1,x2 ,xn)i1aij xixj = X AX j1是正定的充分必要条件为矩阵 A 的顺序主子式全大于零证明 先证必要性 .设二次型f (x1,x2,xn)nnaij xi xji1j1是正定的.对于每个k , 1 k n,令fk (x1,xk )nnaij xixji 1 j 1我们来证fk是一个k元的正定二次型.对于任意一组不全为零的实数Ci, Ck ，有nnfk(C1, ,Ck)aij Ci Cjf(C1, , Ck ,0, ,0) 0i1j1因此fk(Xi,Xk)是正定的.由性质4， fk的矩阵行列式a11a1k0,k 1, ,nak1akk这就证明了矩阵A的顺序主子式大于零再证充分性 .对 n 作数学归纳法 .当 n 1时，f (X1)2a11X1 ，由条件an 0显然有f(xj是