根轨迹的概念

1、根轨迹的概念特征方程(见传递函数)的根随某个参数由零变到无穷大时在复数平面上 形成的轨迹，称为根轨迹。我们先看下面的例子。设单位反馈系统的开环传递函数为：当开环放大系数K从零到无穷大变化时，系统的特征根在s平面上怎样分布? 解系统有两个开环极点S1 = 032 = 1系统的闭环传递函数为,、Yfe) Got)G (s)二二X fc) 1+ Gofc)_ K_ s2+ s+ K系统的特征方程为S2+ s+ K = 0特征方程的根如=-0.5 +0.571-4X也=0.5- 0.5%/1-47可见特征根在s平面的位置与K有关。K=0时，明二。;如二i 1,与开环极点的位置相同。0K1/4时，判和宅

2、都成为共轭复数。j1；2=- 0,5 土沧5%/4K 1具有相同的负实部，且为常数，而虚部则随K的增加其绝对值也增加。图3.28给出了系统的特征根在K从零变化到无穷大时，相应位置的变化情况。这种放大系数K从零到无穷大变化时，特征方程的根在s平面上相应变化的轨迹， 称为根轨迹。根轨迹完整地反映了特征根随参数变化的情况。根据图3.28的根轨 迹图，我们可以知道，在Km，m条根轨迹终止于开环零点，还有（n-m） 条根轨迹则终止于无穷远处。这时因为，当s! 1时，由于nm,同样有mn 十瓦）lim =0S T 8 Zi z zn + 4）i = 1根轨迹的渐近线终止于无穷远处的（n-m）条根轨迹，在m

3、! 1时，沿渐近线变化。渐近线确定了终止于无穷远处的根轨迹的变化方向。渐近线与实轴正方向的夹角Y为白_ (2K十 1)130一 n-mK=SL2(3.152)渐近线与实轴的交点为nms （耳） 一（&）_ n m（3.153）式（3.153）可以表述为“=（所有开环极点之和-所有开环零点之和）/n-m根轨迹的对称性特征方程的根不是实数就是共轭复数，所以根轨迹对称于实轴。在绘制根轨迹时，只需绘出上半平面的部分，根据对称性，下半平面的部分很容 易绘制出来。实轴上的根轨迹实轴上的开环零点和开环极点把整个实轴划分为若干线段。这些线段是不是根轨 迹的一部分，可以根据幅角条件来判断。只有其右边开环零极点总

4、数为奇数的线 段，才能满足根轨迹的幅角条件。所以说，实轴上的根轨迹是那些右边开环零极 点个数为奇数的线段。根轨迹的分离点与会合点两支根轨迹从开环极点出发后相遇又分开的点称为根轨迹的分离点。两支根轨迹 相遇后又分开各自趋向终点的点称为根轨迹的会合点。在分离点或会合点上，特 征方程必有重根。分离点或会合点可用下面的方法求取。系统的特征方程为即mmn 十绥)十K 3+R) = 0i = 1J = 1上式可简化为&十氐引5)= 0式中A(s)和B(s)是不含可变参数K的表达式。解方程dK=0/、急(3.154)即可求出分离点或会合点。但方程(3.154)的解不一定都是分离点或会合点。 经检验，这些点若

5、在根轨迹上，则为分离点或会合点。若不在根轨迹上，此时对 应的K一般为负值，则不是分离点或会合点。绝大多数分离点或会合点都分布在 实轴上。实轴以外的分离点或会合点则以共轭复数形式成对出现。根轨迹的出射角与入射角系统存在复数开环零点和开环极点时，必须知道根轨迹从开环复数极点出射的方 向或进入到开环零点的方向。出射角(入射角)是根轨迹在开环复数零极点上切线的方向角，可以根据根轨迹的幅角条件求出。根据式（3.150）可得m摭=100 十 I； % (3.155)(3.156)J = 1m TOC o 1-5 h z r.尸n=130-%十目织J 1-1*j上两式中原为出射角，如为入射角，为和周是所有开

6、环零极点（不包括所求的零极点）指向所求开环复数极点或开环复数零点的矢量与实轴正方向的夹角。根轨迹与虚轴的交点s平面的虚轴是控制系统稳定与不稳定的分界线。根轨迹通过虚轴，系统的稳定 性就会发生变化。所以，确定根轨迹与虚轴的交点非常重要。根轨迹在虚轴上，则s=j ,将其代入特征方程再令特征方程的实部和虚部都为零，可以得到两个方程：实部方程和虚部方程。求解这两个方程，可得到根轨迹与虚轴的交点和对应的K值。利用上述8条绘制根轨迹的规则，可以较方便地做出系统的根轨迹图。下面，通 过一些实例，进一步了解根轨迹的作图规则。例17控制系统的开环传递函数为鱼瓦0 =十 2）（ +4）试绘制K从零到无穷大变化时系

7、统的根轨迹。解 （1）系统为三阶系统，根轨迹共有3条分支。（2）根轨迹的起点为0，-2, -4，图3.29中用x表示开环极点。根轨迹无开环零点，三支根轨迹均终止于无穷远处。（3）终止于无穷远处的根轨迹的三条渐近线与实轴正方向的夹角和与实轴 的交点为=60?1300 + （- 2） + （- 4） - 0 n（4）根轨迹在实轴上的部分是。22，一8两个线段。（5）分离点。特征方程十2）0十4）十氏=。K=-3（32）（3 +4）K=-3（32）（3 十 4）= 3s2 12s 0 = 0 ds求得：跖=3。83 2 = 2 - /3 = 3.15JK2 =- 3.00电不在根轨迹上，不是分离点。

8、分离点为s=-0.85。（6）系统无复数零极点，因而无出射角、入射角问题。（7）根轨迹与虚轴的交点理十2虫+4）十风，次=0得（K 6山勺知（山8） = 0实部方程K-6w=0虚部方程1）（1）2 8） = 0解得= 2.33K = 48图3.29是该系统的根轨迹图。图3.29例17的根轨迹例18控制系统的开环传递函数为：=5十 3）（5，十 十 *）试绘制系统的根轨迹。解 （1）系统为四阶系统，根轨迹共有4条分支。（2）根轨迹的起点：0，-3, -1土 j1。根轨迹终点：-2,有3条根轨迹终止于无穷远处。（3）渐近线与实轴的交角和交点E=6 此 1800 十（一3）十（一1 十时）十（一1

9、1） （ 2）（4）根轨迹在实轴上的部分是0到-2, -3到负无穷大。（5）分离点：无根轨迹分离与会合。（6）出射角：开环极点-1土j为共轭复数极点。开环零点分布入图3.30所将图3.30各角的值代入式（3.155），= 130+ 45- (26.6+ 90 + 135) =- 26.6根据根轨迹的对称性，复数开环极点-1-j的出射角为2&矿。（7）与虚轴交点，将S二加代入特征方程。特征方程为1十= 03十 3）（3，十 2s 十 2）丁十5凌十爵十位十Kb十2K = 0代入S二如并整理后得实部方程4.-山一 +27 = 0虚部方程-5c/十（K十时山=0解此方程组，得Lb1 = 1.61K

10、= 7图3.31是系统的根轨迹图。图3.32控制系统的根轨迹图3.33附加零点的作用根轨迹法分析系统性能根轨迹法是一种图解方法。运用根轨迹法能够分析系统的稳定性和动态特性、稳 定特性。根轨迹法在对高阶系统的分析中，可以根据闭环零极点的位置，较方便 地确定参数变化对系统动态过程的影响，利用闭环主导极点的概念对系统进行近 似分析计算。因此是一种很实用的工程方法。下面，我们通过一些实例说明根轨 迹法在系统分析中的应用。例设某控制系统的开环传递函数为3十 10)分析该系统的稳定性并利用根轨迹法校正系统的稳定性。解按照根轨迹的绘制规则，系统的根轨迹图如图3.32所示。由图可见，系统的 两支根轨迹位于s平

11、面右半边，无论K怎样变化，系统始终是不稳定的。若在系统中附加一个开环零点，该开环零点是位于0到-10之间的一个负实数，则 系统的根轨迹就变成图3.33所示的形状。显然，无论K怎样变化，系统始终是稳 定的。图3.32和图3.33说明，在适当位置上引入附加零点，可以使控制系统的性能得到 有效改善。图3.33还表明，在s平面原点有两个开环极点，系统是氏型系统，对 单位阶跃和单位斜坡输入函数响应的稳态误差为零。系统的单位阶跃响应，是衰 减振荡过程。例20单位反馈控制系统的传递函数为玳。庇十1) 色乙(国_i)求使系统稳定的范围。解：本例给出的传递函数是典型环节形式，将其改写为零极点形式：0.5X(+ 2) _ Kf(s + 2)顷时=。海3 少=理4)式中K称为开环放大系统，K称为根轨迹放大系数Kf=2K二者相差一个比例常数，比例常数是由时间常数和零极点的数值决定的。可以证明，二阶开环系统在其开环极点左边有一个开环零点时，其根轨迹有一部