2022年初中三角函数知识点总结及中考真题讲解

1、名师整理 精华知识点锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、 b 的平方和等于斜边 c 的平方。a 2b 2c 22、如下图，在 Rt ABC中， C为直角，则 A的锐角三角函数为 ( A可换成 B)：定 义 表达式 取值范围 关 系正sin A A 的对边sin A a 0 sin A 1 sin A cos B弦 斜边 c ( A为锐角 ) cos A sin B余cos A A 的邻边cos A b 0 cos A 1 sin 2A cos 2A 1弦 斜边 c ( A为锐角 ) 正切 tan AA A 的对边的邻边 tan A ab ( A为锐角 ) tan A

2、0cot tan AA cottan BBtan A 1 ( 倒数 )余切 cot A AA 的邻边的对边 cot A ba ( A为锐角 ) cot A 0tan A cotcot AA 13、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。sinAcosB由AB90sinAcos( 90A)A 斜边caB 对 边cosAsinB得B90AcosAsin(90A)bC 邻边4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 6 7tanAcotB由AB90tanAcot(90A )cotAtanB得B90AcotAtan(90A )5

3、、0 、 30 、 45 、 60 、 90 特殊角的三角函数值( 重要 )三角函数030456090sin01231 222cos13210222tan0 31 3-3cot-31 303、正弦、余弦的增减性：当 0 90 时， sin随的增大而增大， cos随的增大而减小。、正切、余切的增减性：当 0 90 时， tan随的增大而增大， cot随的增大而减小。8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）所有未知的边和角。依据： 边的关系：a2b2c名师整理精华知识点2；角的关系： A+B=90 ；边角关系： 三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 9、应用举例：(

4、1)仰角 ：视线在水平线上方的角；铅垂线视线俯角 ：视线在水平线下方的角。仰角水平线hih:lih。坡度一般俯角视线l(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度 l 的比叫做 坡度 (坡比 )。用字母 i 表示，即l写成 1: m的形式，如i1:5等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做 坡角 )，那么ihtan。l3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，OD 的方向角分别是：45 、 135 、 225 。叫做方位角。 如图 3，OA 、OB、OC、4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于 90 的水平角，叫做方向角。如图 4,OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：北偏东 30 （东北方向

5、），南偏东 45 （东南方向） ，南偏西 60 （西南方向） ，北偏西 60 （西北方向） 。要点一：锐角三角函数的基本概念名师整理 精华知识点一、选择题1.（2009 漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan的值是（）A3 5 B4 3 C3 4D4 5【解析】 选 C. tan角的对边3. 角的邻边42. （2008 威海中考）在ABC中， C90 ， tan A1，则 sin B（）3A10 B2 C3 D3 1010 3 4 10【解析】 选 D. tan A BC 1, 设 BC=k,则 AC=3k,由勾股定理得AB 3AB AC 2BC 2( 3 k ) 2k 210 k

6、 , sin B AC 3 10AB 103.（2009 齐齐哈尔中考） 如图，O 是ABC 的外接圆， AD 是O 的直径， 若O的半径为3，AC 2，则 sin B 的值是（）2A2 B3 C3 D43 2 4 3【解析】 选 A.连接 CD,由O的半径为3 2 .得 AD=3. sin B =sinDAC2 3.AD4.（2009 湖州中考）如图，在 RtABC中，ACBRt，BC1，AB2，则下列结论正确的是（）名师整理精华知识点32D tanB3AsinA3BtanA1 C cosB222AB，所以 AC3 ；所以【解析】 选 D 在直角三角形 ABC中，BC1，sinA1，cosA

7、3，tanA3；sinB3，cosB1， tanB3；2，223225.（2008 温州中考）如图，在 RtABC中， CD 是斜边 AB 上的中线，已知CDAC3，则 sin B 的值是（） C3 4 D4 3A2 3 B3 2【解析】 选 C.由 CD 是 RtABC斜边 AB 上的中线，得 AB=2CD=4.sin BAC3ABC中，ACB90，CDAB 于 D ，若AC2 3，AB46.（2007 泰安中考）如图，在AB3 2，则 tanBCD 的值为（）名师整理 精华知识点A D （A）2（B）2B （C）C （D）36233答案： B 二、填空题7. （2009 梧州中考）在ABC

8、中， C90 ， BC6 cm，sin A3，则 AB5的长是 cm63,解得 AB=10cm【解析】sinABCABAB5答案： 10 8. （2009 孝感中考）如图，角的顶点为 O，它的一边在 x 轴的正半轴上，另一边OA上有一点 P（3，4），则sinsin4；【解析】 因为 P（3，4），所以 OP5，所以5答案：4 5；ABCD的边长为 10cm，DEAB，sinA3，则这个9. （2009 庆阳中考）如图，菱形5菱形的面积 = cm 2【解析】sinADEDE名师整理精华知识点ABDE10660cm 2. 3.解得 DE=6cm.S LINGAD105答案： 60 三、解答题 1

9、0.(2009 河北中考 ) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为 O，直径 AB 是 河底线，弦 CD是水位线， CD AB，且 CD = 24 m ，OECD于点 E已测得 sinDOE = 12 13C E DA B O（1）求半径 OD；（2）根据需要，水面要以每小时 则经过多长时间才能将水排干？0.5 m 的速度下降，【解析】（1） OECD于点 E，CD=24（m），ED =1 2CD =12（m）=12 13，在 Rt DOE中， sin DOE =ED ODOD =13（m）（2）OE=OD2ED= 132122=（m）将水排干需： 5 0.5=10（小时）11.（2009

10、綦江中考）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 边上的点， AEBC ，DFAE ，垂足为 F ，连接 DE （1）求证：ABEDFA；（2）如果AD10，名师整理精华知识点AB =6 ，求 sinEDF 的值【解析】（1）在矩形 ABCD 中，BCAD，ADBC，B904 ，AB =15，求 ABC 5DAFAEBDFAE，AEBCAFD90 =BAEADABEDFA（2）由（ 1）知ABEDFAABDF6在直角ADF中，AFAD2DF22 10628EFAEAFADAF2在直角DFE中，DEDF2EF22 62 22 10sinEDFEF210DE2 101012.（2008 宁夏中考

11、）如图，在 ABC 中， C =90 ，sin A=的周长和 tan A 的值名师整理 精华知识点【解析】 在 RtABC 中, C =90 , AB =15 sinA=BC = AB4 , 5BC12.9AC2 ABBC22 152 12周长为 36,tanABC124AC9313. （2008 肇庆中考）在 Rt ABC中， C = 90 ， a =3 ，c =5，求 sin A 和 tan A的值 . 【解析】 在 Rt ABC中， c=5，a=3bc2a2522 34BcosDAC ，sinAa3c5ABC中，AD是 BC上的高， tantanAa3b414.（2007 芜湖中考）如图

12、，在名师整理 精华知识点(1) 求证： AC=BD；(2) 若sinC12，BC=12，求 AD的长13【解析】 (1) AD是 BC上的高， ADBC ADB=90 ， ADC=90 在 Rt ABD和 Rt ADC中， tanB =AD， cos DAC =ADBD AC又已知 tan B cos DACAD =ADAC=BDBD AC(2) 在 Rt ADC中，sin C 12，故可设 AD=12k，AC=13k132 2DC AC AD 5kAD ADBD 13ktan B cos DACBC 13k 5k 12k 2 ,AD 8.3要点二、特殊角的三角函数值一、选择题1. （2009

13、 钦州中考） sin30 的值为（）D3A3B2C1 2223答案： C 2. （2009 长春中考）菱形 OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，AOC45，OC2名师整理精华知识点11)D (1，21)，则点 B 的坐标为（）A (21) B (1，2) C (2答案： C 3.(2009 定西中考 ) 某人想沿着梯子爬上高4 米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60 ，否则就有危险，那么梯子的长至少为（）米A8 米B 8 3 米 C8 3 3米 D4 3 3答案： C 4. （2008 宿迁中考）已知为锐角，且sin(10)3，则等于（）2 50 60 80 70答案：

14、（5.（2008 毕节中考） A（cos60 ，tan30 ）关于原点对称的点A1的坐标是）A1，33 B3，33 C1，3D1，3222232答案： A 6. （2007 襄樊中考）计算：2 cos 45tan60cos30 等于（）（A）1（B）23（C） 2（D）答案： C 二、填空题名师整理精华知识点2008) =_7. （2009 荆门中考）4cos30 sin 60( 2)1(2009【解析】4cos30 sin60( 2)1( 20092008)0433(1)12223(1)1232答案：328. （2009 百色中考）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部 B与钢缆固定点

15、C的距离为 4 米，钢缆与地面的夹角为 60o，则这条钢缆在电线杆上的固定点 A到地面的距离 AB是答案： 4 3米（结果保留根号）9. （2008 江西中考）计算：（1）sin 60 cos301 21.【解析】sin 60 cos301331312。222424答案：1 4tan45的值是10. （2007 济宁中考）计算sin 60 cos30答案： 0 三、解答题11. （2009 黄石中考）计算： 31+(2 1) 03 tan30 tan45 3【解析】 31+(2 1) 03 tan30 tan45 31 1 1 13 30012. （2009 崇左中考）计算：2sin 603t

16、an 301( 1) 20093名师整理精华知识点382 =2.5 【解析】 原式 =23331 1=02313. （2008 义乌中考）计算：3sin 602 cos45【解析】3sin 602cos4538332222要点三、解直角三角形在实际问题中的运用一、选择题1. （2009 白银中考）某人想沿着梯子爬上高4 米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60 ，否则就有危险，那么梯子的长至少为（米）A8 米 B 8 3 米 C8 3 3米 D4 3 3【解析】 选 C. 梯子的长至少为sin40833（米） . 602.（2009 衢州中考）为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明

17、测得图中所示的数据 ( 单位：米 ) ，则该坡道倾斜角 的正切值是（）A1 4 B名师整理精华知识点44 C1 17 D17答案： A 3. （2009 益阳中考）如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 5 米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A. 5cos B. 5 C. 5 sin D. 5cossin5B A 答案： B 4. （2009 兰州中考）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为 4m如果在坡度为 0.75 的山坡上种树，也要求株距为 4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）A5m B6m C7m D8m 【解析】 选 A 由坡度为

18、 0.75 知，相邻两树间的水平距离为 4m，相邻两树间的垂直距离为 h，则h0.75，则 h3m，所以坡面距离为5m；45.(2009 潍坊中考 ) 如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路 l 的距离，在 A点测得BAD30 ，在 C点测得BCD60 ，又测得AC50米，则小岛 B到公路 l 的距离为（）米名师整理精华知识点25 3A25 B 25 3 C100 33 D 25【解析】选 B 过点 B作 BEAD 于点 E，在直角三角形 BAE中，tan300BE AE,则AEBE0,在直角三角形 BCE中，tan600BE,则CEBE0。tan30CEtan60所以 AE-CE=AC=50

19、,即BE0BE050,解得 BE 25 3 ；tan 30tan 60二、填空题6. （2009 沈阳中考）如图，市政府准备修建一座高AB6m的过街天桥，已知天桥的坡面 AC与地面 BC的夹角 ACB的正弦值为 3 5，则坡面 AC的长度为 m【解析】 因为 sin ACB =AB63, 所以 AC=10 ACAC5答案： 10. 7. （2009 衡阳中考）某人沿着有一定坡度的坡面前进了 10 米，此时他与水平地面的垂直距离为 2 5 米，则这个坡面的坡度为 _. 答案： 1:2 8. （2009 南宁中考）如图，一艘海轮位于灯塔P 的东北方向，距离灯塔402 海里的 A 处，它沿正南方向航

20、行一段时间后， 到达位于灯塔 P 的南偏东 30方向上的 B 处，则海轮行驶的路程AB 为 _海里（结果保留根号） 【解析】 ACPC名师整理精华知识点40, APsin45040222BCPC040403tan3033AB BC AC 40 3 40答案：40 3 409 (2009 安徽中考 ) 长为 4m的梯子搭在墙上与地面成 45 角，作业时调整为 60角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m【解析】 当梯子与地面夹角为 45 时，梯子顶端高为 04sin 45 02 2( m ；当梯子与地面夹角为 60 时，梯子顶端高为 04sin 60 02 3( m ，所以梯子顶端升高了 2

21、( 3 2) m ;答案： 2( 3 2) ；10.(2008 庆阳中考 ) 如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离 AC =3米，cosBAC3，则梯子长 AB = 米. 4名师整理 精华知识点答案： 4 11. （2007 湖州中考）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以 15 的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为 75 ，如果拖把的总长为1.80m，则小明拓宽了行路通道 _m（结果保留三个有效数字，参考数据：sin15 26，cos15 0.97 ）答案： 1.28 三、解答题12. （2009 庆阳中考）如图（ 1），一扇窗户打开后

22、用窗钩 AB可将其固定如（ 2）是如图（ 1）中窗子开到一定位置时的平面图，若AOB=45 ， OAB=30 ，名师整理3精华知识点OA=60cm，求点 B 到 OA边的距离（1.7，结果精确到整数）【解析】 如图，过点 B 作 BCOA于点 C AOB=45 ， CBO=45 ， BC=OC设 BC=OC=x， OAB=30 ， AC=BC tan60 = 3xOC+CA=OA，x+ 3x=60，x= 6022（cm）1 3即点 B 到 OA 边的距离是 22 cm13. （2009 郴州中考）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪 AB的高度为 1.5 米，测得仰角为 30，点 B 到电灯杆底端 N的距离BN为 10 米，求路灯的高度MN是多少米？（取2 =1.414，3 =1.732 ，结果保留名师整理 精华知识点两位小数）【解析】 在直角三角形 MPA 中，30 ，AP =10米MP=10tan300 =10 3 5.773 米 3因为AB =1.5米所以 MN=1.5+5.77=7.27 米答：路灯的高度为 7.27 米14.（2009 眉山中考）海船以 5 海里 / 小时的速度向正东方向行驶，在 A处看见灯塔B在海船的北偏东 60 方向，2 小时后船行驶到 C处，发现此时灯塔 B在海