数列求和专题讲座课件

1、数列求和S=a+b+c+d+e+f+g+h数列求和介绍求一个数列的前 n 项和的几种方法：1、运 用 公 式 法2、错 位 相 减 法3、裂 项 相 消 法4、通 项 分 析 法数列求和一、 运用公式法 运用公式法主要是使用已经证明，并承认其在解决其他问题时可以使用的公式来进行数列求和。如：等差数列的求和公式：等比数列的求和公式：还有一些常用公式：请看下面例子：数例1 求数列 的前n项和分析：由这个数列的前五项可看出该数列是由一个首项为1、公差为2的等差数列与一个首项为 、公比为 的等比数列的和数列。所以它的前n项和可看作一个等差数列的前 n项和与一个等比数列的前n项和的和。解：归纳出：奇数列

2、的前n项和列求和1这类题的方法可用“分组求和法”二、错 位 相 减 法 错位相减法在等比数列求前 n项和时用过；它主要用于由一个等差数列与一个等比数列的积数列。求法步骤如下：1、在 的两边同时乘于公比q2、两式相减 ；左边为 ，右边q的同次式相减3、右边去掉最后一项（有时还得去掉第一项）剩下的 各项组成等比数列，可用公式求和。看以下例子数列求和例2 求数列 的前n项和 分析：该数列可看作等差数列 等比数列 的积数列这里等比数列的公比 q =解：两式相减：所以：运算整理得：数列求和2例3 设 求数列 的前n项和 分析： 这个数列的每一项都含有a，而a等于1或不等于1，对数列求和有本质上的不同，所

3、以解题时需讨论进行 解：两边同乘a:两式相减：所以：运算并整理得：数列求和2三、裂 项 相 消 法 顾名思义，“裂项相消法”就是把数列的项拆成几项，然后，前后交叉相消为0达到求和目的的一种求和方法。求 法 步 骤1、先分析数列的项的结构，把通项式“裂”成几项。（注意：裂开后的通项式当n=k和n=k+d时有相消为0的情况出现才行）2、解题时；对裂开后的通项式令n取1，2，3，,n然后相加得3、把和式中每一对相消为0的式子除去，整理剩下的 式子即为和式。请 看 下 面 例 子数列求和例4 求数列 的前n 项和。分析：该数列的特征是：分子都是1，分母是一个以1为首项，以3为公差的等差数列的相邻两项的

4、乘积。只要分子变为公差3，就可以裂项了。解：数列求和3例5 求数列 的前n项和分析： 该数列的分子是偶数的平方，分母是奇数列相邻两项的乘积；从例4的经验看：该数列求和使用“裂项相消法”的可能性较大，那就看分子能否化为常数。注意到该数列的通项公式的特征：分子、分母同次且没有一次项；所以使用处理分式函数的常用手段：“分离常数法”即可把分子化为常数。变化如下：数列求和3解：共 n 项数列求和3例6 已知 求 S分析：由阶乘的性质可知： 所以：于是该和式求值可用“裂项相消法”解：数 列求和3四、通 项 分 析 法 通项分析法就是根据前面学过的运用公式法、错位相减法、裂项相消法为基础，对数列的通项公式进

5、行分析，从而决定使用那种方法求和。求 法 步 骤1、确定所求和数列的通项公式，必要时，注意使用由已 知数列的前几项，求这数列的一个通项公式的方法2、分析通项公式时，在确定首项、末项、及项数的同时 还要分析清楚是那些数列的和、差、积、商数列。 请 看 下 面 例 子数列求和例7 求数列 的前n项和分析：由数列的结构来分析，该数列的第k项应该是：通过分析可知：该数列是以 为首项，以 为末项，共有n项的数列。从通项公式的结构来分析，该数列是一个以2为首项，以2为公比的等比数列与一个常数列的差数列。所以它的前n项和是一个等比数列的前n项和与一个常数为1的常数列的前 n项和的差。通过这样分析，确定解题方

6、向就方便了解：数列求和4例8 求和 分析：这个数列是数列1，2，3. . . n与它的倒序数列的积数列，共有n项，在这里把n看成常数来分析它的通项就容易了。(k取从1到n的自然数）所以，该数列可以看作通项为 的三个数列的差、和数列解：数列求和4例9 求数列 前n项和分析：由 所求数列的每一项都是一个等比数列的和，其第k项 通项公式理解清楚后，现在可以就以上三种情况考虑求和了该数列是自然数列，求和容易。n为偶数时n为奇数时此时的和式，转化为求数列的通项公式解：数列求和4分析：所以：每一项由三个连续自然数的积组成，前后两项有两个因子相同，很自然联想使用裂项相消求和。对例10的两种解法进行归纳可以清楚看到平时练习时有意识的经验积累，在关键时产生联想是很有帮助的。 数列求和4例11 设等差数列 的前n项为 ，且 ， 若 ，求数列 的前n项和 分析：由已知该数列是等差数列且已知 ，所