2010年四川省高考数学试卷(理科)答案与解析

1、 参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）（5分）（2010四川）i是虚数单位，计算i+i2+i3=（）A.-1B.1C.-iD.i【考点】复数代数形式的混合运算.【分析】利用复数i的幕的运算，容易得到答案.【解答】解：由复数性质知：i2=-1故i+i2+i3=i+（-1）+（-i）=-1故选A【点评】本题考查复数幕的运算，是基础题.（5分）（2010四川）下列四个图象所表示的函数，在点x=0处连续的是（）A.D.【考点】函数的连续性.【专题】数形结合.【分析】根据连续的定义，函数f在x=0连续，满足两个条件f不仅在x=0处有极限且有定义，而且等于它的函数值.根据图象

2、可知A函数在x=0无定义，B有间断点即极限不存在,C虽然有极限但是极限不等于f（0），得到正确答案即可.【解答】解：由图象及函数连续的性质知，A中的函数在x=0处无意义，所以不连续；B中的函数x趋于0无极限，所以不连续；C中虽然有极限，但是不等于f（0）,所以不连续；只有D满足连续的定义，所以D中的函数在x=0连续.所以D正确.故选D【点评】考查学生掌握连续的定义，会利用数学结合的数学思想解决实际问题.3.（5分）（2010四川）21og510+log50.25=（）A.0B.1C.2D.4【考点】对数的运算性质.【分析】根据对数运算法则可直接得到答案.【解答】解：T21og510+log50

3、.25=log5l00+log50.25=log525=2故选C.【点评】本题主要考查对数的运算法则.（5分）（2010四川）函数f（x）=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是（）A.m=-2B.m=2C.m=-1D.m=1【考点】函数的图象.【专题】计算题.【分析】根据二次函数对称轴定义和互为充要条件的条件去判断即可.【解答】解：函数f（x）=x2+mx+1的对称轴为x=-专o-更=1nm=-2.2答案：A.【点评】本题考查了互为充要条件的关系和二次函数的对称轴问题.（5分）（2010四川）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2二16，|AB+AC|=|AB-ACI，

4、则丨酬1=（）A.8B.4C.2D.1【考点】向量的线性运算性质及几何意义.【分析】先求出lBC|=4,又因为|扭十AC|-1AB-AC|=1眈1=2丨惭|=4，可得答案.2-【解答】解：由BC=16，得|EC|=4,T|运+血|二|込AC|=迅0=4，而|逓+疋曰|巫|I瓦|=2故选C.【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，属基础题.（5分）（2010四川）将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动寻个单位长度，再TOC o 1-5 h z把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）7T7T17T171A.y=sin（2x-JB.y=sin（2x-JC.

5、y=sin（x-）D.y=sin（x-105210220【考点】函数y=Asin（x+Q）的图象变换.【专题】分析法.【分析】先根据左加右减进行左右平移，然后根据横坐标伸长到原来的2倍时w变为原来的吉倍进行横向变换.【解答】解：将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移朮个单位长度，所得函数图象的解析式为y=sin（x-需）再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是y=sin（丄x）.210故选C.【点评】本题主要考查三角函数的平移变换.平移的原则是左加右减、上加下减.（5分）（2010四川）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加

6、工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【考点】简单线性规划的应用.【专题】计算题；压轴题.【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，根据题意列出不等式组，找出目标函数【解答】解：

7、设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，70则1_0工+6応4罚严yEN目标函数z=280 x+200y结合图象可得：当x=15，y=55时z最大.故选B.【点评】在解决线性规划问题是，我们常寻找边界点，代入验证确定最值8.（5分）（2010四川）已知数列%的首项a10，其前n项的和为Sn，且Sn+1=2Sn+aP则=（）A.0B.C.1D.22【考点】极限及其运算；等比数列的前n项和.【专题】计算题.【分析】由题意知an+2=2an+i，再由S2=2S+a，即a2+a=2a+aPa2=2a，知an是公比为2的等比数列，所以Sn=a+2a+22a+2nia】=(2n-1)a】,由此可知答案.

8、【解答】解：由Sn+1=2Sn+a1,且Sn+2=2Sn+1+a1作差得an+2=2an+1又S2=2S+a,即卩a2+a1=2a1+aPa2=2a1故an是公比为2的等比数列Sn=a+2a1+22a1+2n-4=(2n-1)a】仃:n_Ian2al1则linn-ooSnfL-00(2-1)a2故选B【点评】本题考查数列的极限和性质，解题时要认真审题，仔细解答.229.(5分)(2010四川)椭圆的右焦点为F,其右准线与x轴的交a2b2点为A.在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是【考点】椭圆的简单性质.【专题】计算题；压轴题.【分析】由题意，椭圆上存在点P,

9、使得线段AP的垂直平分线过点F,即F点到P点与A点的距离相等，根据IPFI的范围求得IFAI的范围，进而求得兰的范围即离心率e的范围.a【解答】解：由题意，椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点F,即F点到P点与A点的距离相等2,2而IFAI=ccIPFlGa-c,a+c,2于是Ga-c,a+cc即ac-c2b2ac+c2-a【解答】解：2$【专题】计算题；压轴题.整理成且一b丿a,进而利用均值不等式求得原式的最小值.冷-bj7-:-10且u+25cm）（a-5c）+a_ab+ab4(a5c)2+ab+-+a(a_b)+ab0+2+2=4当且仅当a-5c=0,ab=1,a(a-b)=1时

10、等号成立c=满足条件.5故选B【点评】本题主要考查了基本不等式的应用.主要口考查了运用基本不等式求最值的问题.二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13.（4分）（2010四川）的展开式中的第四项是二【考点】二项式定理.【专题】计算题.【分析】利用二项式的展开式的通项公式求出第4项.【解答】解：t4=C；故答案为：-丄巴【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.14.（4分）（2010四川）直线x-2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则IABI=：3.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】可以直接求出A、B然后求值；也可以用圆心到直线的距离来求解

11、.【解答】解：圆心为（0,0）,半径为2屉圆心到直线x-2y+5=0的距离为d一山十-22故得IABI=2l3._故答案为：2帀.【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的理解能力，是基础题.15.（4分）（2010四川）如图，二面角a-1-B的大小是0,线段ABua.BGl,AB与l所成的角为30.则AB与平面B所成的角的正弦值是_呼_.【考点】平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题.【专题】计算题；压轴题.【分析】过点A作平面B的垂线，垂足为C,在B内过C作1的垂线.垂足为D,连接AD,从而/ADC为二面角a-1-B的平面角，连接CB,贝贬ABC为AB与平面B所成的角，

12、在直角三角形ABC中求出此角即可.【解答】解：过点A作平面B的垂线，垂足为C,在B内过C作1的垂线.垂足为D连接AD,有三垂线定理可知AD丄1,故/ADC为二面角a-1-p的平面角，为60又由已知，ZABD=30连接CB,贝贬ABC_为AB与平面p所成的角设AD=2，贝9AC=l3,CD=1AB=AD=4sin30sinZABC；AB_4【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及直线与平面所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题.（4分）（2010四川）设S为复数集C的非空子集.若对任意x，yGS,都有x+y,x-y，xyGS，则称S为封闭集.下列命题：集合S=a

13、+bil（a,b为整数，i为虚数单位）为封闭集；若S为封闭集，则一定有0GS；封闭集一定是无限集；若S为封闭集，则满足SCTCC的任意集合T也是封闭集.其中真命题是.（写出所有真命题的序号）【考点】集合的包含关系判断及应用；子集与真子集；复数的基本概念.【专题】计算题；综合题；压轴题；新定义.【分析由题意直接验证即可判断正误;令x=y可推出是正确的;找出反例集合S=0,即可判断的错误.S=0,T=0,1,推出-1不属于T,判断是错误的.【解答】解：两个复数的和是复数，两个复数的差也是复数，所以集=a+bi|（a,b为整数，i为虚数单位）为封闭集，正确.当S为封闭集时，因为x-yGS，取x=y,

14、得0GS,正确对于集合S=0，显然满足所有条件，但S是有限集，错误取S=0,T=0,1,满足SCTCC，但由于0-1=-1不属于T,故T不是封闭集，错误.【点评】本题考查复数的基本概念，集合的子集，集合的包含关系判断及应用，是中档题.三、解答题（共6小题，满分74分）（12分）（2010四川）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有，奖励一瓶”或谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有奖励一瓶字样即为中奖，中奖概率理.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；(口)求中奖人数E的分布列及数学期望E&【考点】离散型随机变量及其分布列；随机事件.【专题】计算题.【分析(1)甲、

15、乙、丙三位同学每人是否中奖相互独立，可利用独立事件的概率求解，甲中奖概率为j,乙、丙没有中奖的概率为卡，相乘即可.中奖人数E的所有取值为0,1,2,3,是二项分布.EB(3,【解答】解：(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C,那么P(A)=P(B)=P(C)p=p(A)P(B)p(C)#申2=-,答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率(2)E的可能值为0,1,2,3,P(E=k)=:(k=0,1,2,3)所以中奖人数E的分布列为0123P12525512167272216Ec=0 x+1x+2x+3x-【点评】本题考查相互独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、二项分布及期望等知识

16、.同时考查利用所学知识分析问题解决问题的能力.18.(12分)(2010四川)已知正方体ABCD-ABCD的棱长为1,点M是棱AA，的中点,点O是对角线BD的中点.(I)求证：OM为异面直线AA，和BDZ的公垂线；(口)求二面角M-BCZ-BZ的大小；(皿)求三棱锥M-OBC的体积.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题.【专题】计算题；综合题；转化思想.【分析（I）连接AC,取AC中点K,则K为BD的中点，连接OK,证明MO丄AA,M0丄BDOM是异面直线AA和BDZ都相交，即可证明OM为异面直线AA和BDZ的公垂线；（口）取BBZ

17、中点N,连接MN，则MN丄平面BCCZBZ,过点N作NH丄BC于H,连接MH,说明/MHN为二面角M-BCZ-B，的平面角，解三角形求二面角M-BCZ-B，的大小；（皿）利用Vm-obc=Vm-oad=Vo-mad，求出仏ma，d以及0到平面MAD距离h,即可求三棱锥M-OBC的体积.【解答】解：（I）连接AC,取AC中点K,则K为BD的中点，连接0K因为M是棱AA的中点，点0是BD的中点所以AMDD所以moM由AA丄AK,得MO丄AA因为AK丄BD,AK丄BB,所以AK丄平面BDDB所以AK丄BD所以MO丄BDZ又因为OM是异面直线AA和BD都相交故OM为异面直线AA和BDZ的公垂线（口）取

18、BB中点N,连接MN,贝VMN丄平面BCCZBZ过点N作NH丄BC于H,连接MH则由三垂线定理得BC丄MH从而，ZMHN为二面角M-BC-B的平面角V2VsMN=1,NH=BNsin45=24卄亠1W1戸厂在RtAMNH中，tanZMHN贡故二面角M-BC-Bz的大小为arctan2l2（皿）易知,Sa0bc=Saoa，d，且OBC和厶OAD都在平面BCDA内点O到平面MAZDZ距离h=gVM-OBC=VM-OAD=VO-MAd=ESAMADh=DrCf【点评】本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数

19、学问题的能力.19.(12分)(2010四川)(I)证明两角和的余弦公式Ca+B：os(a+B)=cosacosB-sinasinB；由Ca+p推导两角和的正弦公式Sa+B：sin(a+B)=sinacosB+cosasinB.(口)已知ABC的面积諾，血疋二3，且U口SB二，求cosC.【考点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数.【专题】计算题；证明题.【分析(I)建立单位圆，在单位圆中作出角，找出相应的单位圆上的点的坐标，由两点间距离公式建立方程化简整理既得；由诱导公式cos号-(a+B)=sin(a+B)变形整理可得.(口)，求出角A的正弦，再由，用c

20、osC=-cos(A+B)求解即可.【解答】解：(I)如图，在直角坐标系xOy内做单位圆O,并作出角a、B与-B，使角a的始边为Ox,交OO于点P1，终边交OO于P2；角B的始边为OP2，终边交OO于P3；角-B的始边为OP，终边交OO于P4.则P1(1，0)，P2(cosa，sina)P3(cos(a+B)，sin(a+B),P4(cos(-B),sin(-B)由P1P3=P2P4及两点间的距离公式，得cos(a+B)-12+sin2(a+B)=cos(-B)-cosa2+sin(-B)-sina2展开并整理得：2-2cos(a+B)=2-2(cosacosB-sinasinB)二cos(a

21、+B)=cosacosB-sinasinB.(4分)兀7T由易得cos(-a)=sina，sin(-a)=cosasin(a+B)=cos-兀2(a+B)=cos(兀2-a)+(-B)=cos(兀2-a)cos(-B)-a)sin(-B)=sinacosB+cosasinB(6分)(口)由题意，设ABC的角B、C的对边分别为b、c1T-则S祜bcsinA=bccosA=30AG(0,cosA=3sinA2又sin2A+cos2A=1,sinA=，cosA=-1010由题意，cosB三，得sinB55cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=】10故cosC=cosn-(A+B)=-

22、cos(A+B)=(12分)10【点评】本小题主要考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力.20.(12分)(2010四川)已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线1：，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线1的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交1于点M、N.(I)求E的方程；(口)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.【考点】圆与圆锥曲线的综合.【专题】计算题；证明题；压轴题.【分析】(I)设P(x,y),欲求点P的轨迹方程，只须求出x,y之间的关系式即可，结合题中条件：“动点P与点F的距离是

23、它到直线1的距离的2倍利用距离公式即得；(口)先分类讨论：当直线BC与x轴不垂直时；当直线BC与x轴垂直时，对于第种情形，设BC的方程为y=k(x-2),将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合向量垂直的关系利用向量的坐标运算即可求得结论，从而解决问题.对于第种情形，由于直线方程较简单，直接代入计算即可验证.【解答】解:(I)设P(x,y),则；(x-2)2+y2=2|x-|2化简得X2-总弋1(yH0)；(口)当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k(x-2)(kH0)2与双曲线x2=1联立消去y得(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0-1由题意知3

24、-k20且厶0S1设B(x1,y1),C(x2,y2),贝S12_k2-34k+3y2=k2(X-2)(X2-2)=k2XX2-2(X+X2)+4=k2(因此M点的坐标为Kl+1)一z35、)册同理可得FN二(-寺3y22(込+1)因为Xi、x2h-1,所以直线AB的方程为y=(X+1)-81kfck.因此FA4(屮)_=9当直线BC与x轴垂直时，直线方程为x=2，则B(2,3),C(2,-3)AB的方程为y=x+1,因此M点的坐标为(*,為)，阿二(一為，号)同理可得FN二因此二(_)2+-|X一号)=0综上FN=0,即FM丄FN故以线段MN为直径的圆经过点F.【点评】本小题主要考查直线、轨

25、迹方程、双曲线等基础知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力.21.(12分)(2010四川)已知数列an满足ai=0,a2=2，且对任意m、nGN*都有a2m-i+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2求a3,a5；设bn=a2n+i-a2n-i(nGN*),证明:bj是等差数列；设cn=(an+i-an)qn-i(qHO,nGN*),求数列cn的前n项和Sn.【考点】数列递推式；数列的求和.【专题】综合题；压轴题；转化思想.【分析(1)欲求a3,a5只需令m=2,n=1赋值即可.以n+2代替m,然后利用配凑得到bn+i-bn，和等差数列的定义即可证明.由(1)(2)两问的结果可以

26、求得cn,利用乘公比错位相减求cn的前n项和Sn.【解答】解：(1)由题意，令m=2,n=1,可得a3=2a2-a+2=6再令m=3,n=1,可得a5=2a3-a+8=20(2)当nGN*时，由已知(以n+2代替m)可得a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8于是a2（n+1）+1-a2（n+l）_l（a2n+l_a2n_1）=8即bn+1-bn=8所以bj是公差为8的等差数列（3）由（1）（2）解答可知bn是首项为b=a3-a=6,公差为8的等差数列则bn=8n-2,即a2n+i-a?i=8n-2另由已知（令m=1）可得an=%-1+且1(n-1)2.那么an+1-a2n-128n-2-2n

27、+1=2n于是cn=2nqn-1.当q=1时，Sn=2+4+6+2n=n(n+1)当qH1时，Sn=2q+4q1+6q2+.+2nqn-两边同乘以q,可得qSn=2q1+4q2+6q3+.+2nqn.上述两式相减得(1-q)Sn=2(1+q+q2+.+qn-1)-2nqn1-=2-2nqn1_qCn+1)q如屮十L-【卅1)屮+1(q-1)222.(14分)(2010四川)设f1-aKa0且aH1),g(x)是f(x)的反函数.设关于x的方程求心S（葢）在区间2,6上有实数解,n(n+L)(q=l)综上所述，sn=所以Sn=2【点评】本小题是中档题，主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力.同时考查了等差，等比数列的定义，通项公式，和数列求和的方法