《振动力学》习题集(含答案解析)

1、专业资料分享振动力学习题集（含答案）1.1质量为m的质点由长度为I、质量为m/勺均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动,如图E1.1所示。求系统的固有频率。解：系统的动能为：T=丄m22其中I为杆关于铰点的转动惯量：岭x2dx=如112则有：T=丄ml2X2+ml2X2=(3m+m2X226161系统的势能为：U=mgl(L-cosx)+mg-(L-cosx)12=2mglx2+丄m+m)glx24141利用x=ox和T=U可得:n=322(3m+/yi1.2质量为m、半径为R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA二a的A点系有两根弹性刚度系数为k的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有

2、频率。图E1.2解：1.1(T=-102=2B212二mR2024如图，令0为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为(1)mR2+mR202丿U=2-kKr+abl=k(R+a022利用0=0和T=U可得：n：4k(R+aR+a4kn3mR2R3m1-3转动惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分别为ki，k2和k3的轴约束，如图E13所示。求系统的固有频率。图E1.3解：系统的动能为：k2和k3相当于串联，则有:2+63,以上两式联立可得：k6=k36,k+k23k6=263k+k23k(k+k)+kk12323k+k2362系统的势能为：U=k62+k62+k62122利用6=6和T=U可得:nkk+

3、k(k+k)=123-J(k+k丿231.4在图E1.4所示的系统中，已知k(i=1,2,3)m,a和b，横杆质量不计。求固有i频率。图E1.4答案图E1.4解：对m进行受力分析可得:mg=kx，33mg即x=-3k3如图可得：x=1x二x01a+b1a2k+b2k=+亠mg(a+bbkk12则等效弹簧刚度为：则固有频率为：a2k(a+b)21+kkk1231mg=mgk0(a+bkkka2kk+b2kk+G:bkk132312kkk(a+pkk(a+b)2+kka2+kb2123121-7质量mi在倾角为“的光滑斜面上从高岚滑下无反弹碰撞质量m，如图ex所示。确定系统由此产生的自由振动。解：

4、对mi由能量守恒可得（其中I的方向为沿斜面向下）:mgh=2mv2，即V=J2gh对整个系统由动量守恒可得:mv=(m+m)V即v=iJ2ghiii2oom+m12令m引起的静变形为x2，则有:mgsma2=kx，即2mgsinax=2-2令m+m引起的静变形为x，1212x12同理有:(m+m=i)gsina得：x=x-x012mgsinak则系统的自由振动可表示为：xx=xcost+-smt0nnn其中系统的固有频率为：注意到v0与x方向相反，得系统的自由振动为:vx=xcost一Asmt0nn1.9质量为m、长为I的均质杆和弹簧k及阻尼器c构成振动系统，如图E1.9所示。以杆偏角9为广义

5、坐标，建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。若在弹簧原长处立即释手，问杆的最大振幅是多少？发生在何时？最大角速度是多少？发生在何时？是否在过静平衡位置时？答案图E1.9、3ka2w=nml23cl2ml23c1g=2mwn2amkmg=k9aa，20mgl2ka2解：利用动量矩定理得：l9=-k9a-a一c9ll，I=ml23ml26+3cl20+3ka26=0,1.12面积为S、质量为m的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图E1.12所示。作用于薄板的阻尼力为F=卩2Sv，2S为薄板总面积，v为速度。若测得薄板无阻尼d自由振动的周期为T，在粘性流体中自由振动的周期为T。求系数卩

6、。0d图E1.12解：平面在液体中上下振动时：mx+2卩SX+kx=0=TySm1-gy=STT2.1图E2.2所示系统中，已知m,c,k,k,你和。求系统动力学方程和稳态响120应。k2mxkx2mmk答案图E2.1(a)mrc.图E2.1k(x-x)1c(x-X)11解：x1答案图E2.1(b)等价于分别为X1和x2的响应之和。先考虑S此时右端固结,系统等价为图(a),受力为图（b）,故:mx+(k+k)x+(c+c)X=kx+cX121211mx+cx+kx=kAsino+cAocosot1111111)c=c+c12k=k+k2o=n1）的解可参照释义（2.56），为:sinCot-0

7、）cAo+111kcosCot-0)2)其中:oS=1on01=tg2*-1-1-s2/co)21.k+k丿、12：1+I(+kJ2+(c+co212121k+k12匕o2m、11k+k丿12+k-mo2丸+21-k+k12(c+cb121k+k121+cJ2o2124故（2）为:x(t)=3(ot-0)+=Aiv:+k-mo2龙+121k2+、c2o21cAocosCot-0)11I11)21)sin(ot-0+0)+c戈o2112121叮tg-1co/(k+k)=tg-1丄丄2=tg-1o2m1一1_k+k12(+cb12k+k-o2m121叮tgco-1T1k1考虑到x()的影响，则叠加

8、后的x(t)为:x(t)=fIA、k2+c202iiiii、i、ii:+k-mo2)+(c+cJ2o212i12i(c+c12smot-tg-112_ik+k-o2m12i、co+tg-1iki丿2.1一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图T2-1所示。已知，=30。,m=1kg,k二49N/cm，开始运动时弹簧无伸长，速度为零，求系统的运动规律。答案图T2-1解：mgsina=kx0mgsinax=0k1x9.8x1249=0.1cm也J：49X10-2=70rad/s:m1x=xcosot=-0.1cos70tcm0n2.2如图T2-2所示，重物W悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，

9、另一重物W12从高度为h处自由下落到W上而无弹跳。求W下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规12律。图T2-2W2W1答案图T2-2解：W2h=2尸v；，v2r莎动量守恒：WW+W2V=12Vg2g12V12m匚cFocos图E2.3解：xC)=e也(Ccost+Dsint)+AcosCot-0)d0=tg-1洋1-s2A=化.、1k(一s2)+(2gs1x(0)=x-C+Acos0nC=x一Acos000 x(t)=-goe-创01(Ccosot+Dsinot)0dd+e-创01(Cosinot+Docosot)-AosinMot-0)ddddxG)=v=-goC+Do+Aosin0nD=Vo

10、+oC-00doodd求出C,D后，代入上面第一个方程即可得。2.7由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成的支承上，如图E2.7所示。当齿轮转动角速度为0时，偏心质量惯性力在垂直方向大小为meo2sinot。已知偏心重W=125.5N，偏心距e=15.0cm,支承弹簧总刚度系数k=967.7N/cm,测得垂直方向共振振幅X=1.07cm，远离共振时垂直振幅趋近常值X=0.32cm。m0求支承阻尼器的阻尼比及在o=300rmin运行时机器的垂直振幅。解：wsin&-e)，e=tg-1兰s=1时共振，振幅为:xi=me石=1.07cm1）远离共振点时，振幅为:M=0

11、.32Cm2）由（2）menM=X2由（1）meme2X-meX12&=300丫min,w0M故:斗=3.8x10-3m丿+(2gs悬臂梁的质量2.7求图T2-7中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是勺及k3,忽略不计。图T2-7答案图T2-7解：kkk和k为串联，等效刚度为：k=21212k+k12。（因为总变形为求和）k12和k3为并联（因为ki2的变形等于k3的变形），则:kkk=k+k=i123123k+k121k+k12k12和k4为串联（因为总变形为求和）,故：kkkkk+kkk+kkkk1234124134234ek+kkk+kk+kk+kk+kk12341213231424故

12、：n2.9如图T2-9所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；杆可以在铅锤平面内微幅转动；比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由解：1)保持水平位置：2)微幅转动：F(x+x=1+2k1X力l+112_l(+1飞1lklk(+1)kl+1(+1)kk121121212lk(l+l)+l2kllk2+211122mg(+l2kk121l2mg*2=(l+112lmgc、l-4-l+l12l+1l+l+7)k22121mg故：l2k+l2k112mg(+12kk1212(l+/kk112k+12k1122

13、212w=n2.10求图T2-10所示系统的固有频率，刚性杆的质量忽略不计。解：图T2-10答案图T2-10mgm的位置：x=x+x=+x2AkA2mg1=F1a.x.x=x+xa2kkmglmglakmg12a2kmg*mgl2a2kIk2l2a2kmgna2kk2.11图T2-11所示是一个倒置的摆。摆球质量为m,刚杆质量可忽略，每个弹簧的刚1)求倒摆作微幅振动时的固有频率；(2)摆球质量m为0.9kg时，测得频率(f)为1.5Hz，m为1.8kg时，测得频率为n0.75Hz，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？答案图T2-11(1)零平衡位置解：（1）lcos0零平衡位置答

14、案图T2-11(2)LLT=_I92=ml29222a-mgl(L-cos9)1(1)U=2-k2212丿=丄ka292-mgl92=Qa2-222利用T=Umaxmax9二9maxnmaxka2-mgl,ka2=ml2（2）若取下面为平衡位置，求解如下：LLT=192=ml2929、2丿22(9a+mglcos9=丄ka292+mgl1-2sin222+mgl=丄ka292+mgl-mgl92=Ca2-222d(T+U)=0，2ml299+29二02-ml2。+二0=:ka2-mglnml22.17图T2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，k=k=k=k=k,试问:12341)若将支承缓慢

15、撤去，质量块将下落多少距离？2)若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？解：1)mg=k1234x0，2)xQ=xCOSWt,0图T2-17k=k+k=2k2312312342mgkk13231234mgmax2.19如图T2-19所示，质量为m2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I,忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。解：系统动能为：11T=mx2+I212IR2丿3)+mR222丿2系统动能为：rR)1xIR2k+k2(217=kx22eR2、1R22x2根据：Tmax=Vmaxxmax=3xnmax32nk+k-1- HYPERLINK

16、l bookmark151 21R2cI3m+m1R22222.20如图T2-20所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为I。求系统的固有频率。解：系统动能为：.i(ixmx2+mr222(2系统动能为：T_丄I02+丄m6a)+丄mul)202122_1_2+ma2+ml2)02012a2+kl2+kb2)021根据：T二Vmaxmax=rn0maxnmaxV=1ka+1kl+1kb212223_12ka2+kl2+kb2_T23-I+ma2+ml20122.24一长度为I、质量为m的均匀刚性杆铰接于0点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如图T2-24所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和无阻尼固有频率

17、的表达式。图T2-24答案图T2-24解：J_3m12利用动量矩方程，有：J0_-k0a-a-c0l-1，ml20+3cl20+3ka20_0；3ka23_nml23c12ml22c_m33n3ka22amk_m_ml2132.25图T2-25所示的系统中，刚杆质量不计，写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及阻尼固有频率。答案图T2-25解：mOll+cOaa+k0b-b=0ml2O+ca2O+kb2O=0=Jkb2=bJkTOC o 1-5 h znml2lmca2ca2ca2,m=23，g=ml2n2ml232mlbknb:kc2a4m13=3*1g2=1=4kml2b2c2a4dnlm.4

18、m2l2b2k2ml212bl厂由g=1nc=mkYa22.26图T2-26所示的系统中，m二1kgk=144N/mc二48Ns/m,l=l=10.49m,l二0.5l,I二0.25l,不计刚杆质量，求无阻尼固有频率及阻尼:。23nOml1图T2-26c-9l*3k-9Z2答案图T2-25解：受力如答案图T2-26。对0点取力矩平衡，有:m9l-1+c9l-1+k9l-1113322ml20+cl20+kl20=013211m0+c9+k0=01641knw2=36n4mnw=6rad/sn1c區=23mnn：=-=0.2516m2n4.7两质量均为m的质点系于具有张力F的弦上，如图E4.7所

19、示。忽略振动过程中弦张力的变化写出柔度矩阵，建立频率方程。求系统的固有频率和模态，并计算主质量、主刚度、简正模态，确定主坐标和简正坐标。图E4.7答案图E4.7(1)解：sin0三0=乙,sin0三0=2yi,sin0三0=巴11l22l33l根据件和代的自由体动力平衡关系，有:my=-Fsin】+fsin02三-f+f2=T(y2-2人I故：my=-Fsin0一Fsin02223一&=7(yi-2y2)m10一yiF+-2-yi0myl-12y22_12当m=m时，令：12y=Ysinwt11y=Ysinwt22w2ml代入矩阵方程，有：2-九-1_Y1-12-九Y22二丄一心一一滋一也01

20、,2二1,33Fml1mlmlml根据（2九Y=0得:2IY22一IY22一第一振型2答案图E4.7(2)4.11多自由度振动系统质量矩阵M和刚度矩阵K均为正定。对于模态x.和x.及自然数n证明:ijxtMk-iMx=0，xtiji解：Kx=32Mx，等号两边左乘KM-1jjjKM-1Kx=32KM-1Mx=32Kx，等号两边左乘xTjjjjjixtKM-iKJr=32xtKxL0，当i丰j时ijjij重复两次:KM-1Kx=32Kx，等号两边再左乘KM-1jjjKM-1KM-iKx=32KM-1K1，等号两边左乘xtjjji=32xtKM-iK1=0，当i丰j时jjijxtKM-JKxi重复

21、n次得到：xTiKM-JKx=0jKx=32Mx，jjj等号两边左乘MK-1故:MK-1Kxj=32MK-MxjjMx=32MK-1Mx，等号两边左乘xTjjjixTMx=32xTijji=0，当i丰j时j即xtMx=0，当i丰j时ij重复运算:MK-1Mx=32jjxTMK-1Mx=32xTijji重复n次。2.10图T4-11所示的均匀刚性杆质量为m*求系统的频率方程。完美WORD格式.整理02专业资料分享解:先求刚度矩阵。令9=1，x=0，得:m2k=kb-b+ka-a=kb2+ka2111212k=-ka212图T4-11k9bk9a答案图T4-11(1)令9=0,x=1，得:k=-k

22、a12k22k-1答案图T4-11(2)答k22则刚度矩阵为:K=2-ka2-ka2k2再求质量矩阵。得：m11m=021=0,x二1，得:答案图T4-11(3)m21m12=0，m22=m2则质量矩阵为：故频率方程为：5.1质量m、长I、抗弯刚度El的均匀悬臂梁基频为3.515(EI/ml3)i/2,在梁自由端完美WORD格式.整理专业资料分享放置集中质量。用邓克利法计算横向振动的基频。解：&二3平亘,1ml33EIIm13iTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark423 111/3(mm二+二+i HYPERLINK l bookmark427 w2(2(2E八

23、12.3553丿1126.088:EI+12.355m15.2不计质量的梁上有三个集中质量，如图E5.2所示。用邓克利法计算横向振动的基频。O1/41/41/41/4图E5.2解：当系统中三个集中质量分别单独存在时：f_90/4)_f_160/4)f_90/4)f11_12EI_，f22_12EI，f33_12EI113_w2w2111+-(221+-(23_mf+mf1122+3mf3313ml3192EI3.843面3(_1ivi5.3在图E5.3所示系统中，已知m和k。用瑞利法计算系统的基频。图E5.3解：近似选取假设模态为：W=61.52.5)T系统的质量阵和刚度阵分别为：3k-2kM

24、=diag(m2mm),K=-2k3k-k0-kk由瑞利商公式：R)=2.5k=211.75mik=0.461-m5.9在图E5.9所示系统中，已知k和J。用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。J(1)图E5.9解：两端边界条件为：RR丁XR=，自由端：XR=0T12T002固定端：XR=SXR1101_-1_krOkT1-O2J11-O2Jk_k_12J一2kk2.jYJ厶J丫J)一CO2+1一21一2k丿2k由自由端边界条件得频率方程：O2J+f1O22kIJ弋2kki=0.765：j代入各单元状态变量的第一元素，即：_9_1921k2JO2kk2得到模态：0(i)=11.4141,0=1

25、1.4145.10在图E5.10所示系统中，已知Gl(i二1,2),l(i=1,2)和J(i二piii1,2)。用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。图E5.10解：XL=19TL10，XR=29TR1012两自由端的边界条件为：XR=SXR221.5-10丁-1_XR=SPXL=11132J11032J1=SFXR11XR=XL1.51.511L.,32J1k丿132J=11k101L132J1GI其中：j=-pl11k.2J1一2Tk2GIk=p22l由自由端边界条件得频率方程：34JJ+k2.2J1一1k1一2J132J32J12=01= HYPERLINK l bookmark528

26、_2JJ HYPERLINK l bookmark540 1121kk12 HYPERLINK l bookmark542 4JJ4JJ”+2+122J2J HYPERLINK l bookmark487 kk12123=pHP212JJIl+Il丿12p12p21代入各单元状态变量的第一元素，即：ro1r111v32JJo1132TJ2kk12得到模态：0(1)=11，0=rJ1T1厶JJ25.11在图E5.11所示系统中悬臂梁质量不计，m、I和El已知。用传递矩阵法计算系统的固有频率。图E5.11解：引入无量纲量：ml332EISEIEI定义无量纲的状态变量：X=ly9MF】S边界条件：左端固结：XR=00MF】，右端自由:sXR=y90o1XR=SPSFXR1其中点传递矩阵和场传递矩阵分别为：根据传递矩阵法，有：SF116121得：2阪亠1F=0利用此齐次线性代数方程的非零解条件导出本征方程：1一尢+1=0311血）=1九1九+1=26nX=313EIn=一i八ml5.12在图E5.12所示系统中梁质量不计,、和EI已知，支承弹簧刚度系数k=6EI/13。用传递矩阵法计算系统的固有频率。解：(1)(0)k1空l一图E5.12引入无量纲量：Fl2cSEIml32A=EI定义无量纲的状态变量：X=ly9边界条件：左端铰支：XR=0根据传递矩阵法，有：右端自由：XR=y90o1X