北京市朝阳区2012届高三上学期期末考试试题

1、北京市朝阳区2012届高三上学期期末考试试题 数学（文） 2012.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则等于（ ）ABC D2.已知平面向量，且，则实数的值为 （ ）A B C D3. 函数的图象大致是 （ ）4. 设数列是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和等于 （ ）A B C D5.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A

2、B C D 6. 函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）A B C D 7. 已知函数，设，则的大小关系是 （ ）A. B. C. D. 8. 已知集合, .若存在实数使得成立,称点为“”点，则“”点在平面区域内的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9. 若变量，满足约束条件 则的最大值为 . 时速（km/h）001002003004组距4050607080频率O10. 已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，

3、则时速在区间上的汽车大约有 辆. 11. 主视图俯视图32222侧视图某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 .12. 设直线与圆相交于，两点，且弦的长为，则实数的值是 . 13. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润（万元）与机器运转时间（年数，）的关系为.则当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最大值是 万元.14. 已知两个正数,可按规则扩充为一个新数,在三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.（1）若,按上述规则操作三次,扩充所得的数是_；（2）若，经过6次操作后扩充所得的数为（为正整

4、数），则的值分别为_. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本题满分13分）在锐角三角形中，分别为内角，所对的边，且满足（）求角的大小；（）若，求的值16. （本题满分14分）如图，在四棱锥中，平面平面四边形为正方形，且 为的中点，为的中点MSDBCAPQ（）求证：平面；（）求证：平面；（）若，为中点，在棱上是否存在点， 使得平面平面，并证明你的结论.17. （本题满分13分）553232A如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动）

5、，且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后各转动一次游戏转盘，得分记为（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）（）请列出一个家庭得分的所有情况；（）若游戏规定：一个家庭的总得分为参与游戏的两人所得分数之和，且总得分为偶数的家庭可以获得一份奖品请问一个家庭获奖的概率为多少？ 18. （本题满分13分）设函数.（）当时,试求函数在区间上的最大值;（）当时,试求函数的单调区间.19. （本题满分13分）已知椭圆的离心率为，且过点，为其右焦点.（）求椭圆的方程； （）设过点的直线与椭圆相交于、两点（点在两点之间），若与的面积

6、相等，试求直线的方程.20. （本题满分14分）数列，（）由下列条件确定：；当时，与满足：当时，,；当时，.（）若，求，并猜想数列的通项公式（不需要证明）；（）在数列中，若(,且)，试用表示，；（）在（）的条件下，设数列满足， (其中为给定的不小于2的整数)，求证：当时，恒有.参考答案 2012.1一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案DBBADCBA二、填空题： 题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案注：若有两空，则第一个空3分，第二个空2分.三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（）由， 根据正弦定理得：.3分因为，所以. 5分又为锐角，

7、 则. 6分（）由（）可知，因为，根据余弦定理，得 ， 8分整理，得由于，得 10分于是， 11分所以 13分 （16）（本小题满分14分）证明：（）因为四边形为正方形，则. 1分又平面平面，且面面， 所以平面. 3分MSDBCAPQR(N)O（）取SC的中点R，连QR, DR 由题意知：PDBC且PD=BC4分 在中，为的中点，R为SC的中点， 所以QRBC且QR=BC 所以QRPD且QR=PD， 则四边形为平行四边形. 7分所以PQDR.又PQ平面SCD，DR平面SCD， 所以PQ平面SCD 10分（）存在点为中点，使得平面平面 11分连接交于点，连接、，因为，并且，所以四边形为平行四边形

8、，所以.又因为为中点，所以12分因为平面平面，平面平面=，并且，所以平面，所以平面， 13分又因为平面，所以平面平面14分（17）（本小题满分13分） 解：（）由题意可知，一个家庭的得分情况共有9种，分别为， 7分 （）记事件A：一个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分情况包括 ，共5种， 11分 所以 所以一个家庭获奖的概率为 13分（18）（本小题满分13分）解: （）函数的定义域为. 1分当时, ，因为， 3分所以函数在区间上单调递增，则当时,函数取得最大值 . 5分（）. 6分当时,因为，所以函数在区间上单调递减；7分当时，当时，即时，所以函数在区间 上单调递增； 9分当时，即时，由

9、解得， ，或. 10分由解得； 11分所以当时，函数在区间上单调递增；在上单调递减，单调递增. 13分（19）（本小题满分13分）解：（）因为，所以，. 1分设椭圆方程为，又点在椭圆上,所以，解得， 3分所以椭圆方程为. 4分（）易知直线的斜率存在, 设的方程为， 5分由消去整理，得， 6分由题意知，解得. 7分设，则， ， . .因为与的面积相等，所以，所以. 10分由消去得. 将代入得. 将代入，整理化简得，解得，经检验成立. 12分所以直线的方程为. 13分（20）（本小题满分14分）（）解：因为，所以,. 1分因为,则,. 2分. 3分猜想当时，. 则 4分（）解：当时，假设，根据已知条件则有，与矛盾，因此不成立，