单调性与最大(小)值课件

1、 课题导入 函数是描述事物运动变化规律的数学模型，了解函数的变化规律势在必得。观察下面函数的图象，能说出它们的变化规律吗？xy02-22-2xy022-2-2保持量（百分数）天数1 2 3 4 5 6020406080100 某市一天的温度变化图:yf(x)，x0，24说出气温在哪些时间段内是逐渐升高或下降的?1.3.1 单调性与最大（小）值问题1画出f(x)=x的图像，并观察其图像。2、在区间 _上，随着x的增大，f(x)的值随着 _. o5-5-55f(x)=x1、从左至右图象上升还是下降 _?上升增大1、在区间 _ 上，f(x)的值随着x的增大而 _.问题2画出 的图像，并观察图像.o5

2、-5-552、 在区间 _ 上，f(x)的值随着x的增大而 _. (-,0(0,+减小增大) 对于二次函数 ，我们可以这样描述“在区间 上，随x的增大，相应的f(x)也随着增大”. 在区间 上，任取两个 ，得到，当时，有这时，我们就说函数 在区间 上是这增函数.xy21013 （1）对于函数y= f(x) ，若在区间 I 上，当x1时, y1; 当 x2时, y3 , 能说在区间 I 上函数值 y 随自变量 x的增大而增大吗?思考 （2）对于函数y= f(x) ，若在区间 I 上，当x1, 2, 3, 4, 时, 相应地 y1, 3, 4, 5，能说在区间 I 上函数值y 随自变量x 的增大而

3、增大吗？思考xy103421234xyx10 x2x3xny1y2y3ynx应该取区间I内所有实数 (3) 对于函数y= f(x)若 区间I 上有n个数x1 x2x3 xn，它们的函数值满足: y1 y2y3 yn时，能说在区间 I 上 y 随 x 的增大而增大吗 ？思考若x取无数个呢?能否仿照前面的描述，说明函数 在区间(-,0上是减函数吗？ 在区间(-,0 上，任取两个 ，得到，当时，有这时，我们就说函数 在区间 上是减函数.函数单调性的概念： 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就

4、说f(x)在区间D上是增函数,如图1 .1增函数知识要点yx0 x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图1 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2 ，当x1f(x2) ，那么就说f(x)在区间D上是减函数 ,如图2.yx0 x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图22减函数 1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质. 2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2) 分别是增函数和减函数.注意在某区间上，减函数图象下降。 增函数图象上升xyoxyo 如果函数y=f(

5、x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.函数的单调性定义例1 下图是定义在区间-4,5上的函数y=f (x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？12345-1-2-3-4-2-323o解：函数y=f(x)的单调区间有-4，-2)，-2，-1)，-1，1)，1，3)，3，5,其中y=f (x)在区间-4，-2)， -1，1)， 3，5上是增函数，在区间-2，-1)， 1，3)上是减函数. 例2 物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大

6、,试用函数单调性证明之.分析：按题意就是证明函数 在区间 上是减函数.证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+)上的任意两个实数，且V1V2，则由V1，V2 (0，+)且V10, V2- V1 0又k0,于是所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.取值定号作差变形结论用定义证明函数单调性的步骤是：（1）取值（2）作差变形（3）定号（4）判断根据单调性的定义得结论 即取 是该区间内的任意两个值且 即求 ，通过因式分解、配方、有理化等方法 即根据给定的区间和 的符号的确定 的符号例 求证：函数 在区间 上是单调增函数，则证明：在区间（0，+）上任取两个值 且 又因

7、为 ， ，所以说 即函数 在区间（0，+）上是单调增函数.探究画出反比例函数 的图象 1 这个函数的定义域是什么？ 2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论xy0 xx0分两个区间(0，+)，（- ，0）来考虑其单调性.函数f(x)=1/x 在(0，+)上是减函数.f(x1)- f(x2)=由于x1,x2 得x1x20,又由x10所以f(x1)- f(x2)0, 即f(x1) f(x2).证明：（1）在区间(0，+)上，设x1,x2是(0，+)上任意两个实数，且x1x2，则（2）在区间（- ，0）上，同理可得到函数f(x)=1/x 在（- ，0）上是减函数。综上所述，函数f(x)=1/x

8、在定义域上是减函数.下列两个函数的图象： 图1ox0 xMyyxox0图2M观 察 观察这两个函数图象，图中有个最高点，那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？思考 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小关系如何？思考f(x) M(0)=1O122、存在0，使得(0)=1.1、对任意的 都有(x)1.1是此函数的最大值知识要点M是函数y= f (x)的最大值（maximum value）： 一般地，设函数y= f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I，都有f (x) M;（2）存在 ，使得 . 一般地，设函数y=f(x)的

9、定义域为I，如果实数M满足：（1）对于任意的的xI，都有f(x) M;（2）存在 ，使得 ，那么我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimun value）. 能否仿照函数的最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义呢？思考 函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？思考是 如果在函数f(x)定义域内存在x1和 x2，使对定义域内任意x都有 成立，由此你能得到什么结论？如果函数f(x)的最大值是b，最小值是a，那么函数f(x)的值域是a，b吗？思考函数f(x)在定义域中既有最大值又有最小值.是探究:函数单调性与函数的最值的关系（1）若函数y=f (x)在区间m，n (m1为常数，如果当x

10、1,b时，函数 的值域也是1,b,求b的值.xy011解：因为所以f(x)在x=1时取得最小值为1，又因为x1,b，由f(x)的图像可知道在区间1,b上是递增的，所以得b=3或b=-1，因为b1，所以说b=3.爱是什么？一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。风儿若有若无。一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？”“爱。”“为什么？”“它驱赶我的饥饿。”鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。“现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。”精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。鸟儿喝完

11、泉水，准备振翅飞去。“请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。“你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。”“我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。”“为什么？它能驱赶你的饥饿？”“不能。”“它能滋润你的干渴？”“不能。”爱是什么？一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。风儿若有若无。一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？”“爱。”“为什么？”“它驱赶我的饥饿。”鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。“现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。”精灵摘下一

12、片树叶，里面盛了一汪泉水。鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。“请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。“你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。”“我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。”“为什么？它能驱赶你的饥饿？”“不能。”“它能滋润你的干渴？”“不能。”其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重，相互包容，相互懂得，才能走的更远。相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱

13、的轰轰烈烈；不求誓言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪，弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时，你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏识，还是成长岁月无法躲避的经历愿曾经的过往，依然如花芬