数学史第02讲数的发展史剖析课件

1、数的发展史从小学到大学我们学习数的过程为：自然数分数小数有理数实数复数自然数概念的形成 数，作为人类对物体结合的一种性质的认识，是以长期经验为依据的历史发展结果。此过程分为4个阶段：（1）“多少”概念的形成。（2）对应关系的建立与集合间等数性的发现。（3）对自然数“后继性”的认识。（4）科学技术法的确立。零的认识“0”产生于其它整数之后，它的产生不是表示“无”，而是为了填补十进制计数法的空位，使十进制计数法得到完善。纵观所有的国家，都没有产生表示“无”的数来，是因为人们并不把“无”作为一个数量特征来对待。零的作用（1）是一个概念，表示一无所有。（2）在位值计数法中是空位。（3）是一个数，可以参

2、与计算。（4）是标度的起点或分界，如数轴上的零，气温的零度。零的历史 零从占位符到一个数的认识这种观念引发了全球很多思想家的想象。（1）首先是巴比伦人设计出表示某个位数不存在的符号，但巴比伦人没有发明零，顶多留出空位，不表示一个数。（2）印度人对零的最大贡献是承认它不仅是一个数，而且还是空位或一无所有，该思想在公元前3世纪出现。（3）欧洲人对零的认识较晚，是由航海家们将婆罗摩及多及其同行的著作带到欧洲而得到传播的。（4）公元879年，零的写法几乎与我们现在的写法相同，是一个椭圆。分数 分数是在自然数之后产生的，最初出现的是单分数。古埃及早在公元前1700多年前，已经对单分数有了完整的认识。完整

3、的分数概念是建立在整数之比基础上的，它产生于整数的除法之中。在12世纪出现分数线，后来由斐波那契著算盘书介绍阿拉伯数学，把分数线一起介绍到欧洲。小数 小数，即不带分母的十进分数，完整称呼是十进小数。小数的出现标志着十进制计数法从整数扩展到了分数，使分数与整数在形式上获得了统一。小数的产生有两个前提：（1）十进计数法的使用。（2）分数概念的完善。我国对分数的认识 中国很早就有合理的分数表示法。在筹算中，除法本身就包含了分数的表示法。在九章算术的“方田章”中，就有约分、通分、合分（分数的加法）、减分（分数的减法）、乘分（分数的乘法）、经分（分数的除法）、课分（分数大小的比较）、平分（求分数的平均数

4、）等分数的运算法则。九章算术是世界上最早系统叙述分数的著作，比欧洲早1400余年。我国对小数的认识 在公元3世纪，刘徽在给九章算术作注时，处理平方根的问题时提出了十进分数，是世界上最早的。“凡开积为方，求其徽数，徽数无名者，以为分子，其一退十为母，其在退以百为母，退之弥下，其分弥细，”。此话含十进分数的三层意思：（1）在求一个数的平方根时，如开不尽可继续开方，求其“徽数”，及整数以下小数部分的统称。（2）“徽数”的表示法有两种，一是署名，用比整数单位更小的单位名称表示，二是以十进分数表示。（3）十进分数的表示法具有无限性。 我国十进小数的表示法直接影响了印度。欧洲关于十进小数的最大贡献者是荷兰

5、工程师斯台文，是在制造利息表时体会到十进小数的优越性，竭立主张把十进小数引到算术中。小数的现代记法由德国的克拉维斯在1608年的著作代数学中公诸于世。负数 人们在生活和生产实践中经常会遇到相反意义的量，比如，在记帐时有盈亏，在计算粮仓存米时，有时要记进粮食，有时要记出粮食。为了方便人们就考虑了用相反意义的数来表示，于是就引入了正负数的概念。人们习惯上把“赢利、买进、收入、上升、零上温度”等规定为正，而把“亏损、卖出、支出、下降、零下温度”等规定为负。我国对负数的认识 正数和负数这一对概念在我国沿用至今已有两千多年，它是我国数学家对人类数学发展的重要贡献之一。在公元100年时，我国的九章算术中明

6、确提出了负数的概念，以及正负数的运算，并在算筹中用红色表示正数，用黑色表示负数。用不同颜色表示正负数的习惯，一直保留到现在。负数的产生，是中算算法思维的产物。在九章算术“方程术”中，使用遍乘直除法，会遇到减数大于被减数的情形，自然引入了负数。国外对负数的认识 负数在国外得到认识和承认，比中国要晚得多。在印度，数学家婆罗摩及多于公元628年才认识负数可以是二次方程的根，而欧洲在14世纪最有成就的法国数学家丘凯把负数说成是荒谬的数。直到17世纪荷兰人日拉尔才首先认识和解决几何问题。与中国古代数学家不同，西方数学家更多研究负数存在的合理性。 负数的产生是解方程的需要，是中算算法思维的产物。如果说中国

7、、印度数学家为负数的引出作出了贡献的话，那在数学上给负数应有的地位是欧洲数学家，主要的有德国数学家魏尔斯特拉斯、戴德金、皮亚诺。无理数的产生 公元前500年，毕达哥拉斯的弟子希帕苏斯发现了一个惊人的事实，一个正方形的边与对角线的长度是不可公度的。这一发现与毕氏学派“万物皆数”的哲理大相径庭，这就使该学派首脑惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希帕苏斯因此被囚禁，最后甚至遭到沉舟身亡的惩罚。 不可公度的本质是什么？长期以来众说纷纭，两个不可公度量的比值也一直被认为是不可理喻的数。15世纪意大利艺术家达芬奇称之为“无理的数”。17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状的数”。人类对无理数的认

8、识在数学史上具有特别重要的意义，它在希腊数学史上引起了一场大风波，史称“第一次数学危机”。 大约在公元前370年，希腊数学家欧多克斯建立起一套完整的比例理论，可以避开无理数这一逻辑上的陷阱，并保留住以往几何中的一些结论，从而暂时解决了由无理数的出现引起的数学危机。但他借助于几何方法避免直接出现无理数而实现的，这就生硬地把数与形肢解开来。无理数只以几何量的形式在几何中是允许的、合法的，在代数中就是非法的、不合逻辑的，即无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。直到18世纪，当数学家证明了一些基本的数如圆周率是无理数时，承认无理数的学者才多起来。直到19世纪下半叶实数理论建立以后

9、，无理数的本质才彻底搞清，从而圆满解决了第一次数学危机。第一次数学危机的冲击 第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击，也引起了古希腊人数学观念的更新，造成两方面的冲击：（1）直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的。从此希腊人由重视计算转向重视逻辑和推理，并在亚里士多德手中完成了古典逻辑学。（2）由于有理数不能包括一切几何量，但几何量可以表示一切数，从而希腊人认为几何比算术有着更重要的地位。整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份提高了，并由此建立了几何公理体系。复数 复数起源于求解方程。中学教科书中以在实数集中无解为例引入虚数，这让学生产生误解，认为虚数是这样产生的。实际上，16世纪的二

10、次方程如果没有实根就说它无解，根本不存在研究这种没有意义的实际解答。但当讨论三次方程时，遇到了不可回避的问题，实根必须通过这种虚数来表示。16世纪意大利学者卡当在重要的艺术一书中，公布了三次方程的一般解法即卡当公式，是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家。 人们对虚数的认识在数学界引起一片困惑。德国数学家莱布尼兹曾说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的避难所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物。”瑞士数学家欧拉曾说：“对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”然而，真理性的东西一定可以经得起时间和空间的考验，经过许多数学家的

11、努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵虚数揭去了神秘面纱。 在复数发展过程中，作出重要贡献的数学家有：（1）法国数学家笛卡尔在几何学中使“虚的数”与“实的数”相对应，提出虚数这一名称，从此虚数才流传开来。（2）法国数学家棣莫佛在1730年发现著名的棣莫佛定理：（3）瑞士的欧拉在1748年发现著名的欧拉公式，第一次用i表示1的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位。（4）德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，虚数能用复平面上的点来表示，建立了复平面，后来又称“阿甘得平面”。（5）德国数学家高斯在1831年用实数组（a,b)代表复数a+bi，并建立了复数的运算，第一次提出复数这个名词。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作一个向量，并利用复数与向量间的一一对应关系阐明了复数的几何加法与乘法，至此复数理论才比较完整和系统地建立起来了。四元数 由于复数能用来表示和研究平面上的向量，而向量在物理学中很重要，如力，速度等。但数学家不久就发现，复数的利用是受限制的。如几个不在同一面上的力作用于同一物体时，就需要复数的一个三维类似物。对复数的类似推广作出