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文档简介

1、微积分小结（习题课）微积分最基础的概念是极限。微积分的主要内容有微分、积分和无量级数，它们的定义都来自于极限，见如下表示 因此极限是最基础概念 一、极限 我们主要是直观地理解极限的定义和学会简单的极限求法，附带的认识函数的连续性。 例1. 求解 原式为 型极限问题。 原式= 例2 函数 则k=（ ）解：根据连续的定义， 在x=0处连续， 而 而 时函数在x=0处连续。二、导数微分 本章的主要内容是导数定义和几何意义，导数的基本计算及导数对图象描绘。 导数定义为函数增量与自变量增量比值的极限。即 几何意义即为切线斜率。因此可以由函数求导数再求切法线方程。 例3 讨论函数在x=0处的可导性，若可导

2、求 解 x=0是分段点，讨论可导性必须用导数定义，又由于是左右分段的函数，所以必须用定义讨论左、右导数。 （ ） 所以 f 在x=0 ，左右导数存在，但不相等，因此，在x=0不可导。 注意， 与 是不同的概念， 表示是f(x)在x=0处的右导数， 表示是导函数 在x=0处的右极限如上题中 = 0 在x0时 不存在 （ 但 不存在） 例4 已知 （1）求dy （2）求曲线y=y(x)在（1,0）处的切线方程解： 等式两边对x求导 切线方程 即 三、导数应用 着重用导数描绘函数的单调性，凹凸性极值点及拐点，事实上，若为切线的斜角 单调性为驻点 极值点为函数增减的分界点。 凹凸性拐点为函数凹凸的分界点。 例5 讨论函数 的定义域，间断点单调区间，凹凸区间，极值点和拐点，并作出图象草图。解 的定义域，x=0为无穷间断。，一阶驻点x=1，二阶驻点 将增减凹凸等列表如下 x0(0,1)1y/0y0/y拐点/极小所以 ， 为递减区间 为递增区间 为上凹区间， 为下凹（凸）区间 在x=1时，y=3

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