经济学第2章谓词逻辑课件

1、 第2章 谓词逻辑 Predicate Calculus2022/7/271裘国永本章内容及教学要点2.1 基本概念教学内容：个体，谓词，全称量词，存在量词2022/7/272裘国永2.2 谓词公式与翻译教学内容：谓词公式，谓词逻辑符号化2022/7/273裘国永2.3 自由变元与约束变元教学内容：自由变元，自由出现，约束变元，约束出现，辖域，闭式，换名规则，代入规则2022/7/274裘国永2.4 谓词公式的解释与分类教学内容：谓词公式的解释2022/7/275裘国永2.5 谓词演算的等价式与蕴涵式教学内容：等价式，蕴涵式2022/7/276裘国永2.6 谓词演算中的公式范式教学内容：前束范

2、式，柯林斯范式2022/7/277裘国永2.7 谓词演算的推理理论教学内容：全称量词消去规则，存在量词消去规则，全称量词引入规则，存在量词引入规则，谓词演算的推理2022/7/278裘国永2022/7/279裘国永2022/7/2710裘国永2.1 基本概念2022/7/2711裘国永个体、谓词和命题的谓词形式注 个体可以是具体的事物，也可是抽象的概念。如张三、北京、计算机、大学生、精神等。定义2.1 在原子命题中，所描述的对象称为个体(Individual)；用以刻画个体的性质或个体间关系的词称为谓词(Predicate)。例 (1) 张三是大学生。 (2) 3大于5。 个体：“张三”、“3

3、”、“5” 谓词：“是大学生”(刻画个体“张三”的性质) “大于”(刻画个体“3”和“5”间的关系)2022/7/2712裘国永 有了个体和谓词的概念之后，可以进一步刻画命题的内在结构和命题之间的关系。例如，“张三是大学生”和“李四是大学生”之间的关系是无法表达的，现在可用谓词“是大学生”及个体“张三”、“李四”刻画。2022/7/2713裘国永定义2.2 表示具体或特定个体的词称为个体常元，用小写字母a、b等表示。表示抽象或泛指个体的词称为个体变元，用x、y等表示。 定义2.3 表示具体性质或关系的谓词称为谓词常元，表示抽象或泛指的性质或关系的谓词称为谓词变元。谓词常元或谓词变元都用大写字母

4、P、Q等表示。例2.1 (1) x是大学生。x是个体变元。 (2) 3与5具有关系F。 F是谓词变元。 2022/7/2714裘国永定义2.4 一个原子命题用一个谓词(如P)和n个有序个体常元(如a1,a2,an)表示成P(a1,a2,an)，称为该原子命题的谓词形式。若x1,x2,xn为个体变元，称P(x1,x2,xn)为n元谓词或n元命题函数。 一般而言，一元谓词表达了个体的性质，而n元谓词表达了n个个体之间的关系。2022/7/2715裘国永 n元谓词不是命题。只有当个体变元用特定的个体替代时，才成为一个命题。但个体变元的取值范围，对命题的真值极有影响。例2.2 F(x)表示x是大学生。

5、当取值范围限定为某大学的全体学生时，F(x)是真的，但当取值范围限定为某中学的所有学生时，则F(x)是假的。因此，在谓词逻辑中，我们要指定个体的取值范围。2022/7/2716裘国永定义2.5 个体的取值范围称为个体域或论域(Domain)；所有个体的取值范围称为全总个体域(Universal domain)。注 如果没有特别说明，个体的取值范围总是全总个体域。当给定个体域D后，个体常元就是D中的一个特定元素，个体变元则可以取D中任一个元素。 2022/7/2717裘国永例2.3 将下列命题符号化： (1) 张三和李四都是三好学生。 (2) 赵斌是象棋迷或围棋迷。 (3) 李林比张强高。 (4

6、) 如果你不出去，我就不进来。2022/7/2718裘国永解 (1) S(a)S(b)，其中S(x)：x是三好学生，a：张三，b：李四。(2) Q(a)R(a)，其中，Q(x)：x是象棋迷，R(x)：x是围棋迷，a：赵斌。(3) T(a,b)，其中，T(x,y)：x比y高，a：李林，b：张强。(4) F(a)G(b)，其中，F(x)：x出去，G(x)：x进来，a：你，b：我。2022/7/2719裘国永有了个体和谓词的概念之后，对有些命题仍然不能准确的符号化，如“所有人都是要死的”。原因是还缺少表示个体数量关系的词。下面我们再引入量词的概念。2022/7/2720裘国永量词定义2.6 符号x表

7、示“所有的x”、“每一个x”和“任意一个x”等词语，称x为全称量词(Universal quantifier)；符号x表示“对某一个x”、“至少存在某个x”和“存在某个x”等词语，称x为存在量词(Existential quantifier)。以上的x称为指导变元(Leading variable)。全称量词和存在量词统称为量词(Quantifier)。2022/7/2721裘国永例2.4 用谓词和量词将下列命题符号化： (1) 所有的人都是要死的。 (2) 每个自然数都是实数。 (3) 一些大学生有远大的理想。 (4) 有的学生选修了AI课。2022/7/2722裘国永解 (1) (x)(S

8、(x)L(x)，其中S(x): x是人，L(x): x是要死的。 (2) (x)(N(x)R(x)，其中N(x): x是自然数，R(x): x是实数。2022/7/2723裘国永 (3) (x)(P(x)Q(x)，其中，P(x): x是大学生，Q(x): x有远大理想。 (4) (x)(F(x)T(x)，其中F(x): x是学生，T(x): x选修了AI课。2022/7/2724裘国永注 在上述例子中，个体域都默认为全总个体域。但如果指定一个特定的个体域，则其符号化结果将会有所不同。2022/7/2725裘国永例2.4 用谓词和量词将下列命题符号化： (1) 所有的人都是要死的。 (2) 每个

9、自然数都是实数。 (3) 一些大学生有远大的理想。 (4) 有的学生选修了AI课。2022/7/2726裘国永解 (1) (x)L(x)，其中L(x): x是要死的，个体域D: 全体人。 (2) (x)R(x)，其中R(x): x是实数，个体域D: 全体自然数。2022/7/2727裘国永 (3) (x)Q(x)，其中Q(x): x有远大理想，个体域D: 全体大学生。 (4) (x)T(x)，其中F(x): x是学生，T(x): x选修了AI课，个体域D: 全体学生。 2022/7/2728裘国永 当个体域是全总个体域时，需要引进所谓的特性谓词来限制个体变元的取值范围，如上题中的S(x)、N(

10、x)、P(x)、F(x)都是。在命题符号化时，一定要正确的使用特性谓词。 当引入特性谓词时，全称量词后跟的是条件式，(x)(S(x)L(x)。存在量词后跟的是合取式，如(x)(P(x)Q(x) 。2022/7/2729裘国永注 (1) 在不同的个体域内，同一命题的符号化形式可能不同，也可能相同。 (2) 同一公式，在不同的个体域中的真值可能不同，也可能相同。 (3) P(x)不是命题，但前面加上量词后，xP(x)和xP(x)在给定个体域内就有了真假，才成为命题。2022/7/2730裘国永Assignments（作业） 2022/7/2731裘国永2.2 谓词公式与翻译2022/7/2732裘

11、国永谓词公式n元谓词P(x1,x2,xn)称为谓词演算的原子公式，其中x1,x2,xn是个体变元。2022/7/2733裘国永定义2.7 谓词公式的递归定义如下：(1) 原子公式是谓词公式；(2) 若A和B是谓词公式，则A、AB、AB、AB和AB是谓词公式；(3) 若A是谓词公式，x是个体变元，则(x)A和(x)A都是谓词公式；(4) 只有有限次使用(1)、(2)和(3)规则形成的有意义的符号串才是谓词公式。 谓词公式也称为合式公式。2022/7/2734裘国永谓词公式中的某些括号也可以省略，其规定与命题公式相同，但量词后若有括号则不能省略。特别地，命题公式也是谓词公式，因此命题逻辑包含在谓词

12、逻辑中。2022/7/2735裘国永谓词逻辑的翻译 把一个用自然语言表示的命题，用谓词公式表示出来，称为谓词逻辑的翻译或符号化。2022/7/2736裘国永例2.5 用谓词和量词将下列命题符号化： (1) 每一个有理数都是实数。 (2) 尽管有些人聪明，但并不是所有的人都聪明。 (3) 没有最大的自然数。 (4) 今天有雨雪，有些人会跌跤。2022/7/2737裘国永解 (1) x(H(x)M(x)，其中H(x): x是有理数，M(x): x是实数。(3) x(N(x)y(N(y)G(y,x)，其中N(x)：x是自然数，G(x,y)：x大于y。(2) x(P(x)Q(x)(x(P(x)Q(x)

13、，其中P(x)：x是人，Q(x)：x聪明。(4) RSx(M(x)F(x)，其中R：今天有雨，S：今天有雪，M(x)：x是人，F(x)：x跌跤。2022/7/2738裘国永注 在进行谓词公式的翻译时，一定要注意不要遗漏量词。当有多个量词出现时，注意它们的顺序。 2022/7/2739裘国永例如，谓词E(x,y,z): x+y=z，个体域D: 全体整数。请比较下列命题的含义： xyzE(x,y,z)，yx zE(x,y,z) xyzE(x,y,z)， zxyE(x,y,z) xyzE(x,y,z)， yzzE(x,y,z)2022/7/2740裘国永Assignments（作业） 2022/7/

14、2741裘国永2.3 自由变元与约束变元2022/7/2742裘国永自由变元和约束变元 定义2.8 在一个谓词公式中，形如xA(x)或xA(x)的部分称为公式的x约束部分，A(x)称为量词x或x的辖域或作用域(Scope)，x称为指导变元或作用变元。x在公式的x约束部分的任一出现都称为x的约束出现(Bounded occurrence)，x称为约束变元(Bounded variable)， 若x的出现不是约束出现，称x为自由出现(Free occurrence)，x称为自由变元(Free variable)。2022/7/2743裘国永注 判断量词的辖域要看其后是否跟的是括号，如是括号，则括号

15、内的子公式为其辖域，否则量词邻接的子公式是其辖域。2022/7/2744裘国永例2.6 指出下列谓词公式中量词的辖域及变元的约束情况： (1) x(P(x)yQ(x,y)。 (2) xy(P(x,y)Q(y,z)xR(x,y)。 (3) (x)(P(x)xQ(x,z)yR(x,y)Q(x,y)。2022/7/2745裘国永解 (1) x的辖域是(P(x)yQ(x,y)，y的辖域是Q(x,y)。x、y都是约束变元。 (2) x的辖域是y(P(x,y)Q(y,z)，y的辖域是P(x,y)Q(y,z)，x和y为约束变元，z为自由变元。x的辖域是R(x,y)，x为约束变元，y为自由变元。在整个公式中，

16、x是约束出现，y既是约束出现也是自由出现，z是自由出现。2022/7/2746裘国永 (3) x的辖域是P(x)xQ(x,z)yR(x, y)，x的辖域是Q(x,z)，y的辖域是R(x,y)，x和y都是约束变元，z是自由变元，但Q(x,z)中的x是受x的约束，而不是受x的约束。Q(x,y)中的x和y都是自由变元。2022/7/2747裘国永定义2.9 任一谓词公式A，若A中无自由出现的个体变元，称A是封闭的谓词公式，简称闭式。 例如，x(P(x)Q(x)和xy(P(x)Q(x, y)都是闭式，但x(P(x)Q(x,y)不是闭式。 2022/7/2748裘国永在谓词公式中，自由变元虽然可以出现在

17、量词的辖域中，但它不受相应量词中指导变元的约束。另一方面，在谓词公式中，一个个体变元可以既是约束变元，也是自由变元。为了避免一个变元既是约束变元又是自由变元引起的混乱，可以对约束变元或自由变元进行改名，使得一个变元在一个公式中只呈现一种形式。 2022/7/2749裘国永换名规则: 将量词辖域中某个约束出现的个体变元及相应指导变元，改成本辖域中未曾出现过的个体变元，其余不变。代入规则: 对某个自由出现的个体变元用与原公式中和所有个体变元不同的个体变元代入，且处处代入。注 换名规则用于约束变元，代入规则用于自由变元。2022/7/2750裘国永例2.7 将(x)(P(x)Q(x,y)R(x,y)

18、中的约束变元改名。解 可改名为(z)(P(z)Q(z,y)R(x,y)，但不能改名为(y)(P(y)Q(y,y)R(x,y)或(z)(P(z)Q(x,y)R(x,y)。因为后两种更改都将使公式中量词的约束范围有所变动。2022/7/2751裘国永例2.8 将(x)(P(x)xQ(x,z)yR(x,y)Q(x,y)中的约束变元改名。解 可改名为(u)(P(u)vQ(v,z)wR(u,w)Q(x,y)，但不能改名为(z)(P(z)xQ(x,z)yR(z,y)Q(x,y)或(x)(P(x)zQ(z,z)yR(x,y)Q(x,y)，因为后两种更改都将使公式中量词的约束范围有所变动。2022/7/275

19、2裘国永例2.9 将(x)(P(x)Q(x,y)R(x,y)中的自由变元改名。解 对自由变元x施行代入，经代入后公式为：(x)(P(x)Q(x,y)R(z,y)，但不能是(x)(P(x)Q(x,y)R(y,y)，因为后一种代入与代入规则不符。2022/7/2753裘国永Assignments（作业） 2022/7/2754裘国永2.4 谓词公式的解释与分类2022/7/2755裘国永谓词公式的解释 谓词公式一般不是一个命题，它往往包含若干个体变元、常元、函数和谓词，要使它成为一个命题，除了要为每个个体变元指定个体域以外，还需要对这些符号进行解释。定义2.10 谓词公式的一个解释I(或赋值，In

20、terpretation)由四部分组成： 非空个体域D； D中一些特定的元素； D上一些特定的函数； D上一些特定的谓词。 2022/7/2756裘国永 例2.10 给定解释I如下： (1) 个体域为自然数集N。 (2) N中特定的元素a=0。 (3) N上特定的函数f(x,y)=x+y，g(x,y)=xy。 (4) N中特定的谓词F(x,y)为x=y。 2022/7/2757裘国永 在解释I下，求下列公式的真值： (1) xF(g(x,a),x)。 (2) xy(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x)。 (3) xyzF(f(x,y),z)。 (4) xyF(f(x,y),g(x,y)

21、。 (5) F(f(x,y),f(y,z)。 解 (1) xF(g(x,a),x) xF(ax,x) x(ax=x) x(x=0) F。 2022/7/2758裘国永(2) xy(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x) xy(f(x,a)=y)(f(y,a)=x) xy(a+x=y)(a+y=x) xy(x=y)(y=x) T。(3) xyzF(f(x,y),z) xyz(f(x,y)=z) xyz(x+y=z) T。2022/7/2759裘国永(4) xyF(f(x,y),g(x,y) xy(f(x,y)=g(x,y) xy(x+y=xy) F。(5) F(f(x,y),f(y,z)

22、x+y=y+z x=z。 由于(5)的真值不确定，因而它不是命题。2022/7/2760裘国永谓词公式的逻辑有效式定义2.11 设A是一谓词公式，如A在任何解释下都是真的，称A为永真式或逻辑有效式；如A在任何解释下都是假的，称A为矛盾式；若至少存在一个解释使A为真，称A是可满足式。2022/7/2761裘国永Assignments（作业） 2022/7/2762裘国永2.5 谓词演算的等价式与蕴涵式2022/7/2763裘国永等价式定义2.12 设A和B是谓词公式，若AB为逻辑有效式，则称A和B是等价的，记为AB。 2022/7/2764裘国永 下面给出一些常见的基本谓词公式等价式。若个体域为

23、a1,a2,an，则有下式成立： (1) xA(x) A(a1)A(a2)A(an)。 (2) xA(x) A(a1)A(a2)A(an)。2022/7/2765裘国永例2.11 求下列各式的真值： (1) x(P(x)Q(x)，其中P(x)：x=1，Q(x)：x=2，个体域1,2。 (2) x(PQ(x)R(a)，P：3-2，Q(x)：x3，R(x)：x5，a：3，个体域-2,3,5,6。 (3) x(P(x)Q(x)T，P(x)：x1，Q(x)：x=1，T任意永真式，个体域1。 (4) xy(x+y=4)，个体域为1,2。2022/7/2766裘国永解 (1) x(P(x)Q(x) (P(

24、1)Q(1)(P(2)Q(2) (TF)(FT) T。(2) x(PQ(x)R(a) (PQ(-2)(PQ(3)(PQ(5) (PQ(6)R(a) (TTFF)F F。2022/7/2767裘国永(3) x(P(x)Q(x)T x(P(x)Q(x) P(1)Q(1) T。(4) xy(x+y=4) x(x+1=4)(x2=4) (1+1=4)(1+2=4)(2+1=4) (2+2=4) F。2022/7/2768裘国永定理2.2 量词否定的等价式设A(x)是一个含个体变元x的谓词公式，则下列等价式成立： (1) (xA(x) x(A(x)。 (2) (xA(x) x(A(x)。2022/7/2

25、769裘国永证明 (1) (xA(x)为真 xA(x)为假 a使A(a)为假 a使A(a)为真 x(A(x)为真，故(xA(x) x(A(x)。 (2) x(A(x)为假 a使A(a)为假 a使A(a)为真 xA(x)为真 (xA(x)为假，故(xA(x) x(A(x)。2022/7/2770裘国永定理2.2 量词辖域收缩和扩张的等价式设A(x)是一个含个体变元x的谓词公式，B是一个不含个体变元x的谓词公式，则下列等价式成立：(1) x(A(x)B) xA(x)B。(2) x(A(x)B) xA(x)B。(3) x(A(x)B) xA(x)B。2022/7/2771裘国永(8) x(BA(x)

26、 BxA(x)。(4) x(BA(x) BxA(x)。(5) x(A(x)B) xA(x)B。(6) x(A(x)B) xA(x)B。(7) x(A(x)B) xA(x)B。2022/7/2772裘国永定理2.3 量词分配的等价式。设A(x)和B(x)都是含个体变元x的谓词公式，则下列等价式成立： (1) x(A(x)B(x) xA(x)xB(x)。 (2) x(A(x)B(x) xA(x)xB(x)。2022/7/2773裘国永定理2.4 设A(x,y)是含个体变元x和y的谓词公式，则下列等价式成立： (1) (x)(y)A(x,y) (y)(x)A(x,y)。 (2) (x)(y)A(x,

27、y) (y)(x)A(x,y)。2022/7/2774裘国永例2.12 证明 x(A(x)B(x) xA(x)xB(x)。证明 x(A(x)B(x) x(A(x)B(x) xA(x)xB(x) xA(x)xB(x) xA(x)xB(x)。2022/7/2775裘国永蕴含式定义2.13 设A和B是两个谓词公式，若AB为逻辑有效式，则称A蕴涵B，记为AB，称AB为蕴涵式。定理2.5 设A(x)和B(x)都是含个体变元x的谓词公式，则下列蕴含式成立： (1) xA(x)xB(x) x(A(x)B(x)。 (2) x(A(x)B(x) xA(x)xB(x)。 (3) x(A(x)B(x) xA(x)x

28、B(x)。 (4) x(A(x)B(x) xA(x)xB(x)。2022/7/2776裘国永例2.13 证明 xA(x)xB(x) x(A(x)B(x)。 x(A(x)B(x)证明 xA(x)xB(x) xA(x)xB(x) xA(x)xB(x) x(A(x)B(x)。 2022/7/2777裘国永定理2.6 设A(x,y)都是含个体变元x和y的谓词公式，则下列蕴含式成立：(1) (x)(y)A(x,y) xA(x,x)。(2) xA(x,x) (x)(y)A(x,y)。(3) (x)(y)A(x,y) (y)(x)A(x,y)。(4) (x)(y)A(x,y) (y)(x)A(x,y)。(5

29、) (x)(y)A(x,y) (y)(x)A(x,y)。2022/7/2778裘国永例2.14 下列断言是否为真，为什么？ (1) xP(x)xQ(x) x(P(x)Q(x)。 (2) x(P(x)Q(x) xP(x)xQ(x)。解 (1)、(2)不成立。 (1) 设个体域为1,2，令P(x)：x=1，Q(x)：x=2， 则xP(x)xQ(x) (P(1)P(2) (Q(1)Q(2) T ， x(P(x)Q(x) (P(1)Q(1) (P(2)Q(2) F， 所以，该断言假。2022/7/2779裘国永(2) 设个体域为1,2，令P(x)：x=2，Q(x)：x=2， x(P(x)Q(x) (P

30、(1)Q(1) (P(2)Q(2) T ， xP(x)xQ(x) (P(1)P(2) (Q(1)Q(2) F， 所以，该断言假。2022/7/2780裘国永Assignments（作业） 2022/7/2781裘国永2.6 谓词演算中的公式范式2022/7/2782裘国永 例如，x(A(x)B(x)为前束范式， 而xA(x)xB(x)不是前束范式。前束范式 定义2.14 设A是谓词公式，如A具有形式(Q1x1)(Q2x2)(Qkxk)B，其中Qi为或，B为不含量词的公式，则称A为前束范式(Prenex normal form)。2022/7/2783裘国永定义2.15 设A是具有形式为(Q1x

31、1)(Q2x2)(Qkxk)B的前束范式，若B为合取范式，则称A为前束合取范式，若B为析取范式，则称A为前束析取范式。 定理2.7 任何谓词公式的前束范式都存在。2022/7/2784裘国永 (1) 消去除、以外的联结词； (2) 消去； (3) 使移至量词之后； (4) 用到换名规则和代入规则使公式中所有变元； (5) 扩大量词的辖域至整个公式之末。求一个谓词公式的前束范式的过程:2022/7/2785裘国永斯柯林范式 定义2.16 若B是A的前束范式且每个存在量词均在全称量词之前，则称B是A的斯柯林范式(Skolem normal form)。2022/7/2786裘国永2.7 谓词演算的

32、推理理论 2022/7/2787裘国永谓词演算的推理形式仍然为H1,H2,Hk C，其中H1,H2,Hk和C为谓词公式。但谓词演算的推理较命题逻辑的推理复杂的多。命题逻辑中的所有推理规则和推理定律在谓词演算中都适用。另外还有谓词演算特有的推理规则。2022/7/2788裘国永全称量词消去规则(US,Universal Specification) xA(x) A(y)xA(x) A(c)两式成立的条件是： x是A(x)中自由出现的个体变元； y为任意的不在A(x)中约束出现的个体变元； c为任意的个体常元。 注 在使用中，如果不注意条件是会犯错误的。2022/7/2789裘国永例如，在实数集上

33、取F(x,y)为xy，则公式xyF(x,y)为真命题。若A(x)表示yF(x,y)，则x在A(x)中是自由出现的是满足的，而y在A(x)中是约束出现的。若y取代x，得xyF(x,y) yF(y,y)，即有“存在y，yy”，这是假命题。出错的原因是违背了条件。2022/7/2790裘国永全称量词引入规则(UG,Universal Generalization)A(y) xA(x)上式成立的条件是： y是A(y)中自由出现的个体变元，且y取任何值A均为真； 取代y的x不能在A(y)中约束出现。2022/7/2791裘国永在实数集上取F(x,y)为xy，若A(y)表示xF(x,y)，则对任意的y，A

34、(y)均为真命题。若x取代y，得xx(xx)，这是假命题。出错的原因是违背了条件。2022/7/2792裘国永存在量词引入规则(EG,Existential Generalization)A(c) xA(x)上式成立的条件是： c是特定的个体常元； 取代c的x不能在A(c)中出现过。2022/7/2793裘国永在实数集上取F(x,y)为xy，若A(2)表示xF(x,2)，则A(2)为真命题，x已在A(2)中出现过。若x取代2，得x(xx)，这是假命题。出错的原因是违背了条件。2022/7/2794裘国永存在量词消去规则(ES,Existential Specification)xA(x) A(

35、c)上式成立的条件是： c是使A为真的特定的个体常元； c不曾在A(x)中出现过； A(x)中除x外还有其他自由出现的个体变元时，不能用此规则。2022/7/2795裘国永在实数集上取F(x,y)为xy，若A(x)表示F(x,2)，则xA(x)为真命题，2已在A(x)中出现过。若2取代x，得22，这是假命题。出错的原因是违背了条件。 2022/7/2796裘国永谓词演算中推理的一般过程是：先把带量词前提中的量词去掉，变为命题逻辑的推理，推出结果后，再把量词附加上去，得出谓词逻辑的结论。为了避免出现错误，需要注意以下两点：(1) US、UG、ES、EG四个规则仅对谓词公式的前束范式适用。(2)

36、要弄清去掉量词后，个体c是特定的还是任意的。有全称量词的前提和存在量词的前提，最好先引入存在量词的前提。2022/7/2797裘国永(4) G(s)例2.15 证明苏格拉底三段论。(1) x(F(x)G(x) (2) F(s)G(s)(3) F(s)假言推理，(2),(3)前提引入 US，(1) 前提引入 证明 设F(x)：x是人，G(x)：x是要死的，s：苏格拉底，命题符号化为：x(F(x)G(x)，F(s) G(s)。2022/7/2798裘国永(3) x(H(x)M(x)例2.16 证明 x(H(x)M(x)，xH(x) xM(x)。证明 (1) xH(x) (2) H(c)前提引入 ES，(1)前提引入(4) H(c)M(c) US，(3)(5) M(c)假言推理，(2)，(4)(6) xM(x) EG，(5)2022/7/2799裘国永 例2.17 证明 x(P(x)Q(x) xP(x)xQ(x)。证明 (1) x(P(x)Q(x)(2) P(c)Q(c)(3) xP(x)前提引入 U