现代控制理论课件

1、控制系统分析与设计的状态空间方法1基础部分（涉及第二、三、七章）自动控制原理（现代控制理论）1 经典控制理论的特点图形方法为主，物理概念强，直观简便，实用性强控制结构简单，设定和调整参数少，且调整方针明确以简单的控制结构获取相对满意的性能 主要缺点：需反复“试凑”，控制结构及性能一般不是最优仅适用于单变量（SISO）线性定常系统，一般不能用于多变量系统、时变系统或非线性系统只考虑系统输入与输出的关系,不涉及系统的内部状态2 现代控制理论（状态空间方法）的特点统一表达和处理单、多变量系统，可以分析时变系统和非线性系统；核心是状态变量的能控性、能观性；通常寻求最优控制性能；重要成果有极点配置、状态

2、观测器、最佳调节器、最优控制等。 主要缺点：对模型精度要求高，对模型误差及未知扰动的鲁棒性较差；状态反馈难以直接实现，而采用状态观测器使控制结构复杂、 性能变差。3状态空间方法的主要内容线性系统状态空间描述 数学模型（2章）线性变换与对角规范型 模型的结构化简（3、7章）状态空间描述下的运动分析 分析的基础（3章）李雅普诺夫稳定性理论 稳定性分析（自学）状态可控性和可观性 核心内容（7章）状态空间描述下系统的结构分析 可控或可观状态变量的划分（自学）状态反馈和极点配置、最优控制、状态观测器设计 理论应用 （8章）主要讲SISO线性定常系统4状态变量：完全描述系统行为的最小一组变量称为状态向量构

3、成n维状态空间x1x3x23维状态空间x(t0 )x(t1 )x(t )随时间变化产生状态轨迹一、线性系统的状态空间描述5例: R-L-C串联网络 （输入u，输出uc）1. 系统的状态空间表达式状态方程输出方程6由R-L-C网络的输入输出微分方程求状态变量的选择是否唯一？状态方程输出方程该方法具有一般性,可用于输入输出高阶微分方程不唯一!7同一系统不同状态变量之间的关系？前例R-L-C网络的两种状态变量为即同一系统不同状态变量之间存在线性变换关系（化简的基础）8线性系统状态空间表达式的一般形式A、B、C、D 为常数阵 定常系统A、B、C、D 含时变参数 时变系统系统u(t)y(t)9线性系统状

4、态空间模型的结构图BCAD状态空间描述的示意图状态方程输出方程102. 两种模型的相互转化由状态空间模型转化为传递函数（阵）由微分方程或传递函数转化为状态空间模型应用MATLAB进行模型之间的相互转化（自学）11系统u(t)y(t)G(s)注意！由状态空间模型转化为传递函数（阵）12由同一系统的不同状态空间表达式导出的传递函数（阵）必然相同例: R-L-C串联网络（输入u，输出y=uc）13转化的实质：寻找在外部特性上等价的状态空间表达式，使其满足输入输出微分方程或传递函数 G(s) = C(sI-A)-1B+D并称该状态空间表达式为该传递函数的一个实现。方法：直接分解法、极点分解法、结构图分

5、解法这种转换不唯一!系统u(t)y(t)G(s)U(s)Y(s)A,B,C,D（自学）由微分方程或传递函数转化为状态空间模型14例: 求3阶微分方程的状态空间表达式系统u(t)y(t)反映一般规律!15一般规律（输入端不含导数项）16即输入端含导数项时如何建立状态空间表达式？可互换17基于传递函数的直接分解法： 设 G(s) 为SISO系统系统u(t)y(t)G(s)U(s)Y(s)A,B,C,D引入中间变量 h(t)对该方程的处理类同前面！18称为（第二）可控规范形19思考：若传递函数分子分母的阶次相等如何导出状态空间模型的可控规范形？20练习B2.24(1),(2)； B2.25； B2.

6、26; B2.2721二、线性变换与对角规范形设系统的两种状态空间表达式为系统u(t)y(t)和非奇异线性变换为则有同一系统不同状态空间表达式之间的关系？22（1）线性变换不改变系统的特征值变换前后有非奇异线性变换的几个重要性质即变换前后的特征多项式相同23（2）线性变换不改变系统的传递函数变换前变换后为变换关系：24矩阵 A 的对角化（1） 矩阵A的特征值i 互异（可变换为对角形）设变换矩阵P为25变换矩阵P的计算:先求矩阵 A 的特征值i，i=1, 2, , n由 (i IA)Pi = 0 确定每一个i 所对应的特征向量 Pi ， i = 1, 2, , nP = P1 P2 Pn 若矩阵

7、A为可控规范形，则实现对角化的一个变换阵为Vandermonde矩阵，即自证26试求变换矩阵P。 解：27试求对角化变换矩阵P。 解：特征向量不唯一满足比例关系2829（2）矩阵A 有多重特征值（可变换为约当标准形）其特征值为1=2，2 =3 = 1，求将矩阵A变换为约当形的变换矩阵P。解： 设属于1的特征向量为P130P3常量不再是特征向量取p13=131三、状态空间描述下的运动分析32零输入响应零状态响应（卷积）先考虑最简单的情况331. 齐次状态方程的解模仿单变量方程的求解342. 状态转移矩阵的性质分段转移特性类似（3）求逆容易353. 状态转移矩阵的计算拉氏变换法36对角标准形法设矩

8、阵 A 的特征值相异，对角变换为37解：1）用拉氏变换法计算382）利用对角形变换法计算394. 非齐次状态方程的解4041参考前面的例42练习B3.4（1）； B3.5（1）; B3.743四、状态可控性问题：状态变量能否通过输入 u 任意改变？线性系统状态空间模型的结构图BCAD44显然，通过 u 可以控制状态变量 iL，但不能控制 uc，所以系统是不完全可控的。45虽然 u不能直接控制 uc，但可以通过控制 iL 来间接影响uc， 可以证明系统是完全可控的。46可控性定义为何不研究输出y(t)是否可控？47-u(t)R1R2C2+-+ y x1+- x2C1可以证明，R1 C1 = R2

9、 C2 时系统不可控（直观解释？）; 但 R1 C1 R2 C2 时系统完全可控。48u(t)R1R2L+- y x1+- x2C较复杂的情况：如图所示的系统是否可控？（Kalman问题）一般情况下，对于任意给定的 A、B，系统是否可控？难以直观判断！49线性定常系统的可控性判据1. 凯莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton）定理设特征多项式为50将上述结果应用于状态转移矩阵可得512. 可控性判据52结论：线性定常系统完全可控的充要条件为Qc ：可控性判别阵（充分性证明可参考胡寿松教材）53关于可控性判别阵的说明：54-u(t)R1R2C2+-+ y x1+- x2C1 R1 C1 R

10、2 C2 时 det Qc 0，Qc 满秩，系统状态完全可控；但 R1 C1 = R2 C2 时 det Qc =0， Qc 不满秩，系统状态不完全可控。重新讨论前面的例：55Kalman问题：如图所示系统是否可控？R1 R2 C L 时，Qc 满秩，系统状态完全可控；但 R1 R2 C = L 时， Qc 不满秩，系统状态不完全可控。u(t)R1R2L+- y x1+- x2C56解： rank B = 2， 简化判别阵为例：判断下列多输入系统的可控性系统不可控57五、状态可观测性问题：反馈控制需要状态信息，但 x 通常无法直接测取，能否通过输出 y 确定状态变量？线性系统状态空间模型的结构

11、图BCAD58显然，通过 y 可以确定状态变量 x1 ( iL )，但不能确定 x2 ( uc )，所以系统是不完全可观测的。59-u(t)R1R2C2+-+ y x1+- x2C1可以证明，R1 C1 = R2 C2 时系统不可观测（直观解释？）但 R1 C1 R2 C2 时系统完全可观测。60Kalman问题：如图所示系统是否可观测？u(t)R1R2L+- y x1+- x2C难以直观判断！61 对于任意给定的输入u(t) ，如果能在有限的时间区间 t0, t1内，根据输出y(t) 的量测值唯一地确定系统的初始状态x(t0) ，则称系统是可观测的。状态可观测性定义：62线性定常系统的可观测

12、性判据Qo ：可观测 性判别阵D = 0根据Cayley-Hamilton定理63结论：线性定常系统完全可观测的充要条件为说明：64-u(t)R1R2C2+-+ y x1+- x2C1R1 C1 R2 C2 可观测R1 C1 = R2 C2 不可观测重新讨论前面的例：同可控性条件65Kalman问题：如图所示系统是否可观测？u(t)R1R2L+- y x1+- x2CR1 R2 C L 可观测R1 R2 C = L 不可观测同可控性条件66注：非奇异线性变换不改变系统的可控性 和可观测性设变换关系为即变换前后的可控性判别阵同秩则变换后的可控性判别阵为可观测性的情况类似（自证）67对偶性原理68

13、六、可控性、可观测性与传递函数69可控性判别阵为显然满秩，系统状态可控。上述结论可推广到任意 n 阶系统，表达为可控标准形的系统一定是状态可控的。70可观测性判别阵为上述结论可推广到任意 n 阶系统，表达为可观测标准形的系统一定是状态可观测的。71可观测标准型的一般表达式为可控标准形的对偶实现72传递函数零极点与可控、可观性状态可控73可控标准形实现的可观测性判别阵为上述结论可推广到一般情况，系统存在零极点对消时，按可控标准形实现的系统虽然是状态可控的，但不完全可观测；没有零极点对消时则既可控又可观测。所以当系统零点与极点相同时，状态不完全可观测，反之则完全可观测。74状态可观测所以当系统存在零极点对消时，状态不完全可控，反之则完全可控。该结论可推广到一般情况。对应的可控性判别阵为按可控标准形实现的可观测性判别阵75系统极点为-1、-2、-3，有零极点对消。所以系统状态不可观测。状态可控76所以系统状态不可控。状态可观测77结论系统传递函数有零极点对消时，系统状态一定是或者不可控、