拉格朗日方程导出机电系统的运动方程解析课件

1、3. 机电系统的运动方程Motion Equation of Electro-Mechanical System1本章主要内容机电系统的物理分析机电系统运动方程的拉格朗日方程的推导（重点）3. 机电系统的运动方程建立4. 机电系统的运动方程求解 2建立机电运动方程方法和特点机电系统的方程 电路的电压平衡方程 机械系统的转矩（或力）平衡方程机电系统方程特点 电压平衡方程比静止电路多一项运动电动势项 转矩平衡方程比纯机械系统多一项电磁转矩项3建立机电运动方程的方法动态耦合电路法变分原理法4动态耦合电路法含义： 运动状态的机电系统看作动态耦合电路5动态耦合电路法基尔霍夫定律写出电路方程：电磁感应定律

2、导出运动电动势项；达朗贝尔定律写出机械方程：虚位移原理导出电磁转矩；两者联系起来构成机电系统的运动方程；6变分原理法含义： 通过能量函数的积分求极值不区别机、电系统对应量，统一用任一方物理量；使用某个特定的能量函数来建立一个普遍的方程拉格朗日方程。通过机电系统的某个特定的能量函数的积分求极值来导出运动方程。7两种方法应具有等价性应用两种方法推导的运动方程是一样的；当某一个机电系统的运动方程用一种方法导出后，便能由此推导出另外一种方法。8保守纯机械系统实例保守弹簧振子模型：力平衡方程：9保守纯机械系统实例保守弹簧振子模型：动能：位能：10保守纯机械系统实例保守弹簧振子模型：用能量函数表达力：11

3、保守纯机械系统实例保守弹簧振子模型：物理意义：惯性力仅仅与系统的动能有关弹力仅仅和系统的位能有关12保守纯机械系统实例保守弹簧振子模型：以能量函数表达力的平衡：13保守纯机械系统实例保守弹簧振子模型：能量函数（状态函数）：拉格朗日方程：14单边激励机电装置实例单边激励机电装置模型：15单边激励机电装置实例单边激励机电装置模型：电压平衡方程：16单边激励机电装置实例单边激励机电装置模型：电磁力：17单边激励机电装置实例单边激励机电装置模型：力平衡方程：18单边激励机电装置模型：各种能量表达式：轭铁动能：弹簧位能：磁场储能：磁共能：单边激励机电装置实例19单边激励机电装置模型：各种损耗函数：电阻损

4、耗函数：机械损耗函数：机电总损耗函数：单边激励机电装置实例20单边激励机电装置模型：电压的能量表达：单边激励机电装置实例21单边激励机电装置模型：力的能量表达：单边激励机电装置实例22单边激励机电装置模型：运动方程：单边激励机电装置实例23总能量：总动能总动共能总位能拉格朗日方程24定义拉格朗日函数：广义坐标和广义速度定义：广义坐标q ：x 等广义速度 ：i， 等广义驱动力Q拉格朗日方程25运动方程统一形式：拉格朗日方程26线性系统：总动能总动共能保守系统：总损耗0；广义驱动力0拉格朗日方程：拉格朗日方程27拉格朗日方程非保守系统(普遍形式)：广义惯性力广义惯性力以外的保守力保守力非保守力广义

5、阻力（损耗力）外来驱动力物理意义：系统在动力平衡时，作用在每一个广义坐标上的广义力总和028两种方法比较动态耦合电路法：关于系统微增变化的方程，以“微分原理”作为出发点；物理意义比较清楚，易于理解;对多变量的机电系统，需要有较高的见解和判断力。29两种方法比较变分原理法：步骤单一和系统化；自动地导出机电耦合项；适合于解决复杂系统的难题；缺点是难以洞察物理过程和物理意义。30广义坐标的选取动力系统：即时状态可由坐标和速度描述；每个质点或元件最多有3个自由度;广义坐标应为独立坐标;完整的约束中，广义坐标的个数为系统的自由度数。31拉格朗日方程的应用条件所有的广义坐标独立完整约束的运动系统，即自由度

6、数广义坐标的个数 只能用于真实坐标系统。32拉格朗日方程的应用条件33广义坐标的选取动力变量：广义坐标qk和广义速度 （或广义动量）电系统34拉格朗日函数系统总动共能：其中：线性情况35拉格朗日函数系统总位能：其中：线性情况36拉格朗日函数普遍形式：为广义坐标、广义速度和时间函数线性情况37用拉格朗日函数推导机电方程应用拉格朗日函数特点从能量观点处理机电双方的相互作用方法单一，过程简单自动导出机电耦合项38用拉格朗日函数推导机电方程应用拉格朗日函数步骤（1）根据系统的约束条件，选择广义坐标和广义速度；（2）确定总损耗函数F或广义损耗系数Rk，列出外来广义驱动力；（3）动力变量表示系统的总动共能

7、T和总位能V，并写出拉格朗日函数；（4）将上述结果代入拉格朗日方程，求导后可得到N个运动方程式。39建立机电运动方程举例 应用拉格朗日函数建立如图所示的机电系统的运动方程。40建立机电运动方程举例 分析问题：单边激励机电装置选择动力变量电系统：线圈电荷q为广义坐标，电流i为广义速度机械系统：动铁的位移x为广义坐标，运动速度为广义速度41建立机电运动方程举例1. 确定系统的广义变量和驱动力42建立机电运动方程举例2. 确定系统拉格朗日函数总损耗函数： 总动能： 总位能：拉格朗日函数：43建立机电运动方程举例3. 代入拉格朗日方程K=1 电系统：电系统方程：运动电动势项44建立机电运动方程举例3. 代入拉格朗日方程K=2 机械系统：机械系统方程：电磁力项45建立机电运动方程举例 1. 例3-3 单边激励机电装置 2