基础精讲概率部分讲义

1、部分随机事件及其概率第一手拿一枚硬币，松开手，硬币向下落。结果唯一种瓜得瓜，种豆得豆。确定性现象太阳每天从东方升起。概率统计的硬币落下时哪 面向上结果不唯一长豆结不确定性现象出时是否有云雾遮挡（随机现象）研究内容1.1.1 随机事件分析：投掷一枚硬币，观察结果。 此过程具备什么特点？1. 相同条件下可以重复进行；称为随机试验，用E表示2. 无法预见出现那种结果结果不唯一3. 可以预见所有可能出现的结果.正面试验的基本结果称为样本点，记作 掷硬币可能出现反面全体样本点组成的集合， 称为样本空间，记作 1.1.1 随机事件例1.1 写出下列试验的样本空间: 投掷一枚硬币，观察结果。掷一枚均匀对称的

2、骰子，观察向上一面的点数。: 记录110报警台一天的报警次数。样本点有可数无穷多个将一枚均匀的硬币投掷两次，观察内容不同样本空间也不相同.对同一个随机试验.样本空间不唯一，由观察内容决定。1.1.1 随机事件随机事件随机现象的某些样本点组成的集合。常用英文字母A，B，C表示.例如在: 掷一枚均匀对称的骰子，观察向上一面的点数。A=掷出的点数大于3B=掷出的点数为偶数统称为随机事件，简称事件基本事件几种特殊的随机事件必然事件：不可能事件 ：如F=出现的点数大于6点如D=出现的点数小于7点如C=恰好掷出4点1.1.1 随机事件及运算1. 事件的包含与相等事件B包含事件A： A发生必然导致B发生记作

3、AB规定：对任意事件A，恒有事件B与事件A相等： A记作1.1.2 事件的关系及运算2. 事件的和或并和事件：事件A和事件B至少发生其一的事件记作：AB显然：任一事件A，有 A A例如，从1，2，9中任取一数，观察结果。记A=取到的是3的倍数 =3，6，9B=取到的是2的倍数=2，4，6，8类似的可以得到n个事件的和事件：AB2, 3iA推广到可列多个事件的和事件：AB1.1.2 事件的关系及运算3. 事件的积或交积事件：事件A和事件B同时发生的事件记作：AB或 AB 显然：任一事件A，有AB AB AA例如，从1，2，9中任取一数，观察结果。记A=取到的是3的倍数 =3，6，9 B=取到的是

4、2的倍数=2，4，6，8类似的可以得到n个事件的积事件：AiA推广到可列多个事件的积事件：1.1.2 事件的关系及运算4. 事件的互斥互斥事件：事件A和事件B不能同时发生的事件.例如，从1，2，9中任取一数，观察结果。记C=取到的是3的倍数C，D为互斥事件D=取到的是4的倍数若事件组中任意两个事件均互斥，则称该事件组两两互斥例如，在同一随机试验中基本事件是两两互斥的BA1.1.2 事件的关系及运算5. 事件的互逆互逆事件： AB 且通常把A的逆事件记作也称为对立事件A B 例如，从1，2，9中任取一数，观察结果。记E=取到的数大于5E=取到的数小于等于5A1.1.2 事件的关系及运算6. 事件

5、的差差事件记作：A 事件A发生，而事件B不发生.显然有B ABA A例如，从1，2，9中任取一数，观察结果。记E=取到的数大于5F=取到的数小于8E-F=8，9BA1.1.2 事件的关系及运算7. 事件的运算规律交换律： ABBA结合律： A( B( BC )C )( A( AB )B )CC分配律： A( B( BC )C )( A( AB )B )( A( AC )C )德-律：ABABABABAA德-律的推广：ii1.1.2 事件的关系及运算例1.2设A、B、C表示3个事件，试以A、B、C的运算来表示下列运算（1）只有A发生；（2）A、B、C都发生；（3）A、B、C都不发生；（4）A、B

6、、C至少有一个发生；（5）A、B、C恰有一个发生；（6）A、B、C不全发生1.1.2 事件的关系引例 已知粉笔盒中有10根粉笔，分白色和黄色两种颜色，问任取一根为白粉笔的可能性是多少？思考：问题一：取到白粉笔的可能性确定么？粉笔盒中白粉笔的数量确定么？确定但是未知！所以取到白粉笔的可能性是确定、客观存在的，并能用数值描述.问题二：既然取到白粉笔的概率是确定的值，如何在白粉笔数量确定但未知的情况下计算？把描述事件发生的可能性大小的数量值称为概率，所以事件的概率是确定的，客观存在的数值。1.2 概率的定义定义定义 设随机事件A在n次重复试验中发生了m次，则称比值m/n为随机事件A在n次重复试验中发

7、生的频率，记做 ( A)，即频率的性质：（1）对任何事件A，0 （2） (（3）设 A1 , A2 ,An是两两互斥的事件，则( A)1.2.1 概率的统计定义试验次数不断增大0.5当试验次数n增大时， ( A) 逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率。称为统计概率。1频9率稳 9定6在附8近1.2.概率的统计定义统计概率和频率具有相同的性质：（1）对任何事件A，0 （2）P (（3）设 A1 , A2 ,An是两两互斥的事件，则P ( A)统计概率的优点：直观，适用于未知情况，如白粉笔数量未知时可用统计概率计算.统计概率的缺点： 需要进行大量重复试验，不便于实际应用；

8、统计概率不够严密，不精确，不便于理论应用.1.2.1 概率的统计定义1. 古典概型一般地，称具有下列两个特征的随机试验模型为古典概型（1）有限性：（2）等可能性：2. 概率的古典定义定义设随机试验E是P (1) P ( 2 ) P ( n ) 1 , 2 , n 1.2.1 概率的统计定义例2.1抛掷一枚均匀的，观察朝上一面的点数设事件A=出现的点数为偶数，计算P(A).分析：（1）试验是否满足古典概型（有限性，等可能性）（2）确定m和n1.2.2 概率的古典定义例2.2正面把一枚均匀的硬币连续抛掷两次设事件A=出现两个，B=出现两个相同的面，试求P(A)，思考： 若取样本空间为 （1如此计算

9、是 否正确？为什么？若取样本空间为则样本空间既满足有限性也满足等可能性。注意：对同一个随机试验样本空间并不唯一，只有当样本空间满足有限性和等可能性时才能应用古典概率计算。所以在用古典概率计算时要选择恰当的样本空间。样本空间 虽满足有限性但不满足等可能性。1.2.2 概率的古典定义例2.3一思考 A1 , A2的概率相等是否巧合？1.2.2 概率的古典定义例2.3的推广NMP(A)Nn mmCCCN MNMMP ( A )相nANCN同n m N Mn NmC m Am An mCCMnMN MP ( A ) AnCN1.2.2 概率的古典化定义1.概率的公理化定义定义是两两A1.2.3 概率的

10、公理化定义2.概率的性质是AP ( A)1.2.3 概率的公理化定义AB BA1.2.3 概率的公理化定义2.概率的性质是AP ( A)B )1.2.3 概率的公理化定义B )BB )AB( BA)B )B )推广到三个事件A,B,CBC )AB B A1.2.3 概率的公理化定义例2.4从分析：设A=三个数字中不含0，B=三个数字中不含53个数字中B易得B )1.2.3 概率的公理条件概率P ( AB )条件概率公式P ( AB )B ) , 且P ( B ) 0P ( AP ( B )P ( AB )P ( B A) , 且 P ( A) 0P ( A)1.3.1 条件概率1.3.1 条件

11、概率解二：在A发生的条件下，袋中还有4个球，其中2红2白，所以第二次取到白球即24A ) 0.5P ( B1.3.1 条件概率乘法公式P ( AB )P ( B A ),P ( A )0P ( AB )P ( AB ),P ( B )0A )P ( A)P ( AA)1.3.2 乘法公式（1.3.2 乘法公式 ) B 互斥全概率公式P ( B ) P ( A1 ) P ( B | A1 ) P ( A2 ) P ( B | A2 )任取一袋1.3.3 全概率公式定义A满A两nAA为定理（全概率公式）A为1.3.3 全概率公式A 说明时，不论先买后买，机会是均等的，这就是所谓的 “抽签公平性”1.3.3 全概率公式1.3.3 全概率公式定理A为0n1.3.4 Bayes公式1.3.4 Bayes公式1立性P ( AB ) 事件B独立于事件AP ( A ) P ( B )定义.4.1 两个事件的独独立性) P (1.4.1 两