概率论与数理统计：第七章 参数估计

1、第七章 参数估计 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数.在参数估计问题中，假定总体分布形式已知，未知的仅仅是一个或几个参数.估计废品率估计新生儿的体重估计湖中鱼数估计降雨量 均事先假定总体分布形式已知，只有分布中的参数未知.X1, X2, , Xn要依据该样本对参数作出估计, 或估计的某个已知函数g(). 这类问题为参数估计中的点估计问题.现从该总体抽样，得样本设有一个统计总体, 总体的分布函数为F(x; )，其中为未知参数 (可以是向量).7.1 点估计4随机抽查100个婴儿,得100个体重数据10, 7, 6, 6.5, 5, 5.2, 据此, 我们

2、应如何估计和呢 ?而全部信息就由这100个数组成 .例 已知某地区新生婴儿的体重X N(, 2), (, 未知).5为估计:我们需要构造出适当的样本的函数T(X1,X2,Xn)，每当有了样本，就代入该函数中算出一个值，用来作为的估计值 .T(X1, X2, Xn) 称为参数的估计量，把样本值代入T(X1, X2, Xn) 中，得到的一个估计值 .使用什么样的统计量去估计？问题是: 6我们知道,若X N(, 2), 则E(X) = .由大数定律, 样本体重的平均值类似地，用样本体重的方差 S2估计2.自然想到把样本体重的平均值 作为总体平均体重的一个估计.71. 矩估计法2. 极大似然法寻求点估

3、计量的方法8矩估计法由辛钦大数定理, 若总体X的数学期望E(X) = 存在,则有其中g为连续函数 .9(X为连续型)(X为离散型)10矩估计量的观察值称为矩估计值.矩估计法的具体做法11例 设总体X的概率密度为其中, ( 0)为待估参数，设X1, X2, Xn是来自X的一个样本，求, 的矩估计量.解 总体X 的一阶、二阶矩分别为12分别以一阶、二阶样本矩A1, A2代替上两式中的1, 2,有从中解得, , 即得到, 的矩估计量为13解根据矩估计法,14解解方程组得到矩估计量分别为15矩估计法的优点是简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布 .缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息

4、. 一般情况下, 矩估计量不具有唯一性, 其主要原因在于建立矩法方程时，选取哪些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性.矩估计法的优缺点16一个简单例子：某位同学与一位猎人一起外出打猎. 一只野兔从前方窜过.如果要你推测，最有可能是谁打中的呢?只听一声枪响，野兔应声倒下.最大似然法17只发一枪便打中, 猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率. 看来这一枪是猎人射中的.这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想.18例如: 有两外形相同的箱子,各装100个球 一箱 99个白球 1 个红球 一箱 1 个白球 99个红球现从两箱中任取一箱, 并从箱中任取一球,结果所取得的球是白球.答: 第一

5、箱.问: 所取的球来自哪一箱？思想方法：选择参数使得事件的出现有较大的概率19似然函数2021222324求最大似然估计量的步骤:25 最大似然估计法也适用于分布中含有多个未知参数的情况. 此时只需令对数似然方程组对数似然方程26解似然函数解X 的似然函数为2930解31作业：2(2), 3(2), 6(并求p的矩估计值)32对于同一个参数, 用不同的估计方法求出的估计量可能不相同, 问题对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?评价估计量的标准是什么?几个常用的估计量评价标准:问题的提出7.3 估计量的评选标准1无偏性2有效性3相合性33 估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到不同的估计值.

6、我们希望估计值在未知参数真值附近摆动，而它的期望值等于未知参数的真值. 这就导致无偏性这个标准 . 则称 为的无偏估计.设 是未知参数的估计量，若无偏性34是总体X 的样本.是 的无偏估计量.证例 设总体X 的 k 阶矩 存在,请证明: 不论 X 服从什么分布,35证36(这种方法称为无偏化).37例 设总体 X N ( , 2),为 X 的一个样本.求常数 k , 使为 的无偏估计量.解注意到是 X1, X2, Xn 的线性函数.3839故40证所以 是参数 的无偏估计量.41而具有概率密度故知即 也是参数 的无偏估计量.Fmin(x)=1-1-FX(x)n42由以上例子可知, 一个参数可以

7、有不同的无偏估计量. 由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度, 所以无偏估计以方差小者为好.这就引进了有效性这一概念 .43有效性44证故有而故有当 n 1 时,故 较 有效 .46对于任意 , 有为 的相合估计量相合性 相合性是对估计量的一个基本要求, 不具备相合性的估计量是不予以考虑的.47由辛钦定理, 若总体 的k阶矩 存在, 则有故为 的相合估计量 . 48关于相合性的两个常用结论1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的相合估计量. 是 的相合估计量.2.设 是 的无偏估计量, 且 , 则由大数定律证明用切比雪夫不等式证明矩法得到的估计量一般为相合估计量.在一定条件下, 极大似然估

8、计具有相合性.49例为常数则 是 的相合估计量.证所以 是 的相合估计量.作业：1550显然 是 的无偏估计量. 且7.4 区间估计51置信区间与置信水平52说明 置信区间包含两方面含义 1.置信水平 2.区间长度置信水平高，则区间大，区间精度差置信区间小，则精度高，但置信水平低53 7.5 正态总体均值与方差的区间估计54 从以上分析的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下:1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间? 置信水平 是多少?2. 寻找参数 的一个良好的点估计 T(X1,X2,Xn) 3. 寻找一个待估参数 和估计量 T 的函数 W(T, ),且其分布为已知. W称为枢轴量55 4. 对于给定的置信水平 ，根据W(T, )的分布，确定常数a, b，使得 P(a W(T, )b) = 5. 对“aW(T, )b”作等价变形,得到如下形式:即于是 就是 的 置信区间.5657区间短精度高区间长精度低606162636465例 两台机床生产同一个型号的滚珠，从甲机床生产的滚珠中抽取8个，从乙机床生产的滚珠中抽取9个，测得这些滚珠的直径(毫米)如下: 甲机床 15.0 14.8 15.2 15.4 14