定积分概念和基本性质

1、关于定积分的概念和基本性质1第一张，PPT共二十八页，创作于2022年6月2 例: 求曲线 y=x2、直线 x=1和 x轴所围成的曲边三角形的面积。x yOy=x214.3.1 引出定积分定义的例题第二张，PPT共二十八页，创作于2022年6月3x yOy=x21(4)取极限 取Sn的极限，得曲边三角形面积：(1)分割(2)近似(3)求和第三张，PPT共二十八页，创作于2022年6月4x yOy=x21(4)取极限 取Sn的极限，得曲边三角形面积：(1)分割(2)近似(3)求和第四张，PPT共二十八页，创作于2022年6月5x yOy=x21(4)取极限 取Sn的极限，得曲边三角形面积：(1)

2、分割(2)近似(3)求和第五张，PPT共二十八页，创作于2022年6月6分 割求 和近 似取极限把整体的问题分成局部的问题在局部上“以直代曲”, 求出局部的近似值；得到整体的一个近似值；得到整体量的精确值； 例: 求曲线 y=x2、直线 x=1和 x轴所围成的曲边三角形的面积。第六张，PPT共二十八页，创作于2022年6月7 一般地，求由连续曲线y=f(x)(f(x)0)，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积的方法是： y=f(x)bx yOaxi-1xi=x0 xn=xi第七张，PPT共二十八页，创作于2022年6月8例2设物体沿直线作变速运动，速度为 v =v (t), 假定v

3、(t)是 t 的连续函数，求此物体在时间区间 a, b 内运动所走距离 s 。tOtn=t0t1ti1 titn1 abti引出定义的实例二：求物体作变速直线运动所经过的路程 解： (2) 在第 i ( i1, 2, , n) 个时间段 ti1, ti上任取一时刻 i，用v(i)Dti近似替代物体在第i个时间段所走距离: Dsiv(i)Dti 。(1) 用分点 t=ti (ti10, f(x)0, 利用定积分几何意义验证：定积分的几何意义第十九张，PPT共二十八页，创作于2022年6月20 性质1：4.3.2 定积分的基本性质有限个可积函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即若fi(x) (

4、i = 1, 2, , n)在a, b内可积，则有第二十张，PPT共二十八页，创作于2022年6月21 性质2：4.3.2 定积分的基本性质一个可积函数乘以一个常数之后，仍可为可积函数，且常数引资可以提到积分符号外面，即若 f(x)在a, b上可积，则 cf(x)在a, b上也可积（c为常数），且满足第二十一张，PPT共二十八页，创作于2022年6月22 性质3：积分的可加性定理4.3.2 定积分的基本性质设f(x)在a, b内可积，若acb, 则f(x)在a, c和c, b上可积；反之，若f(x)在a, c和c, b上可积，则f(x)在a, b内可积，且有第二十二张，PPT共二十八页，创作于

5、2022年6月23 性质4：积分的可加性定理4.3.2 定积分的基本性质交换积分上下限，积分值变号，即特别地，若a=b，则第二十三张，PPT共二十八页，创作于2022年6月24 性质5：4.3.2 定积分的基本性质设f(x)和g(x)在a, b上皆可积，且满足条件f(x) g(x)，则有第二十四张，PPT共二十八页，创作于2022年6月25 性质6：4.3.2 定积分的基本性质第二十五张，PPT共二十八页，创作于2022年6月26 性质7：4.3.2 定积分的基本性质若函数f(x)在a, b上可积，且最大值与最小值分别为M和m，则推论：若函数f(x)在a, b上可积，则第二十六张，PPT共二十八页，创作于2022年6月27 性质8：定积分中值定理4.3.2 定积分的基本性质设f(x) 在区间a, b上连续，则在a, b内至少有一点 (a b), 使得下式成立：同时， 我们称下式为f(x)在a, b上的平均值第二