阿波罗尼斯圆

1、阿波罗尼斯圆一、适用题型1、已知两个线段长度之比为定值；2、过某动点向两定圆作切线，若切线张角相等;3、向量的定比分点公式结合角平分线；4、线段的倍数转化；二、基本理论（一）阿波罗尼斯定理（又称中线长公式）设三角形的三边长分别为a,b,c ,中线长分别为ma,mb,mc,则:b2b21 a21b21 c22 2ma22 2mb22 2mc2化简得:（二）阿波罗尼斯圆般地，平面内到两个定点距离之比为常数 （1）的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”轨迹为圆心a ,0 ,半径为|P- a的圆不妨设 A a,0 ,B a,0 , AP BP a 0,0,1,若设 Px,y,则（三）阿波罗尼斯圆的

2、性质1、满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比的两个分点;2、直线CM平分 ACB ,直线CN平分 ACB的外角;3 AM_ AN_、BM BN4、CM CN5、1时，点B在圆O内;01,点A在圆O内；6、若AC,AD是切线，则CD与AO的交点即为B;7、若点B做圆O的不与CD重合的弦EF ,则AB平分 EAF ;内分AB和外分AB所得三、补充说明1、关于性质1的证明定理：A, B为两已知点，P,Q分别为线段AB的定比为1的内、外分点，则以PQ为直径的圆。上任意点到A,B两点的距离之比等于常数。证明：不妨设 1设AB a,过点B作圆O的与直径PQ垂直的弦CD,则aa - a - aA

3、P ,BP ,AQ ,BQ 1111由相交弦定理及勾股定理得:BC2AC2AB2 BC2 a2于是aBC , AC2 12a为a，则1AC.2 1 BC2 a BP BQ f 2 1从而P,Q,C同时在到A,B两点距离之比等于 的曲线(即圆)上，而不共线的三点所确定 的圆是唯一的，因此圆O上任意点到A, B两点距离之比等于常数。2、关于性质6的补充若已知圆O及圆O外一点A,则可作出与点A对应的点B,只要过点A作圆O两条切线，切点分别为C,D ,连结CD与AQ即交于点B 0反之，可作出与点B对应的点A四、典型例题1 一例1 (教材例题)已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为的

4、点的轨迹,2求此曲线的方程，并画出曲线。解：设点M(x,y)是曲线上任意一点，则 W 1,整理即得到该曲线的方程为： ,(x 3)2 y2222(x 1) y 4。例2 (2003北京春季文)设A( c,0), B(c,0)(c 0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a 0),求P点的轨迹.解：设动点P的坐标为(x, v)由3a(a 0),得匹三a.|PB|(x c)2 y2化简得(1 a2)x2 2c(1 a2)x c2 (1 a2) (1 a2) y2 0.2 2当 a 1时,得x2 2c（1 沙 c2 y2 0,整理得（x c）2 y2 （等）21 a2a2 1a2

5、 1当a=1时，化简得x=0.2所以当a 1时，P点的轨迹是以（!c,0）为圆心，|单J|为半径的圆;a2 1a2 1当a=1时，P点的轨迹为y轴.例3 （2005江苏高考数学）如图，圆O1与圆02的半径都是1,O1O2 4,过动点P分别作圆Oi .圆。2的切线PM PN （分别为切点）， M使得PM 应PN .试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.O1O2解:以Oi O2的中点0为原点,Oi O2所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则 Oi （-2, 0）, O2(2,0),由已知PM J2PN ,得PM22PN2.O2 X因为两圆的半径均为1,所以22POi 1 2(PO21).设

6、P(x,y),则(x 2)21 2(x2)21,即(x 6)2 y2 33,所以所求轨迹方程为（x6)2y2 33.12x 3 0)例4 （2006四川高考理）已知两定点A(2,0)B（1,0）,如果动点 P满足PA 2 PB ,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（(A).4 八8；(D)或解：B（2008江苏高考）ABC中,AB 2, AC2BC ,则S abc的最大值为变形:ABC 中，AB 4, CA : CB5:3,则S ABC的最大值为ABC答案:152设点A,B,C,D依次在同一直线上，AB 6,BC 3,CD 2 ,已知点P在直线AD外，满足APB BPC CPD，试确定点P的几

7、何位置。解：先作线段AC关于2:1的阿氏圆1,再作线段BD关于3:2的阿氏圆 2,两圆交点即为点P,同化都时该点关于直线AD的对称点也为所求。例7 (2011年南通一模)已知等腰三角形一腰上的中线则该三角形面积的最大值为从而yw?!而的面积、三圆,所以当r = 时,Sg二工誉法一 如同4-7所示，以中觌的J所在充线为 1 轴,或权8。的中点()为坐标原点.建立平面直，角坐标系.则点H坐标为(-),反镀*赃因点是u中点，得a yrit一 N, ! 1，臬中1上由H,二I,得解法二 加图4 - 1 X所示.以底加：所在育镂为1例，甲 点八为坐标原、热，建苴十面交的坐标系，没技 rjj ,0 E j

8、)，1+ -j-b?三匕-阳灯,从而 mn工二2 t因为初二的面根为：=皿八所以最大值为2. 解法三设等腰三角形AHC的底BC长为2m . 2 0/+/.由三)由中线长公式2( 4/ + 欣F ) = 4 阳F + U：1 ,得 rn 2 + / + 二 121以下同解 法二解法四 如用4 7 -9所示.记等膝三前看AUG的底边RC 上的中线以与牍1C上的中线如交于点。，则(；为空心.抒CG = H（；=飞&由八脏O的面瓶二C EGsin = -sin出父 n ,则膜 AC A8 =(0fn )t( 2 0 ),则腰*：的中高M今,* ),由&D二区将、小，由基本不等式得寻 !故；的面初=4口

9、执XW 2 .所以戢大值力士解法五 段也前二技IC =以两腰之长为If； = ,1C = 2a,D为腰优中点,则在A4UD内利用余弦定理，挣5支”44.10 6 = 3.则x =-=* S =法，4“15 411J1* fl6sin H -.5 4cow fl格理得 6sin (f + 4Sti w h - 5 S t 化为 :如 + 165* sirX + 中)=.从而由1一I Wl .得Sw，所以所求面包的最大值为工 36 + 1破解诙六 曲法五得s() = _m ，则由二 .,法古心廿二5 -4( u 9( 5 -4i-an Or TOC o 1-5 h z 4T,不时,M有子.大值,此

10、时卜后a=* *得a =工解法七由斜拈二丁，从而=八于是 S = ： /(3 -%2X9a2 -3) =7-(3? -S)1 +I6,*r 密克二斗 时,Ariw_ +解法八 加图1 E 9所示.记号膑三角形,ur的欣地,；上的高为,1亿则修二 UA + 二-/方(-T-+ 0A ) + AO + 一+ B(x2,0),其中x22x1 0。即 二(x x1)2 y2 .(x x2)2 y2y2 4的任何实数对(x, y)包成立,整理得：2x(4 xiX2)2/2x2 4x1_223(x y ),2 y2 4代入得:C /、22x(4x1 x2) x2，2 4x112 ,这个式子对任意2,2恒成

11、立，所以一定有:4x1 x2 022 一x2 4x1 12，因为x2X0,所以解得:Xi1、 x24 oB(4,0),使得圆x2y24上任意一点到所以，在X轴正半轴上是否存在两个定点 A(1,0)、A、1B两点的距离之比为常数-。2例11铁路线上线段AB 100km,工厂C到铁路的距离CA 20 km现要在A、B之间某一 点D处，向C修一条公路。已知每吨货物运输1km的铁路费用与公路费用之比为3:5,为 了使原料从供应站B运到工厂C的费用最少，点D应选在何处解：建立如图所示直角坐标系,先求到定点A、C的距离之比为3的动5点P(x, y)的轨迹方程,即:小x y 3,整理即得动点P(x,y)的轨

12、迹方程：-x2 (y 20)25224x2 4y2 90y 900 0,令y 0,得x 15 (舍去正值)即得点 D( 15,0) DA 15, DC 25。下面证明此点D即为所求点：自点B作CD延长线的垂线，垂足为E ,在线段BA上任取点Di ,连接CDi ,再作D1E1 BE于E1 。设每吨货物运输1km的铁路费用为3k(k 0),则每吨货物运输1km的公路费用为5k,如果选址在D1处，那么总运输费用为 y 3kBD1 5kD1c (3BD1 5D1C)k ,而 BE1D1s BEDs CAD.BD1 CD 25 5E1D1 AD 1533BD1 5E1D1那么总费用 y (3BD1 5D1C)k (E1D1