高中数学空间向量方法解立体几何教案

1、空间向量方法解立体几何【空间向量基本定理】例1已知矩形 ABCD , P为平面ABCD外一点，且 PA丄平面ABCD , M、N分别为PC、PD上的点，且M分1-成定比2,N分PD成定比1，求满足MN - xAB + yAD + zAP的实数x、y、z的值。分析；结合图形，从向量i出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用一丄、二表示出来，即可求出x、y、z的值。如图所示，取PC的中点E，连接NE,则丨小二丨亠。点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功，要结合已知和所求， 观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需

2、向量。再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合，组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量，而且a,b,c的系数是惟一的。【利用空间向量证明平行、垂直问题】例2如图，在四棱锥 PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD丄底面ABCD , PD=DC , E是PC的中点，作 EF丄PB于点F。(1)证明:PA/平面 EDB ；(2)证明：PB丄平面EFD ；(3)求二面角C PB D的大小。点评：(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是

3、共线向量.(2 )证明线面平行的方法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量. (3 )证明面面平行的方法：转化为线线平行、线面平行处理；证明这两个平面的法向量是共线向量.证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直.证明线面垂直的方法：证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直.(6 )证明面面垂直的方法：转化为线线垂直、线面垂直处理；证明两个平面的法向量互相垂直.【用空间向量求空间角】例3正方形ABCD 中，E、F

4、分别是-，7 - -的中点，求:异面直线AE与CF所成角的余弦值；二面角CAE F的余弦值的大小。点评：(1)两条异面直线所成的角 已可以借助这两条直线的方向向量的夹角求得，即C05 e-=| COS (pl。 直线与平面所成的角 已主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求 得 即 sin 6=| co;tp| 或二二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量 的夹角或其补角。【用空间向量求距离】例4长方体 ABCD 中，AB=4 , AD=6 ,亠-,M是AiCi的中点，P在线段BC上，且|CP|=2, Q是DDi的中点，求：异面直线AM与PQ所成角的余弦值

5、；M到直线PQ的距离；M到平面ABiP的距离。本题用纯几何方法求解有一定难度，因此考虑建立空间直角坐标系，运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角，在新高考试题中已多次出现，但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离，线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深，随着新教材的推广使用，这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几类问题的解决方法。(1)平面的法向量的求法：设 T，利用n与平面内的两个向量 a, b垂直， 其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解。的一个方向(2)线面角的求法：设 n是平面的一个法向量， AB是平面的斜线I向

6、量，则直线与平面&所成角为则sin AB?n|AB| |n|的两个面内与棱I垂直的异(3)的法向量，则就是二面角的平面角或其补角。AB的方向向量，又C、D分别是上的任意两点，则厂点面距离的求法：设|忑口平面二的距离为 n是平面二的法向量，AB是平面工的一条斜线,则点 B到异面直线间距离的求法：1 -是两条异面直线，n是1 -的公垂线段DC n|而线面距、面面距均可转化为点面距离再用(5)中方法求解。w A2 - 3血BWC1 - 6练习：ujun1.若等边 ABC的边长为2.3 ,平面内一点M满足CMLULT UULT在空间直角坐标系中，已知点 A (1, 0, 2), B(1 , -3 , 1)，点M在y轴上，且 M到A与到B的距离相等，则 M的坐标是 (本小题满分12分)如图，在五面体 ABCDEF中，FA 平面 ABCD, AD/BC/FE ，AB AD，M为EC的中点,1AF=AB=BC=FE= - AD2求异面直线BF与DE所成的角的大小;证明平面AMD 平面CDE ；(III )求二面角A-CD-E的余弦值。4.(本题满分15分)如图，平面 PAC 平面ABC， ABC 是以AC为斜边的等腰直角三角形，E, F,O分别为PA ,PB, AC 的中点，AC 16, PA PC 10.(I)设G是OC的中点，证明：FG/平面BOE ；(II)证明：在ABO内存在