高等数学第六章课件

1、第六章 定积分及其应用第一节 定积分的概念与性质第二节 定积分的计算第三节 反常积分第四节 定积分的应用第一节 定积分的概念与性质一、定积分问题举例二、定积分定义三、定积分的几何意义四、定积分的性质曲边梯形的面积 设函数yf(x)在区间a, b上非负、连续. 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 一、定积分问题举例观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？求曲边梯形的面积 (1)分割: ax0 x1 x2 xn1 xn b, Dxi=xi-xi1;

2、 小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1xixi); (2)近似代替: (4)取极限: 设maxDx1, Dx2, Dxn, 曲边梯形的面积为 (3)求和: 曲边梯形的面积近似为 ;变速直线运动的路程 已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数, 且v(t)0, 计算物体在时间段T1, T2内所经过的路程S.(1)分割: T1t0t1t2 tn1tnT2, Dtititi1; (2)取近似: 物体在时间段ti1, ti内所经过的路程近似为 DSiv(i)Dti ( ti1 iti ); 物体在时间段T1, T2内所经过的路程近似为 (3)求和: (4)取极限: 记maxD

3、t1, Dt2, Dtn, 物体所经过的路程为 在小区间xi1, xi上任取一点xi (i1, 2, n), 作和maxDx1, Dx2,Dxn; 记Dxi=xi-xi1 (i1, 2, n), ax0 x1x2 xn1xnb; 在区间a, b内任取分点: 定义 设函数f(x)在区间a, b上有界. 若当0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间a, b的分法和xi的取法无关, 则此极限称为函数f(x)在区间a, b上的定积分, 记为 即 二、定积分定义定积分各部分的名称 积分符号, f(x) 被积函数, f(x)dx 被积表达式, x 积分变量, a 积分下限, b 积分上限, a, b积

4、分区间， 积分和. 函数的可积性 如果函数f(x)在区间a, b上的定积分存在, 则称f(x)在区间a, b上可积. 定理1 如果函数f(x)在区间a, b上连续, 则函数f(x)在区间a, b上可积. 定理2 如果函数f(x)在区间a, b上有界, 且只有有限个间断点, 则函数f(x)在区间a, b上可积. 定积分的定义 3)一般地, f(x)在a, b上的定积分表示介于x轴、曲线yf(x)及直线xa、xb之间的各部分面积的代数和. 1）当f(x)0时, 定积分 在几何上表示由曲线yf(x)、直线xa、xb与y=0 所围成的封闭图形的面积. 2）当f(x)0时, 定积分 在几何上表示曲边梯形

5、面积的负值. 三、定积分的几何意义性质1 性质2 性质3 性质4 性质5 如果在区间a b上 f (x)0 则 badxxf0)(ab). 四、定积分的性质推论1 若在a b上 f (x)g(x) 则 推论2 性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间a b上的最大值及最小值 则 如果函数f(x)在闭区间a b上连续 则在积分区间a b上至少存在一个点x 使下式成立 性质7(定积分中值定理) 积分中值公式 第二节 定积分的计算一、积分上限函数及原函数存在定理二、牛顿莱布尼茨公式三、定积分的换元法四、定积分的分部积分法一、积分上限函数及原函数存在定理二、牛顿莱布尼茨公式证:根据定理 1,故因此得记

6、作定理2函数 ,则三、定积分的换元法四、定积分的分部积分法第三节 反常积分一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分一、无穷限的反常积分 定义 设函数 在区间 上连续取 ，如果极限 存在，则称此极限为函数 在无穷区间 上的反常积分记作 ，即此时也称反常积分 存在或收敛；如果极限不存在，就称反常积分 不存在或发散。 类似的，可以定义 在区间 及 上的广义积分。 注 广义积分 收敛的充分必要条件是上式右端的两个广义积分都收敛，若两个积分之一发散，则左端的广义积分发散。 设函数 在区间 上连续，而 取 ，如果极限 存在，则称此极限为函数 在区间 上的广义积分。记作 即二、无界函数的反常积分此时也称广义积分 存在或收敛；如果极限不存在，就称广义积分 不存在或发散。 类似的，可以定义 在区间 及 上的广义积分。第四节 定积分的应用一、定积分的微元法二、定积分在几何上的应用三、定积分在物理上的应用一、定积分的微元法用定积分概念解决实际问题的三个步骤： 二、定积分在几何上的应用（一）平面图形的面积（二）体积（三）平