2021行测系列课 方法精讲-数量关系(讲义+笔记)(4)

1、 方法精讲-数量4(笔记)启智职教的店学习任务：1课程内容：容斥原理、排列组合与概率授课时长：3小时对应讲义：178页184页4重点内容：掌握两集合公式，三集合的三种公式一一标准型、非标准型、常识型掌握图示法在容斥原理中的运用，理解容斥原理结合最值的考法掌握常用的排列组合公式，理解分类讨论与分步计算的区别，正难反易则从反面求解掌握两种经典方法(捆绑法、插空法)的适用范围和操作步骤掌握概率问题的两种题型一一给情况求概率或给概率求概率第八节容斥原理【注意】1.容斥原理只要听明白原理，后面就是正常套路，代公式即可，难度不大。而排列组合可能很多同学都没有基础，有的同学高中时学过，有的同学(体育、艺术、

2、文科类)没学过，没有关系，因为公考中考查的排列组合与高中没有多大的关系，高中所学的排列组合特别难，而公考学习老师会从最基本的概念开始讲解，只要掌握基本概念，后面遇到排列组合问题就不会太纠结。2.最值问题是思维量最大的，最值问题都不怕，更不用怕排列组合问题。【知识点】两集合：两个集合之间有交叉、有重叠的情况。例如班里有的同学特别擅长行测，有的同学特别擅长申论，中间有一部分同学既擅长行测又擅长申论，即有重叠的地方，重叠的地方在做题时，要算成1个人擅长两种，注意去重即可。容斥原理的核心即如何将重复的部分去重。1.公式：A+B-AGB二全-都不。2推导：假设擅长行测的记为A,擅长申论的记为B,求擅长的

3、同学一共有多少人？擅长行测和擅长申论都属于擅长的，记为A+B，但发现此时中间部分在A和B中都算了一次，即算重了，因此要减去AHB；还有一部分同学既不擅长A也不擅长B,这部分同学称为都不擅长的，此时得到关系式：A+B-AGB=总数-都不。3若不能理解，也可以理解为AB覆盖的总面积为多少？即圆的总面积=圈A+圈B-AB重叠的面积=方块面积-圈外面积。两个思路都可以，注意去重即可。注意：现在打酱油不可怕，目前可以什么都不擅长，但最主要的任务就要挤到里面去，把不擅长变为擅长，这才是大家备考的目的。不要灰心丧气，天就想着考得上、考不上，“想”解决不了问题，而是要在有想法的基础上去做，要脚踏实地去干，幸福

4、是奋斗出来的，不能光想。【例1】（2017广东）某单位有107名职工为灾区捐献了物资，其中78人捐献衣物，77人捐献食品。该单位既捐献衣物，又捐献食品的职工有多少人？A.48B.50C.52D.54【解析】例1.出现“捐衣物”“捐食品”，还有“既捐献衣物，又捐献食品”的，说明有重叠的部分，为两集合容斥问题，列式：78+77-？=107-都不，题干没有提到“都不”，只说了107名职工捐献了物资，说明没有人不捐，即“都不”=0（又如题干说“72名运动员去参加运动会”，意思就是这72名都参加了，没有不参加的）。数字较小可以直接相加，数字大的时候可以看选项尾数是否相同，本题选项尾数各不相同，直接看尾数

5、即可。右边：107-0=尾数7，左边：尾数8+尾数7-?的尾数二尾数7,贝肿的尾数为8,对应A项。【选A】【注意】有的同学可能第一次考公务员，不理解它的出题模式，很多同学会纠结本题有“食品”“衣物”，也有可能捐献其他东西，如有的人会捐献玩具、帐篷等等。但如果自己脑补这些东西，则无法做题，因此做题时不要在题目之外想其他东西，出题人说什么我们就做什么。例如出题人如果没有说速度变为原来的一半，就默认速度不变，只能就题做题，不要杠。例2（2018联考）某试验室通过测评I和II来核定产品的等级：两项测评都不合格的为次品，仅一项测评合格的为中品，两项测评都合格的为优品。某批产品只有测评I合格的产品数是优品

6、数的2倍，测评I合格和测评II合格的产品数之比为6：5。若该批产品次品率为10%，则该批产品的优品率为（）。A.10%B.15%C.20%D.25%【解析】例2已知“只有测评I合格的产品数是优品数的2倍”，说明只I=2*都合格。读完题目，发现与上题不同，上题人数已知，而本题数量未知，给的都是倍数、百分数，为给比例求比例的情况，想到赋值法。容斥问题中，赋值时一般建议从最中间开始入手，因此赋值“都合格”为1（赋值为100也可以，为了简化计算，赋值为1）,则只1=2。本题代不了公式，如果题干表述出现“只I”，在公式中是没有的，此时代公式不好理解，而公式是通过画图得来的，因此遇到“只”的情况，直接画图

7、求解（从里往外标数。）如图，画两个圈，中间有重合的部分，因此两个圈有交集。标数的时候从里往外标。“都合格”=1,“只I”说明只在I中且不在交集内，因此在左边半圆中标入2,根据“测评I合格和测评II合格的产品数之比为6：5”,可得3：11=6：5,贝口1=2.5,2.5二都满足+只II,解得只11=1.5。已知“该批产品次品率为%”，说明空白部分占比为L0%,则圈内部分占比为100%-10%=90%，列式：2+1+1.5=90%*总数，解得：总数=4.5/9=5，优品率=1/5=20%。对应C项。【选C】【例3】（2016四川）某学校2015年有64%的教师发表了核心期刊论文；有40%的教师承担

8、了科研项目，这些教师中有90%公开发表了论文，这些论文均发表在核心期刊上。则发表了核心期刊论文但没有承担科研项目的教师是承担了科研项目但没有发表论文的多少倍？A.4B.7C.9D.10【解析】例3.已知“有40%的教师承担了科研项目，这些教师中有90%公开发表了论文”，“这些教师”对应的是40%，则有40%*90%=36%的教师既承担科研项目又发表论文，对应最中间的部分。问“发表了核心期刊论文但没有承担科研项目的教师是承担了科研项目但没有发表论文的多少倍”，即问“只论文”是“只项目”的几倍关系。题干所给均为比例，为给比例求比例的情况，设总人数为100。画图表示，两个圈分别表示“发表论文”“承担

9、科研项目”，从中间开始入手，中间部分为36（既承担科研项目又发表论文），已知“64%的教师发表了核心期刊论文”，则“只论文”=64-36=28，同理，“40%的教师承担了科研项目”，则“只【知识点】三集合：标准型公式：A+B+C-AGB-BGC-CGA+AGBGC二全部-都不。2推导：假设3个集合分别用A、B、C表示，要求覆盖的总面积，先加和为A+B+C此时发现中间有部分加重了，应该去掉，和B、B和C、C和A重叠的部分分别加了2次，要减去，此时为A+B+C-AGB-BGC-CGA，但并不是减完了，中间红色部分在AGB、BGC、CGA中均包含，加的时候加了3次，减的时候又减了3次，说明此时所计算

10、的总面积中没有包含中间红色部分，需要再补上去，则有答:A、B、C中均包含红色部分，加的时候加了3次，而AGB、BGC、CGA中也都包含红色部分，减的时候又减了3次，因此要补上。若不能理解，就死记硬背，记住口诀：单个-两两+三个=全-都不。例4（2018陕西）有关部门对120种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂达标的有68种，防腐剂达标的有77种，漂白剂达标的有59种，抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种，三种食品添加剂都达标的有30种，那么三种食品添加剂都不达标的有（）种。A.14B.15D.17C.16F.19E.18G.2

11、0H.21【解析】例4.已知“抗氧化剂达标的有68种，防腐剂达标的有77种，漂白剂达标的有59种”，即单个的情况都给了；“抗氧化剂和防腐剂都达标的54有种”，即对应WB，同理，“防腐剂和漂白剂都达标的有3种”对应BGC,“抗氧化剂和漂白齐嘟达标的有35种”对应AGC,即两两重叠的地方也给了；“三种食品添加剂都达标的有30种”对应AGBGC，发现公式中的数据均已知，直接代入公式：68+77+59-54-43-35+30=120-？，选项特别多，数字也很长，先看能否用尾数法。选项尾数各不相同，直接看个位数，先抵消，左边：-4-3+7=0，9-5=4，则左边个位为8+4=12，尾数为2；右边个位为0

12、-？的尾数=2，不够减需要借位，则右边个位为10-?的尾数=2,解得？的尾数为8,对应E项。【选E】【注意】三集合容斥问题一般考查最简单的形式为每个量都给，陕西基本每年都考。【知识点】三集合非标准型：例：在A、B、C三个集合中，防腐剂达标2项的有多少种，此时达标2项HAGB+BGC+AGC（如图所示，红色斜线部分为达标2项，中间部分为达标3项，AGB、BGC、AGC中均包含达标3项的，因此不相等）。因此以后遇到“满足两项”的情况，换个思路来去重。推导：如何去重oA+B+C，“满足两项”（对应红色斜线部分）分别在A、B、C中多算了一次，因此去重时需要将多算的部分减掉，则有A+B+C-满足两项；而

13、中间蓝色部分加了3次，但“满足两项”中不包含中间蓝色部分，因此中间蓝色部分还没减去，要减去2*满足三项（中间蓝色部分加了3次，而计算面积只需要计算1次，因此要减去多出的2次）。得到公式：A+B+C-满足两项-满足三项*2=全-都不。公式：A+B+C-满足两项-满足三项*2二全-都不。注意：“满足两项”在真题中的意思就是“只满足两项”，即只在两个集合中有重叠（蓝色斜线部分），而中间红色斜线部分为属于“满足三项”，不属于“满足两项”。“满足两项”加的时候多算1了次，需要减去1次，而“满足三项”加了3次，但只需要算1次，因此要减去2次。强调两个点：（1）标准型和非标准型公式如何识别：一般看中间满足两

14、项的部分是分开给还是一起给。如例4，每两项的交集是分开给的，而非标准型公式中，直接给出“满足两项”（蓝色斜线部分之和。）因此若满足两项合起来给1个数据，则对应非标准型公式；若满足两项分开给，则对应标准型公式。（2）这类题目经常咬文嚼字。有的题目直接说“只满足两项”，有的题目说“满足两项”，两者是等价的，只有这样才能做出答案，这是一种规则。但有时候会出现“至少两项”的表述，此时至少两项工（只）满足两项，至少两项二满足两项+满足三项，因此遇到“至少两项”，要先减去“满足三项”的，得出“只满足两项”，这样才能直接运用到非标准型公式中。【例5】（2017重庆选调）一项农村家庭的调查显示，电冰箱拥有率为

15、49%，电视机拥有率为85%，洗衣机拥有率为44%，至少有两种电器的占63%，三种电器齐全的占25%，则一种电器都没有的比例为：A.10%B.15%C.20%D.25%【解析】例5.已知“至少有两种电器的占63%”，“至少有两种”包括“满足两种”和“满足三种”的，三种电器齐全的占25%，则只满足两种=63%-25%=38%，即满足两种的合在一起给，因此用非标准型公式：A+B+C-2*3=全-都不，代入数据：49+85+44-38-2*25=100-?,A、C项尾数相同，直接算即可。原式=11+35+44=100-?，整理得90=100-?，解得？=10，对应A项。【选A】【注意】小技巧：题干没

16、有给具体数值，但老师计算时直接用49、85、44，说明默认把调查的全部家庭数设为100个，考试时不需要这么细致，直接用即可。【答案汇总】1-5：ACBEA例6（2018江西）某高校做有关碎片化学习的问卷调查，问卷回收率为90%，在调查对象中有180人会利用网络课程进行学习，200人利用书本进行学习，100人利用移动设备进行碎片化学习，同时使用三种方式学习的有50人，同时使用两种方式学习的有20人，不存在三种方式学习都不用的人。那么，这次共发放了多少份问卷?（）A.370B.380C.390D.400【解析】例6.出现“网络课程”“书本”“移动设备”三种类别，且三种类别有重复，为三集合容斥问题，

17、有标准型和非标准型，区别在于满足两种的是分开给还是一起给。已知“同时使用两种方式学习的有20人”，即一起给，因此对应非标准型公式：A+B+C-2水二全-都不，代入数据：180+200+100-20-2*50二全-0，先抵消，100-2*50=0，整理得：380-20=全=360，选项没有答案，问卷都是反馈回来的情况，分析都是在收回的问卷上分析的，还有部分没收回的，已知“问卷回收率为90%”，列式：发放数*0.9=360，则发放数=360/0.9=400，对应D项。【选D】【注意】本题选项中没有360，否则会有很多同学掉坑。但2015年的国考真题中，选项是有360的，一定要注意题干条件。【知识点

18、】常识型公式（考查非常少）：前面讲过两种公式，有满足两种、满足三种的，但其实也可以分析满足一种的，此时可以发现，满足一种、满足两种、满足三种之间是没有重叠的，可得：满足一+种满足两种+满足三种=全-都不。所有公式的右边都为全-都不。三种公式只是切入点不同而已。例如已知全班男生、女生分别的人数，则男生+女生=总数，不需要减去重叠的，因为没有一个人既男又女。【例7】（2016江苏）某单位举办设有A、B、C三个项目的趣味运动会，每位员工三个项目都可以报名参加。经统计，共有72名员工报名，其中参加A、B、C三个项目的人数分别为26、32、38，三个项目都参加的有4人，则仅参加一个项目的员工人数是：A.

19、48B.40C.52D.44【解析】例7.有A、B、C三个项目，且有交叉、有重叠，为三集合容斥原理问题，判断是标准型还是非标准型。本题给了“三个项目”和“一个项目”的数据，而没有给出“两个项目”的数据，因此可以用标准型公式，也可以用非标准型公式。标准型公式有三个未知量（AGB、BGC、AGC），非标准型公式只有一个未知量（满足两项）因此用非标准型公式。代入数据6+32+28-2*4=72-0（有72名员工报名，说明没有不参加的）。数字比较小，直接计算，原式=96-8=72，=96-80=16,问只参加一项的员工人数，想到常识型公式：+=72-0,则+16+4=72，解得=52,对应C项。【选C

20、】【注意】若“满足两项”合起来给时，用非标准型公式，若“满足两项”在题干中未提及，也用非标准型公式。【例8】（2018辽宁）某班在筹备联欢会时发现很多同学都会唱歌和乐器演奏，但有部分同学这2种才艺都不会。具体有4种情况：只会唱歌，只会乐器演奏，唱歌和乐器演奏都会，唱歌和乐器演奏都不会。现知会唱歌的有22人，会乐器演奏的有15人，两种都会的人数是两种都不会的5倍。这个班至多有多少人？A.27B.30C.33D.36【解析】例8.题干已知“只会唱歌，只会乐器演奏，唱歌和乐器演奏都会，唱歌和乐器演奏都不会”，即分别对应A、B、AGB、都不，为两集合容斥问题，所给条件较多，可以画图分析也可以代公式。已

21、知A、B的数据，及AGB和“都不”的比例关系，可以设未知数，设“都不”为，贝V都会的（AGB）为5x,代入两集合公式：22+15-5x二全-X，出现两个未知数，先化简再结合最值思维，原式化简为：37-4x二全。方法一：直接代入选项，看X是否为整数即可。整理得37-全=4x,“37-全”需为4的倍数。方法二：也可以用最值思维。要让“全”最大，37为定值，则要让x最小（此消彼长），已知“两种都会的人数是两种都不会的倍”，贝衣最小不能为0,因此x最小为1,此时全=37-4*1=33，对应C项。【选C】【注意】1.本题核心点不在于公式，而在于解方程。利用奇偶特性求解也可以，4的倍数即为偶数，但本题主要

22、是强调结合最值思维来考查。【答案汇总】6-8：DCC两集合#和$川门=池柱-祁不标准型：/-沪匸-且门匸-甘门十昇门应门匸=总数-都不三集合非标准妙+&5/30=1/616.7%,答案应先放再放该是17%左右的数字，5/29首位也不能商2，对应B项。【选B】【例4】(2016江苏)一辆公交车从甲地开往乙地需经过三个红绿灯路口，在这三个路口遇到红灯的概率分别是0.4、0.5、0.6，贝该车从甲地开往乙地遇到红灯的概率是：A.0.12B.0.50C.0.88D.0.89【解析】例4.问三个红绿灯路口遇到红灯的概率，可能是遇到一个、两个、三个，正面分析很麻烦，可以反面分析。遇到红灯的反面是没遇到红灯

23、的情况，总概率是1，三个路口不是红灯的概率分别是1-0.4=0.6、1-0.5=0.5、1-0.6=0.4，注意此时不能考虑黄灯，如果考虑黄灯，这个题没法做。先再，用乘法，没遇到红灯的概率为0.6*0.5*0.4=0.12，则P=1-没遇到红灯=1-0.12=0.88,对应C项。【选C】【例5】（2017四川）某杂志为每篇投稿文章安排两位审稿人，若都不同意录用则弃用；若都同意则录用；若两人意见不同，则安排第三位审稿人，并根据其意见录用或弃用。如每位审稿人录用某篇文章的概率都是60%，则该文章最终被录用的概率是：A.36%B.50.4%C.60%D.64.8%【解析】例5.方法一：文章最终录用有

24、三种情况，分别为0.6*0.6=0.36，0.4*0.6*0.6=0.36*0.4，0.6*0.4*0.6=0.36*0.4，则总概率=0.36*（1+0.4+0.4）=36%*1.8，用尾数法，尾数6*尾数8=尾数8，对应D项。方法二：蒙题技巧。每位审稿人录用某篇文章的概率都是60%，如果单次概率50%则比的次数越多，赢的概率越大，多比一次就比原来概率多加一点点,60%大的选项只有D项，则直接蒙D项。原理不需要理解，记住即可。【选【注意】本题就类似于打比赛的情况，第一局赢的概率为0.6，第二局赢的概率也是0.6，问三局两胜的概率，如果前两场都赢了，则没有第三场；如果第一场输了，后两场赢；如果

25、第一场赢，第二场输，则第三场赢。【答案汇总】1-5：DBBCD分类用加祛（要么要么）分步川乘丛（既又）槪念右暉屮昭列（不口帀撫）-无脅（可以兀换）厂扌非列组合排列组合与橱率.必须和邻拥绑注先拥再排昼T不能相邻插窣法先押再插正难反易：总情况嫩-反而情况数给惜况求概率满足要求的俏况数亠所有的俏况数一”一-“-给概寧求概傘：分类川加法，分艰川乘法匸难反易：1-反面情况概率小结】排列组合与概率：排列组合：（1）概念：分类用加法（要么”,要么）。分步用乘法（既又）。有序用排列A（不可互换）。无序用组合C（可以互换）。（2）题型：必须相邻：捆绑法，先捆再排。注意捆绑后形成一个大胖子跟剩下的再排。不能相邻：插空法，先排再插。注意有的时候要求不能在两端。（3）正难反易：总情况数-反面情况数。概率：（1