二二阶矩阵与平面向量的乘法

1、 学业分层测评(二)学业达标1.给定列向量aeq blcrc(avs4alco1(3, 5)，利用矩阵与列向量的乘法，试说明下列矩阵把列向量a分别变成了什么列向量：eq blcrc(avs4alco1(10,02)，eq blcrc(avs4alco1(01,1 0)，eq blcrc(avs4alco1(10,00).【解】eq blcrc(avs4alco1(10,02)eq blcrc(avs4alco1(3, 5)eq blcrc(avs4alco1(3,10)，eq blcrc(avs4alco1(01,1 0)eq blcrc(avs4alco1(3, 5)eq blcrc(avs

2、4alco1(5,3)，eq blcrc(avs4alco1(10,00)eq blcrc(avs4alco1(3, 5)eq blcrc(avs4alco1(3, 0).2.求点A(4，3)在矩阵eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)f(1,3),f(1,4)f(1,6)对应的变换作用下得到的点.【解】因为eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)f(1,3),f(1,4)f(1,6)eq blcrc(avs4alco1(4,3)eq blcrc(avs4alco1(3,f(3,2)，点A在矩阵eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)f(1,3),f(1,4)f

3、(1,6)对应的变换作用下为点eq blc(rc)(avs4alco1(3，f(3,2).3.(1)已知变换eq blcrc(avs4alco1(x,y)eq blcrc(avs4alco1(x,y)eq blcrc(avs4alco1(25,31)eq blcrc(avs4alco1(x,y)，试将它写成坐标变换的形式；(2)已知变换eq blcrc(avs4alco1(x,y)eq blcrc(avs4alco1(x,y)eq blcrc(avs4alco1(5x,2y)，试将它写成矩阵的乘法形式.【解】(1)eq blcrc(avs4alco1(x,y)eq blcrc(avs4alco

4、1(x,y)eq blcrc(avs4alco1(2x5y,3xy).(2)eq blcrc(avs4alco1(x,y)eq blcrc(avs4alco1(x,y)eq blcrc(avs4alco1(5x,2y)eq blcrc(avs4alco1(5x0y,0 x2y)eq blcrc(avs4alco1(50,02)eq blcrc(avs4alco1(x,y).4.给定列向量eq blcrc(avs4alco1(3,2)，矩阵Aeq blcrc(avs4alco1(10,01)，Beq blcrc(avs4alco1(00,00)，Ceq blcrc(avs4alco1(10,01

5、)，Deq blcrc(avs4alco1(01,10)，计算A，B，C，D，并说明它们所表示的几何意义. 【导学号：30650007】【解】根据矩阵与列向量的乘法，得Aeq blcrc(avs4alco1(10,01)eq blcrc(avs4alco1(3,2)eq blcrc(avs4alco1(3,2)，Beq blcrc(avs4alco1(00,00)eq blcrc(avs4alco1(3,2)eq blcrc(avs4alco1(0,0)，Ceq blcrc(avs4alco1(10,01)eq blcrc(avs4alco1(3,2)eq blcrc(avs4alco1(3,

6、2)，Deq blcrc(avs4alco1(01,10)eq blcrc(avs4alco1(3,2)eq blcrc(avs4alco1(2,3).在矩阵A作用下，列向量eq blcrc(avs4alco1(3,2)保持不变；在矩阵B作用下，列向量eq blcrc(avs4alco1(3,2)变成零向量eq blcrc(avs4alco1(0,0)；在矩阵C作用下，列向量eq blcrc(avs4alco1(3,2)的横坐标变成相反数，纵坐标保持不变，此时点P(3，2)变成了关于y轴对称的点P(3，2)，如图(1)；在矩阵D作用下，向量eq blcrc(avs4alco1(3,2)变成了列

7、向量eq blcrc(avs4alco1(2,3)，此时点P(3，2)变成了关于第一、三象限平分线对称的点P(2，3)，如图(2).5.已知矩阵Meq blcrc(avs4alco1(2a,21)，其中aR，若点P(1，2)在矩阵M对应的变换下得到点P(4，0)，求实数a的值.【解】由eq blcrc(avs4alco1(2a,21)eq blcrc(avs4alco1(1,2)eq blcrc(avs4alco1(22a,0)eq blcrc(avs4alco1(4, 0)，得22a4，即a3.6.设矩阵A对应的变换把点A(1，2)变成点A(2，3)，把点B(1，3)变成点B(2，1)，那么

8、把点C(2，3)变成了什么？【解】设Aeq blcrc(avs4alco1(ab,cd)，点A(1，2)，A(2，3)，B(1，3)，B(2，1)对应的列向量分别为1eq blcrc(avs4alco1(1,2)，2eq blcrc(avs4alco1(2,3)，1eq blcrc(avs4alco1(1, 3)，2eq blcrc(avs4alco1(2,1).根据题意得eq blcrc(avs4alco1(2,3)eq blcrc(avs4alco1(ab,cd)eq blcrc(avs4alco1(1,2)，eq blcrc(avs4alco1(2,1)eq blcrc(avs4alco

9、1(ab,cd)eq blcrc(avs4alco1(1, 3)，eq blc(avs4alco1(a2b2，,c2d3，,a3b2，,c3d1.)eq blc(avs4alco1(af(2,5)，,bf(4,5)，,cf(7,5)，,df(4,5).)Aeq blcrc(avs4alco1(f(2,5)f(4,5),f(7,5)f(4,5).设点C(2，3)对应的列向量为1eq blcrc(avs4alco1(2, 3)，在矩阵A对应的变换下为C(x，y)，且C对应的列向量为2eq blcrc(avs4alco1(x,y)，eq blcrc(avs4alco1(x,y)eq blcrc(av

10、s4alco1(f(2,5)f(4,5),f(7,5)f(4,5)eq blcrc(avs4alco1(2, 3)eq blcrc(avs4alco1(f(8,5),f(2,5).7.已知矩阵Aeq blcrc(avs4alco1(12,1 x)，Beq blcrc(avs4alco1(11,21)，向量eq blcrc(avs4alco1(2,y)，x，y为实数.若AB，求xy的值.【解】由已知，得Aaeq blcrc(avs4alco1(12,1x)eq blcrc(avs4alco1(2,y)eq blcrc(avs4alco1(22y,2xy)，Baeq blcrc(avs4alco1

11、(11,21)eq blcrc(avs4alco1(2,y)eq blcrc(avs4alco1(2y,4y).因为AaBa，所以eq blcrc(avs4alco1(22y,2xy)eq blcrc(avs4alco1(2y,4y).故eq blc(avs4alco1(22y2y，,2xy4y.)解得eq blc(avs4alco1(xf(1,2)，,y4.)所以xyeq f(7,2).能力提升8.直线2xy10在矩阵eq blcrc(avs4alco1(12,02)作用下变换得到的直线方程. 【导学号：30650008】【解】法一任意选取直线2xy10上的一点P(x0，y0)，它在矩阵eq

12、 blcrc(avs4alco1(12,02)作用下变换得到的点为P(x，y)，则有eq blcrc(avs4alco1(12,02)eq blcrc(avs4alco1(x0,y0)eq blcrc(avs4alco1(x,y)，所以eq blc(avs4alco1(xx02y0，,y2y0，)即eq blc(avs4alco1(x0 xy，,y0f(1,2)y.)又因为点P在直线2xy10上，所以2x0y010，即2(xy)eq f(1,2)y10，化简得所求直线方程为4x3y20.法二在直线2xy10上取两点eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0)，(0，1).因为eq blcrc(avs4alco1(12,02)eq blcrc(avs4alco1(f(1,2),0)eq blcrc(avs4alc