管理决策分析第二版第6章多目标决策分析ppt课件

1、第6章 多目的决策分析6.1 多目的决策的目的准那么体系6.2 目的规划方法6.3 化多为少方法6.4 多维成效合并方法6.5 AHP方法简介6.6 DEA方法6.1多目的决策的目的准那么体系 一、什么是目的准那么体系 二、构造如何，几种类型 三、评价准那么和成效函数 四、对风险要素的处置问题一、目的准那么体系的意义决策目的 在决策分析中，决策问题要到达的目的。决策准那么 用数值表示决策方案实现某个目的程度的标 准和法那么。目的准那么体系问题 单目的决策单决策准那么准那么选择方案择优 多目的决策多决策准那么构建目的准那么体系总体上 对可行方案择优 构造原那么：系统性原那么可比性原那么可操作性原

2、那么 一、目的准那么体系问题 直接进展评价和比较 目的 难以直接评价 分解成子目的 可以直接评价为止例如，某经济特区方案兴建一个大型海港，港址的选择就是多目的决策问题 海港港址决策的目的准那么体系，包括经济、技术、环境以及社会四个分目的 海滩港址经济技术环境社会一、目的准那么体系问题上面四个分目的均不能直接用一个或几个准那么进展评 价 ，逐级分解为假设干子目的 间接效益例如，经济目标分解可以分解成直接经济效益和间接经济效益两个一级子目标 直接效益经济一、目的准那么体系问题直接经济效益分解为投资额、投资回收期和利税总额等三个二级子目的 间接经济效益分解 为海运业收益，国内贸易收益， 国际贸易收益

3、等三个二级子目标 投资额投资回收期利税总额直接效益间接效益海运收益国际贸易收益国内贸易收益 评价：时间准那么 货币准那么 货物载运量准那么 货币准那么 一、目的准那么体系问题对于技术、社会和环境目的，均可以进展同样的分解这样，构成了一个分层构造复杂的目的准那么体系图6. 总体目标 准则层 海 滩 港 址经济技术环境社会投资额投资回收期利税总额直接效益间接效益海运收益国际贸易收益国内贸易收益航道环境资源交通关系城市关系运行建筑海滩军事政策现状稳定性深度国家安全军港建设三废排放风景古迹淡水资源征地能源铁路公路条件内河条件货物装卸船舶航行稳定性保持稳定难易度码头围堰防波堤这就是目的准那么体系 图6.

4、1二、目的准那么体系的构造 可将目的准那么体系分成以下三种类型： 1单层次目的准那么体系 各个目的都属于同一层次，每个目的无须分解就可以用单准那么给出定量评价其构造如图6.2所示总目标适用：微观经济管理，例如选购某种设备和装置 。目标1目标2目标3目标m-1目标m图6.2二、目的准那么体系的构造2序列型多层次目的准那么体系 目的准那么体系的各个目的，均可以一层层按类别有序地分解为假设干低一层次的子目的。 特点：每个子目的均可由相邻上一层次的某个目的分解而成。 各子目的可以按序列关系分属各类目的，不同类别的目的准那么之间不发生直接联络。 适用：宏观经济管理，例如前面提到的海港港址的决策 。 二、

5、目的准那么体系的构造3非序列型多层次目的准那么体系 相邻两层次子目的之间，仅按本身的属性建立联络，存在联络的子目的之间用实线连结，无实线连结的子目的之间，不存在直接联络。 G非序列型多层次目标准则体系，层次结构如图6.3所示 图6.3c1c2g1(1)g2(1)gl(1)g1(n)g2(n)gk(n)cs准那么层第n层目的第1层目的总目的三、评价准那么和成效函数多目的决策的关键 如何从总体上给出可行方案关于目的准那么体系中全部目的的称心度 不同的目的用不同的评价准那么衡量 化为无量纲一致的数量标度 按特定的法那么和逻辑过程进展归纳与综合 建立具有可比性的数量关系 称心度： 联络第三章知识，成效

6、值分别表示了可行方案在各目的准那么下，对于决策主体的价值，都用区间0， 1上的实数表示。 任何一个可行方案在总体上对决策主体称心度，经过这些成效值按照某种法那么并合而得 四、目的准那么体系风险要素的处置单目的风险型决策 期望成效值较好地表示称心度 多目的决策 风险型多目的问题 可行方案在各自然状态下的结果值转化为期望结果值 对存在风险因素的所有目标准则都分别作这样的技术处理 确定型多目标问题6.2 目的规划方法称为目的规划，是查恩斯ACharnes和库柏WWCooper于1961年提出来的目的规划抑制了线性规划目的单一的缺陷，是一种适用的多目的决策方法这种方法对单层次目的准那么体系的决策问题非

7、常有效. 目的规划一、目的规划模型多目的线性规划的普通方式是 一、目的规划模型为了求解多目的线性规划，需求处理两个问题: 第一，如何将多目的规划转化为单目的规划求解； 第二，K个目的函数对于决策者来说，有主次轻重之分，如何表示多目的的主次顺序 一、目的规划模型求解多目的线性规划的方法很多，目的规划是其中有效方法之一 根本方法： 对每一个目的函数引进一个期望值 引入正、负偏向变量，表示实践值与期望值的偏向，并将目的函数转化为约束条件，与原有约束条件构成新的约束条件组引入目的的优先等级和权系数，构造新的单一的目的函数，将多目的问题转化为单目的问题求解 一、目的规划模型 1目的函数的期望值 对于多目

8、的线性规划的每一个目的函数值Zkk=1，2，K，根据实践情况和决策者的希望，确定一个期望值ek虽然K个目的的期望值难以全部到达，寻求可行解应该使这些目的的期望值最接近地得以实现 一、目的规划模型2正、负偏向变量 对每一个目的函数值，分别引入正、负偏向变量k1，2，K 表示第k个目的超出未到达期望值ek的数值，其中至少有一个为零。 一、目的规划模型引入偏向变量之后，目的函数就变成了约束条件，成为约束条件组的一部分原有的约束条件，也可以用引入偏向变量的方法，将不等式约束变成等式约束，偏向变量起着松弛变量的作用 3准那么函数各个目的函数引入期望值和偏向变量后，已并入约束条件组，需求构造新的目的函数

9、一、目的规划模型目的规划模型的目的函数称为准那么函数，是一个以诸偏向变量取最小值，单一综合性的目的函数构造准那么函数，多目的问题就转化为单目的问题准那么函数的普通方式是 详细方式有三种： 要求某个目的恰好到达期望值，正、负偏向变量都应该取最小值，可取和式到达最小值准那么函数的方式为 一、目的规划模型 要求某个目的不低于期望值，即该目的的正偏向变量不受限制，负偏向变量取最小值准那么函数方式为 要求某个目的不高于期望值，即该目的的负偏向变量不受限制，正偏向变量取最小值准那么函数方式为将各目的不同方式取最小值的偏向变量相加，就得到准那么函数 一、目的规划模型 4. 优先因子和权系数 各个目的有主次之

10、分为此，引进优先因子Pii1，2，L，表示目的属于第i个优先级别，共有L个优先等级 一、目的规划模型例如， 表示第k个正偏向变量列入第1优先级别优先因子Pi不仅作为一种记号，还可以看作偏向变量的一种特殊正系数，参与普通运算 相邻优先级别的关系是:规定级别Pi比Pi+1有更大的优先权 首先必需保证级别Pi的目的实现，其后再思索Pi+1级目的由于Pi，Pi+1不是同一级别的量，对于恣意正数 M，均有Pi M Pi+1例如，P1 100P2等 一、目的规划模型在同一优先级别中，为了区分不同目的偏向变量的重要程度，引入权系数ij, 权系数的数值根据实践情况而定目的规划模型的普通方式是 6.2 一、目的

11、规划模型目的规划的建模步骤 假设决策变量； 建立约束条件； 建立各个目的函数； 确定各目的期望值，引入偏向变量，将目的函数化为约束方程； 确定各目的优先级别和权系数，构造准那么函数 分析实践问题到建立模型，是运用目的规划处理实践问题的关键而困难的一步 一、目的规划模型例6.1某厂消费A，B两种型号的产品，需求耗费甲、乙两种资料，其单位耗费、单位利润和资料库存如表6.1市场对产品B的需求量大，要尽能够多消费，如何安排消费A，B型号产品，使厂家获得最大利润 根据市场需求情况，决策者确定首要目的是确保利润755万元，其次是产品B的产量不得低于目的值650万件，试对厂家消费作出决策分析单耗（万斤/万件

12、） 产品材料产品材料存量AB甲0.50.3300(万斤)乙0.10.3180(万斤)利润（万元/万件）0.71.0一、目的规划模型解：设A，B型产品的产量分别为x1, x2万件先分析该问题的约束条件 原资料约束：由表6.1知，对于资料甲，A、B型产品的单耗分别为0.5，0.3，资料存量为300于是，有约束条件 0.5x10.3x2300 同样，对于资料乙，有约束条件0.1x1十0.3x2180利润约束：A，B型产品的单位利润分别为0.7，1.0，管理首要目的是确保利润755万元于是，有约束条件由于第一级管理目的要确保利润值，设利润值的正、负偏向变量为 d3， d3-，约束条件即为 一、目的规划

13、模型产量约束：产品B的产量不得低于650，于是有由于第二级管理目的要不低于650，设产品B产量的正、负偏向变量为 约束条件即为 再分析准那么函数的优先级别各级管理目的依次是： P1级目的：确保利润值恰好为 755，即有 P1 (d3+ +d3- ) 表示利润值的正负偏向变量之和最小 P2级目的：产品B的产量不得低于650，即有P2d4-，表示产品B产量的负偏向变量最小。 一、目的规划模型另外，为使资料约束条件的不等式约束化为等式约束，分别设dl，d1-为甲资料的正、负偏向变量，d2，d2-为乙资料的正、负偏向变量综上分析，此问题的目的规划模型为一、目的规划模型例6.2某纺织厂消费尼龙布和棉布，

14、平均消费才干是每小时1千米，工厂开工才干为每周80小时根据市场预测，每周最大销售量尼龙布70千米，棉布45千米尼龙布单位利润为每米2.5元，棉布每米1.5元厂家确定四级管理目的： P1：保证正常消费，防止开工缺乏；P2：限制加班时间，不超越10小时；P3：尽量到达最大销售量，尼龙布70千米，棉布45千米；P4：尽能够减少加班时间试对该厂尼龙布和棉布消费进展决策分析 一、目的规划模型解：设尼龙布和棉布周消费量分别为x1,x2千米先分析约束条件，并引入各目的约束的偏向变量 开工才干约束：每周开工80小时，由于尼龙布和棉布消费才干是每小时 1千米，其消费时间分别是x1， x2小时并设开工时间的正、负

15、偏向变量为d1，d1-，于是销售量约束：尼龙布和棉布最大周销售量分别为70千米，45千米设尼龙布和棉布的负偏向变量分别为d2+,d2-,d3+,d3-,于是有 一、目的规划模型 加班时间约束：加班时间不超越10小时设正、负偏向变量分别为d4+，d4-，于是有再分析优先级别，确定权系数和建立准那么函数 P1级目的：防止开工缺乏，开工时间的负偏向变量要尽量地小，即P1 d1- P2级目的：加班时间不超越10小时，即P2 d4+ P3级目的：尽量到达最大销售量，P3级目的应包括 d2-， d3-，并取和式d2-d3-由于尼龙布和棉布的单位利润分别为2.5元米，1.5元米，权系数应取比例2.5:1.5

16、= 5:3于是有 P35 d2- 3 d3- P4级目的：尽能够减少加班时间，即有P4 d1+一、目的规划模型综上所述，该问题的目的规划模型为6.3 化多为少方法一、主要目的法二、线性加权和法三、平方和加权法四、理想点法五、步骤法STEM法对于普通单层次多目的决策模型，经常采用化为单目的决策模型来求解。其方法大致可分为两类，一类是转化为一个单目的问题；另一类是转化为多个单目的问题。普通单层次多目的决策模型可表示为其中表示m个目的函数，X表示满足某些约束条件的n维点集。(6.3)一、主要目的法在有些多目的决策问题中，各种目的的重要程度往往不一样。其中一个重要程度最高和最为关键的目的，称之为主要目

17、的，其他的目的那么为非主要目的。例如，在多目的决策问题(6.3)式中，假设f1(x)为主要目的，其他m-1个目的为非主要目的。此时，希望主要目的到达极大值，并要求其他的目的满足一定的条件，即经过 求解单目的决策问题(6.4)可得多目的决策问题(6.3)的一个弱有效解。(6.4)例6.5 某工厂在一个方案期内消费甲、乙两种产品，各产品都要耗费原资料A、B和设备C三种不同的资源，每件产品对资源的单位耗费、各种资源的限量以及各产品的单位价钱、单位利润和所呵斥的单位污染如下表所示。假定产品能全部销售出去，问每期怎样安排消费，才干使利润和产值都到达最大，且呵斥的污染到达最小？ 产品资源甲乙资源限额原材料

18、A45200/公斤原材料B94240/公斤设备C310300/工时价格/（元/件）400600利润/（元/件）70120污染32解： 设甲、乙两种产品的产量分别为x1,x2件。该问题有3个目的，即该问题的约束条件为建立该问题的多目的决策模型：假定对上述模型的3个目的，工厂确定利润最大为主要目的，另两个目的那么经过预先给定的希望到达的目的转化为约束条件。经研讨，工厂以为总产值至少应到达20000个单位，而污染量那么应控制在90个单位以下，即由主要目的法得到如下单目的规划问题：用单纯形法求解，得x1=12.5,x2=26.25,f1(x)=4025,f2(x)=20750,f3(x)=90二、线性

19、加权和法 多目的决策问题(6.3)，对m个目的函数分别赋以权系数i,i=1,2,m,构成新的目的函数评价函数将求解多目的问题(6.3)转化为求解如下单目的决策问题由于多目的决策问题中关于目的的度量单位和数量级不同，普通先应作规范化处置。(6.5)二、线性加权和法 例6.6 某公司方案进一批新卡车，可供选择的卡车有4种类型：A1,A2,A3,A4,现思索6个方案属性：维修期限f1,百升汽油公里数f2,最大载重吨数f3，价钱(万元)f4，可靠性f5,灵敏性f6。这4种型号的卡车分别关于目的属性的目的fij如表所示。fijf1f2f3f4f5f6A12.01500455一般高A22.527003.4

20、65低一般A32.020004.245高很高A42.21800450很高一般解：先将定性目的定量化：可靠性：普通5，低3，高7，很高9灵敏性：高7，普通5，很高9按以下公式做无量纲的规范化处置： 变换后的目的值矩阵aij如下表：fijf1f2f3f4f5f6A1116750.53450.5A21001001111A3142.2510010067100A440.625.756775.251001设权系数向量 =0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3，那么由于，最优方案为选购A3型卡车。运用线性加权和法求解多目的决策问题的难点是如何找到合理的权系数，下面引见几种确定权系数方法。1. 法以两

21、个目的的多目的决策问题为例，解释法确定权系数的原理。设有多目的决策问题：化为单目的决策问题：其中，1，2由下述方程组来确定解上述方程组可得：假设规定 1+2=1，即可得到于是有例 6.7 设有多目的决策问题解：先分别对目的函数f1(x),f2(x)求得其最优解，它们是由此可得于是容易求得2. - 法设有多目的决策问题公式(6.3)，- 法确定权系数的原理是将公式(6.3)化为如下单目的决策问题适用条件：fi*0三、平方和加权法四、理想点法假设多目的决策问题公式(6.3)，对m个目的函数分别有最优值要求目的fi(x)与规定值fi*相差尽量小i=1, 2, , m，可构造目的函数：构成单目的决策问

22、题：i 权系数，可按要求的相差程度分别给出。设为x(0),那么x=x(0)即为公式(6.5)的最优解；假设不然，那么思索解如下单目的决策问题例6.8 设有多目的决策问题试用理想点法求解。解：先分别对目的函数f1(x),f2(x)求得其最优解，故理想点为F*=(f1*,f2*)T=(12,24)T 。然后求解单目的决策问题可求得最优解 x*=(0.53,5.65)T, 对应的目的函数值分别为五. 步骤法STEM法 是逐渐迭代的方法，也称逐渐进展法、对话式方法。在求解过程中，每进展一步，分析者就把计算结果通知决策者，决策者对计算结果作出评价。假设以为已称心了，那么迭代停顿；否那么分析者再根据决策者

23、的意见进展修正和再计算，如此直到求得决策者以为称心的解为止。设有多目的线性规划问题：其中STEM法的求解步骤：(1)分别求解k个单目标线性规划问题结果可列表给出称为支付表:得到的最优解记为x(i)，其相应的目的函数值记为fi*i=1, 2, , k，并x(i)代入其它目的函数：x(i)f1f2fjfkx(1)z11z21zj1zk1x(i)z1iz2izjizkix(k)z1kz2kzjkzkk(2)求权系数：从支付表中得到为找出目的值的偏向以及消除不同目的值的量纲不同的问题，进展如下处置：归一化后得权系数：(3)求解该线性规划问题的最优解记为x0 。(4)将x0 和相应的目的值交给决策者判别

24、。决策者把这些目的值与理想值进展比较后，假设以为称心了，那么可停顿计算；假设以为相差太远，那么思索适当修正 。如：思索对第r个目的让一点步，降低一点目的值fr 。(5)求解求得解后，再与决策者对话，如此反复，直至决策者以为称心了为止。例6.9某公司思索消费甲、乙两种太阳能电池，消费过程会在空气中引起放射性污染，因此决策者有两个目的：极大化利润与极小化总的放射性污染。知在一个消费周期内，每单位甲产品的收益是1元，每单位乙产品的收益是3元；每单位甲产品的放射性污染是1.5单位，每单位乙产品的放射性污染是1单位，由于机器才干小时、装配才干人时和可用的原资料单位的限制，约束条件是 x1、x2分别为甲、

25、乙产品的产量：该问题的目的函数为：先分别求解得： x(1)=(7.25, 12.75)T， x(2)=(0, 0)T f1*=45.5， f2*=0支付表f1f2x(1)=(7.25, 12.75)T45.523.625x(2)=(0, 0)T00求权系数：从支付表中得到归一化后得权系数：求解最优解为x0=(0, 9.57)T, f1(x0)=28.71, f2(x0)=-9.57 将x0=(0, 9.57)T, f1(x0)=28.71, f2(x0)=-9.57 交给决策者判别。决策者将其与理想值45.5, 0进展比较后，以为f2 是称心的，但利润太低。且以为可以接受污染值为10个单位。修

26、正约束集求解得x1=(0, 10)T, f1(x1)=30, f2(x0)=-10 决策者以为称心，停顿迭代。 6.4 多维成效并合方法 如何处理多目的决策出现的不可公度性和矛盾性？ 一、多维成效并合模型二、多维成效并合规那么三、多维成效并合方法运用实例问题一、多维成效并合模型设多目的决策问题有s个评价准那么，有m个可行方案 测定和计算s个评价准那么相应的成效函数为u1，u2，us，得到 m个可分方案a1，a2，am在S个评价准那么下的成效值分别是 将s个分成效并合为总成效，并根据总成效对可行方案进展排序 适用：主要处理序列型多层次目的准那么体系问题 多维效用并合方法 一、多维成效并合模型设经

27、过系统分析，曾经构建了序列型多层次目的准那么体系 总效用值（满意度 ）效用并合过程从下到上逐层进行 第二层子目标的效用值 倒数第二层各子目标的效用值 最低一层各准则的效用值 符号“。”表示接某种规则和逻缉程序进行的效用并合运算Hv1w1u1v2vlw2Wk-1wku2upUp+1us-1us一、多维成效并合模型 最低一层各准那么的成效，经过并合得到 如此并合，继续由下而上进展第三层子目的的成效并合得到第二层各目的的并合成效值一、多维成效并合模型 i=1,2,m 6.8最后，可行方案ai的称心度多维成效并合的最称心方案为a*，其称心度二、多维成效并合规那么定义域是坐标平面u1u2上的一个正方形，

28、称为二维效用平面 值域是W轴上的区间0，1，曲面WW（u1，,un）称为n维效用曲面 定义域是n维效用空间上有2n个顶点的凸多面体 凸多面体：其任两点的凸组合仍属于它。 k1 u1 +k2 u2 （k1 +k2=1, k1,k2=0）二维成效函数 设成效u1,u2分别在区间0,1上取值，二元延续函数wwu1,u2 n维成效函数 设成效u1，u2，un分别在区间0，1取值，n元延续函数Wwu1，u2，un 二、多维成效并合规那么决策目的的属性不同，成效并合的方式不同讨论几种常用的二维成效并合规那么1间隔规那么满足如下条件： 当二成效同时到达最大值时并合成效才到达最大值； 当二成效同时取最小值时并

29、合成效取零成效值 ； 二成效之一到达最大值 均不能使并合成效到达最大值； 二维成效平面上其他各点成效值，与该点与并合成效最大值点的间隔成正比例 ；二、多维成效并合规那么设二维成效函数W=Wu1，u2按照间隔规那么所满足的条件，W=Wu1，u2应该满足条件：W1，1=1；W0，0=0；0w(1,u2) 1, 0u210w(u1,1) 1, 0u11 设成效最大值点为Q*(1,1)，成效最小值点Qo0,0，即有WQ*=1，WQo0点Q*与Qo之间的间隔为 1.414 点Qu1，u2与点Q*之间的间隔为 W(u1, u2)取值与间隔d= 成正比例变化. d= 于是，根据条件，有比例式即从而解得6.9

30、:二、多维成效并合规那么 公式6.9可以推行到多维情形 . n维成效空间是一个有2n个顶点的凸多面体, 独一点Q*1，1，1是并合成效最大值点，即WQ*=1. 独一零成效值点Qo0，0，0，即WQo0 . n维成效空间任一点Qu1，u2，un与点Q*之间的间隔为二、多维成效并合规那么 点Q*与Qo之间的间隔为 于是，同样可以推出n维成效并合的间隔规那么计算公式为d=6.10例如：本钱和效益的成效并合可以按间隔规那么进展，并合成效函数 二、多维成效并合规那么W0，0=0；W1，1=1； w( 1,u2) =1, 0u21 w(u1,1) =1, 0u11 设代换规那么所确定的二维成效函数wWu1

31、，u2，根据代换规那么的特点，此成效函数应该满足条件：2代换规那么满足条件：二成效对决策主体具有同等重要性。 只需其中一个目的的成效获得最大值并合成效也到达最高程度 二、多维成效并合规那么推行到多维情形 在n维成效空间中，除点Qo0，0，0并合成效值为零以外 ，凸多面体成效空间的其他2n1个顶点的总成效值均等于 1 (6.11) (6.12)由上述条件，容易导出代换规那么的二维成效并合公式为n维成效并合的代换公式为二、多维成效并合规那么W1，1=1；3加法规那么 适用情况：二成效的变化具有相关性，对并合成效的奉献没有本质差别，并且可以相互线性地补偿，即一目的成效的减少可以由另一目的成效值的添加

32、得到补偿. 完美的总成效只需当二成效值均到达最高程度时才干实现 加法规那么所确定的二维成效函数WWu1，u2，应满足如下条件：W0，0=0；0w(1,0) =1 ， W(0,1)=2 ，并且1+2=1.二、多维成效并合规那么根据上述条件，容易导出加法规那么的二维成效并合公式为 推行到普通情形 n维成效空间 ，除 W Q*=1， WQo=0外，其他2n2个顶点的并合成效值均在0和1之间 。其中仅有一维成效值为1，其他维成效值为0的n个点的并合成效值大小，由该成效对并合成效的重要程度来决议。 其中，1,2为常数，0i1i1，2，称为二成效u1，u2的权系数，表示二成效各自在并合中的重要程度二、多维

33、成效并合规那么6.14加法规那么的n维并合成效公式为例如，居民消费程度目的可以分解为吃、用两个子目的，其中一个子目的成效值减少，而另一个子目的成效值添加，可以以为它们之间相互可以补偿，居民消费程度并没有下降 i称为第i个目的成效的权系数其中二、多维成效并合规那么 W1，1=1； W0，0=0； W1，0=W0，1=0；4乘法规那么 乘法规那么确定的二维成效函数WWu1,u2，应满足如下条件：适用情况：二目的成效对于并合效器具有同等重要性，相互之间完全不能替代。只需其中恣意一个目的成效值为0，无论另一个目的成效取值多大，并合成效值均为0 二目的成效对于并合效器具有同等重要性，相互之间完全不能替代

34、二、多维成效并合规那么根据乘法法那么与代换法那么的关系，容易导出乘法法那么的二维成效并合公式由公式6.11，有 令于是，得到乘法法那么并合成效计算公式是正常数其中，乘法法那么成效并合更普通的计算公式是当时，即为公式 6.15 (6.15)(6.16)二、多维成效并合规那么更普通的计算公式是 也可以表示为对数方式，即 其中， 是正常数当 时，即为公式6.17 (6.18)(6.19) (6.17)推行到多维情形 n维成效空间 ，其凸多面体 个顶点，除点Q*的并合成效值等于1之外，其他 个顶点的并合成效值均为0 n维成效并合乘法规律的计算公式为二、多维成效并合规那么 (6.20) (6.21)5混

35、合规那么混合规那么适用于各目的成效之间较为复杂的关系 ，当代换、加法和乘法三规那么选用哪一种拿不准时，可以运用混合规那么。混合规那么的二维成效并合公式，可由代换规那么二维成效并合公式6.11变化而得，用 替代当 0时，经过简单恒等变形，公式6.20可以化为较为规范的方式那么有1称为方式因子，取不同值分别表示上述三种规那么：二、多维成效并合规那么当方式因子 1，且c1c2=1时，公式化为代换规那么方式，即 (6.22)当 = 0时，c1+c2=1时，公式化为加法规那么方式；即当 0时，公式近似于乘法规那么方式，即推行到n维情形，混合规那么的n维成效并合公式为三、多维成效并合方法运用实例我国总人口

36、目的 实例是西安交通大学系统工程研讨所已完成的研讨课题，援用已发表的部分资料 运用多维成效并合方法 问题 在100年内，我国人口控制最合理的总目标是多少 ？背景我国人口发展周期，应是人均寿命70年制定人口控制目标方案，宜以100年为时间范围 方案对我国总人口目标的14个方案进行决策分析，即我国总人口分别控制为2亿15亿14个人口方案分别记为 ai，其满意度分别设为Hi（i 1 14） 三、多维成效并合方法运用实例3目的准那么体系 序列型，简化处置,共分为五个层次 总目的：100年内我国最合理的人口目的 分目的：共设四个分目的 分目的1根据我国资源和环境条件，在决策分析的时间范围内，能 接受的供

37、全国人民吃和用的才干，简称“吃用 分目的2根据我国国民经济开展规划，与总人口目的相顺应的经济 实力，简称“实力 分目的3根据我国方案生育政策，人民群众所能接受的最低总和生 育率，大约等于一对夫妇终身中平均生育孩子数，简记为 “ 分目的4我国总人口增长要与世界各国人口增长相顺应一个国家 人口太多，将成为社会经济开展的繁重负担但人口毕竟 是一个国家的重要资源，也不宜太少和世界各国人口对 比，简称“各国对比 以上四个分目的，在计算并合成效时，将“吃用和“实力并合为成效值V1，“ 和“各国对比并合为成效值V2我国人口总目标HV1V2三、多维成效并合方法运用实例“吃分解为人均粮食需求和人均鱼肉需求两个更

38、低一层的子目的，简称“粮食和“鱼肉“用也可以分解为人均土地需求、人均空气需求、人均用水需求三个低一层子目的，简称“土地、“空气、“水。 子目标：需要作进一步地分解 吃w1粮食u1鱼肉u2用w2土地u3空气u4水u5三、多维成效并合方法运用实例分目的“实力可以分解为人均能源需求和人均国民消费总值两个子目的，简称“能源和“GNP 分目标“吃用”最后分解为5个最底一层子目标，其评价效用值分别为 ui（i l， 2， 5） “能源”和“GNP”其评价效用值分别记为u6，u7， 分目标“”和“各国对比”均可以用单一准则评价，故不必分解，其效用值分别记为u8，u9实力v2能源u6GNPu7三、多维成效并合

39、方法运用实例目的准那么体系为 图6.7我国人口总目标HV1吃w1粮食u1实力v2用w2鱼肉u2土地u3图6.7V2吃用v1空气u4水u5minu8各国对比u9能源u6GNPu7+三、多维成效并合方法运用实例4评价准那么和成效 分别用9个准那么评价度量，测定相应的成效函数，计算各人口方案的成效值 粮食 按照结合国粮农组织有关人均耗粮规范资料测算，总人口数 N=12.6亿时，人均粮食需求量为最优值，取 N* 12. 6亿，成效值 u1 N*1总人口数N=648亿，人均粮食需求量为最劣值，取No=648亿，u1No=0 三、多维成效并合方法运用实例根据成效函数导出方法，可以求出“粮食准那么的成效函数

40、UU1N图6.8，并计算出14个方案的成效值图6.8u1三、多维成效并合方法运用实例土地 按照人均耕地增长和人口总数增长比例测算认定，总人口数 N10亿时，人均土地占有量为最优值，取 N* 10当总人口数N56.7亿时，人均土地占有量为最劣值，取No56.7亿 导出“土地准那么的成效函数uu3N图6.9，并计算出N个方案的成效值，即 三、多维成效并合方法运用实例水 根据我国人口增长、工农业生活用水量增长和水资源开发利用等情况，结合世界各国用水资料对比分析，认定总人口数N=4.5亿时，人均用水需求量准那么其成效为最优值，取N*4.5 图6.9三、多维成效并合方法运用实例当总人口数N54亿时，人均

41、用水需求量准那么其成效为最劣值，取No54亿，导出相应成效函数uu5N图6.10，并计算各方案的成效值，即 三、多维成效并合方法运用实例能源 按世界各国人均能源需求规范测算，认定总人口 N=11.5亿时，人均能源需求量的成效最优，取N*= 11.5亿 图6.10三、多维成效并合方法运用实例 随着总人口添加，其成效值逐渐减少，当总人口超越 50亿时，其成效值接近于0导出能源目的准那么成效函数 u=u6N图6.11，计算各方案的成效值即图6.11三、多维成效并合方法运用实例 认定总人口数N= 7亿时，目的成效值最优，取 N*7亿假设 100年内一胎率到达100，预测100年后总人口数为2.333.

42、07亿，根据我国国情难以实现 由此，认定Na2a3 即建筑天桥为最称心方案，其次建筑人行道，最次建筑商场6.6DEA方法在社会、经济和管理领域中，经常需求对具有一样类型的部门、企业或者同一企业不同时期的相对效率进展评价。 决策单元待评价的部门、企业或时期。评价的根据是决策单元的一组投入目的 数据和一组产出目的数据。投入目的是指决策单元在社会、经济和管理活动中需求耗费的经济量。产出目的是指决策单元在某种投入要素组合下，阐明经济活动产生效果的经济量。常见的投入目的：固定资产原值、流动资金平均余额、自筹技术开发资金、职工人数、占用土地等。常见的产出目的：总产值、销售收入、利税总额、产品数量、劳动消费

43、率、产值利润率等。问题：如何根据投入目的数据和产出目的数据评价决策单元的相对效率，即评价部门、企业或时期之间的相对有效性？DEAData Envelopment Analysis方法又称为数据包络分析方法，是对多目的投入和多目的产出的一样类型部门，进展相对有效性综合评价的一种新方法，也是研讨多投入多产出消费函数的有力工具。DEA方法就是根据输入数据和输出数据来评价决策单元的优劣，即所谓评价部门或单位间的相对有效性的方法。6.6.1DEA模型1.DEA模型概述DEA方法是美国著名运筹学家查恩斯和库伯教授于1978年首先提出的，适用于多目的投入和多目的产出决策单元的相对有效性评价，以相对效率概念为

44、根底。在国外，该方法曾经胜利地运用于银行、城市、医院、学校及军事工程等方面效率评价，在对相互之间存在猛烈竞争的私营企业和公司的效率评价中，也有宏大的优越性。 DEA模型特点：以最优化为工具，以多目的投入和多目的产出的权系数为决策变量，在最优化的意义上进展评价，防止了在统计平均意义上确定目的权系数，具有内在的客观性。不需求确定投入和产出之间关系的详细方式，具有黑箱类型研讨方法的特征。2.C2R 模型及其根本性质设有n个部门或企业决策单元，每个决策单元都有m种投入和p种产出。xij：第 j 个决策单元第 i 种投入目的的投入量， xij0，是知数据；yrj：第 j 个决策单元第 r 种产出目的的产

45、出量， yrj 0，是知数据；vi：第 i 种投入目的的权系数(待定)，vi0；ur：第 r 种产出目的的权系数(待定)，ur0；i=1，2，m；j=1，2，nr=1，2，p投入产出决策单元对每个决策单元，都定义一个效率评价目的hj表示第j个决策单元所获得的经济效率，可以适中选择权系数，使得hj1。其中：u=(u1, u2, , up)T, v=(v1, v2, , vm)T, xj=(x1j, x2j, , xmj)T, yj=(y1j, y2j, , yrj)T设第j0个决策单元的投入和产出向量分别为：x0=(x1j0, x2j0, xmj0)T, y0=(y1j0, y2j0, ypj0

46、)T效率目的h0=hj0评价第j0个决策单元有效性相对于其它决策单元而言的模型为：称为CCR模型C2R是一个分式规划，令t=1/vTx0，=tv, =tu，那么可化为一个等价的线性规划问题：线性规划(P )的对偶问题为：其中：s- =(s1-, s2-, sm-)T,s+=(s1+, s2+, , sp+)T, 为松驰变量向量。3. 决策单元的DEA有效性定义6.6：假设线性规划(P)的最优解0,0满足：VP(0)Ty01那么称决策单元j0为弱DEA有效。定义6.7：假设线性规划(P)的最优解0,0满足：VP(0)Ty01，且00，00那么称决策单元j0为DEA有效。决策单元j0为DEA有效的

47、含义：指决策单元j0相对于其它决策单元，其效率评价目的获得最优值，即在多目的投入和多目的产出的情况下，获得了最正确经济效率。定理6.6：假设线性规划(P)及其对偶问题(D)都有可行解，那么(P)和(D)都有最优解，且最优值VPVD1因此，也可利用对偶规划断定决策单元的DEA有效性。定理6.7：关于对偶规划(D)有：(1)假设(D)的最优值VD1，那么决策单元j0为弱DEA有效。(2)假设(D)的最优值VD1，且每个最优解0 =(10, 20,n0)T, s0+，s0-,0都满足s0+ s0- =0，那么决策单元j0为DEA有效。实践中，评价系统的投入、产出目的均有不同的量纲。定理6.8：决策单

48、元的最优效率目的VP与投入目的xij及产出目的yrj的量纲选取无关。实践运用中，无论利用线性规划(P)根据定义1、2，或利用对偶规划(D)根据定理2断定决策单元能否DEA有效都不是容易的。为使断定决策单元能否DEA有效更简便、适用，查恩斯和库伯援用了非阿基米德无穷小，带有的C2R 模型能用单纯形法求解。带有的C2R模型其中：P的对偶规划为决策单元的DEA有效性断定：利用带有的C2R 模型D，容易判别决策单元的DEA有效性。定理6.9：设为非阿基米德无穷小，线性规划D的最为优解0, s0+，s0-,0，有：(1)假设01，那么决策单元j0为弱DEA有效。(2)假设01，且s0+ s0- =0，那

49、么决策单元j0为DEA有效。利用模型D一次计算即可断定决策单元能否DEA有效，实践操作中，只需取足够小就可以了。例 6.15设有 4个决策单元， 2个投入目的和 1个产出目的的评价系统，其数据如以下图 所示。试写出评价每个决策单元相对效率的 C2R模型并断定其DEA有效性。产出决策单元解:评价第1个决策单元相对效率C2R模型的线性规划P，对偶规划D分别为 解得：故决策单元1为DEA有效。评价第2个决策单元相对效率C2R模型的线性规划和对偶规划分别为： 解得：故决策单元2为DEA有效。评价第3个决策单元相对效率C2R模型的线性规划和对偶规划分别为： 解得：故决策单元3不是弱DEA有效。评价第4个

50、决策单元相对效率C2R模型的线性规划和对偶规划分别为： 解得：故决策单元4不是弱DEA有效。4.DEA有效决策单元的构造定义6.8：设0，s0-,s0+,0是对偶问题(D)的最优解。令： 称为决策单元j0对应的(x0,y0)在DEA的相对有效面上的投影。定理6.10：设 为决策单元j0对应的(x0,y0)在DEA的相对有效面上的投影。那么新决策单元相对于原来的n个决策单元来说，是DEA有效的。 例 6.15处理策单元3、4均不是DEA有效的决策单元3对应的对偶线性规划D2的解为构造新的决策单元：新决策单元相对于原有的4个决策单元是DEA有效的。决策单元4对应的对偶线性规划D4的解为构造新的决策单元：新决策单元相对于原有的4个决策单元是DEA有效的。6.6.2DEA有效性的经济意义1消费函数和消费能够集 消费函数: y=f(x)表示理想的消费形状，即(在单投入和单产出的情况下)投入量x所能获得的最大产出量y。技术有效：当企业用现有的投入无法得到更大的产出，或无法以更少的投入获得现有的产出时，称其处于技术有效形状。消费函数曲线上的