管理运筹学02线性规划课件

1、1. 线性规划问题及其数学模型2. 线性规划的图解法3. 线性规划问题的标准形式4. 线性规划的解集特征5. 线性规划的单纯形法6. 单纯形法的进一步讨论第二章 线性规划7/26/20221线性规划问题及其数学模型资源合理利用问题：第5页例2-1质量检验问题：第6页例2-2线性规划数学模型的一般形式7/26/20222资源合理利用问题：第5页例2-1 1. 决策变量：x1和x2 2. 目标函数：max (2 x1+3 x2) 3. 约束条件：10 x1+20 x2 80 4 x1 16 6 x2 18 x1，x2 07/26/20223 质量检验问题：第6页例2-2 1.决策变量：x1和x2

2、2.目标函数：min(40 x1+36 x2) 3.约束条件：5 x1+3 x2 45 x1 8 x2 10 x1，x2 07/26/20224线性规划数学模型的一般形式 1. 决策变量是非负变量； 2. 目标函数是线性函数； 3. 约束条件是线性等式或不等式组。 一般形式为： max(min)(c1 x1+ c2 x2 + cn xn ) a11 x1+ a12 x2 + a1n xn (=,) b1 a21 x1+ a22 x2 + a2n xn (=,) b2 am1 x1+ am2 x2 + amn xn (=,) bm x1 ， x2 ， ， xn 0 7/26/20225 线性规划

3、的图解法1.局限性：只能求解具有两个变量的线性规划问题。2.学习目的：图解法只能求解具有两个决策变量的线性规划问题，其应用具有很大的局限性，因此学习图解法的目的并非是要掌握一种线性规划问题的求解方法，而是要通过图解法揭示线性规划问题的内在规律，为学习线性规划问题的一般算法（单纯形法）奠定基础。3.线性规划有关解的几个概念4.图解法的基本步骤5.图解法所反映出的一般结论7/26/20226线性规划有关解的几个概念 1. 可行解：满足约束条件的一组决策变量的取值； 2. 可行域：可行解所构成的集合； 3. 最优解：使目标函数达到极值的可行解； 4. 最优值：与最优解相对应的目标函数的取值。7/26

4、/20227图解法的基本步骤 1.画出平面直角坐标系； 2.将约束条件逐一反映进平面直角坐标系，用标号和箭线表明约束条件的顺序和不等号的方向； 3.找出可行域并反映出目标函数直线的斜率； 4.平移目标函数直线找出最优解。 5.例题：第7页例2-3：用图解法求解例2-1 6.习题：第8页例2-4：用图解法求解例2-2 7/26/20228用图解法求解例2-1x1x2432101 2 3 4 5 6 7 87/26/20229用图解法求解例2-1x1x2432101 2 3 4 5 6 7 87/26/202210用图解法求解例2-1x1x2432101 2 3 4 5 6 7 87/26/202

5、211用图解法求解例2-1x1x2432101 2 3 4 5 6 7 87/26/202212用图解法求解例2-1x1x2432101 2 3 4 5 6 7 87/26/202213用图解法求解例2-1x1x2432101 2 3 4 5 6 7 87/26/202214用图解法求解例2-1x1x2432101 2 3 4 5 6 7 87/26/202215用图解法求解例2-2x1x2 5 10 151510507/26/202216图解法所反应出的一般结论1.线性规划问题的可行域是凸多边形；2.如果线性规划问题有最优解，其最优解一定可以在其可行域的顶点上得到，而不会在可行域的内部；3.

6、如果线性规划问题在其可行域的两个顶点上得到最优解，那么两顶点连线上的所有点均为最优解点；4.线性规划问题的解可能有四种情况：唯一最优解；无穷多最优解；无界解和无可行解。7/26/202217线形规划问题的标准形式1. 标准形式的基本条件：（1）决策变量非负；（2）目标函数极大化（或极小化）；（3）约束条件为严格等式，且右端项非负。2. 标准形式的表示： 代数式；和式；向量式；矩阵式 3. 标准形式的转化7/26/202218线性规划的标准型：代数式 min z =c1x1+c2x2+cnxn a11x1+a12x2+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+a2nxn=b2 am1x1+am2

7、x2+amnxn=bm xj 0 j =1,2,n 7/26/202219线性规划的标准型：和式 min z =cjxj aijxj=bi i=1,2,m xj 0 j=1,2,nj=1nnj=17/26/202220线性规划的标准型：向量式 min z = CX pjxj=bi i=1,2,m xj 0 j=1,2,n C=(c1,c2,c3,cn) X=(X1,X2,X3,Xn) Tnj=17/26/202221线性规划的标准型：矩阵式 min z =CX AX=b，X 0 ， b 0 其中： b=(b1,b2,bm)T a11 a12 .a1n A= a21 a22 a2n am1 am

8、2 amn7/26/202222标准形式的转化1.无约束变量x的处理： x=y-z, 其中y,z02.负数变量x的处理： x=-y,其中y03.目标函数极小化的处理： Min CX=- Max(-CX)4.非等式约束条件的处理： 加松弛变量或减剩余变量5.右端项为负：两端同乘“-1”7/26/202223线形规划的解集特征1.线性规划基与解的概念 (1)基、基列、基变量和非基变量 (2)基解、基可行解和可行基2.凸集的概念与解集的基本定理 (1)凸集的概念 (2)解集的基本定理7/26/202224线性规划基与解的概念1.基、基列、基变量和非基变量 (1) 基： Max CX, AX=b, X

9、0, b0 Amn其秩为m，B 是 Amn中的一个mm阶满秩矩阵，则称B是线 性规划问题的一个基 (2) 基列：基 B 中所包含的m个列向量 (3) 基变量：基列所对应的决策变量 (4) 非基变量：基变量以外的决策变量2.基解、基可行解、可行基 (1) 基解：令所有的非基变量为零，所求得的一组解 (2) 基可行解：所有分量均为非负的基解 (3) 可行基：与基可行解所对应的基7/26/202225凸集的概念与解集的基本定理1.凸集的概念：设 K 是 n 维欧氏空间的一点集，若任意两点 X(1) k，X(2) k 的连线上的一切点 X(1) + (1-) X(2) k，(0 1) 则称 k 为凸集

10、。2.解集的基本定理： (1) 若线性规划问题存在可行域，则其可行域是凸集； (2) 线性规划问题的基可行解对应其可行域的顶点； (3) 若线性规划问题存在最优解，则其最优解一定能在基可行解中找到。7/26/202226线性规划的单纯形法1.单纯形法的基本原理 (1) 单纯形法的基本思路 (2) 第12页例2-62.最优性检验与解的判别3.单纯形表4.单纯形法的基本步骤5.用单纯形法求解例2-66.课上习题7/26/202227单纯形法的基本思路1. 找出一个初始的基可行解；2. 判断其最优性；3. 转移至另一个较优的基可行解；4. 重复2、3两步直至最优。7/26/202228第12页例2-

11、6Max z = 2x1 + 3x2 10 x1 + 20 x2 + x3 = 80 4x1 + x4 = 16 6x2 + x5 = 18 x1， x2， x3， x4， x5 0B = (p3，p4，p5)X(0) = (0，0，80，16，18)T Z(0) = 0，z = 2x1 + 3x2寻找相邻的基可行解7/26/202229例2-6Max (2，3) = 3 x2入基Min (80/20，18/6) = 3 x5出基B = (p3，p4，p2) 10 x1 + x3 - 10/3 x5 = 20 4x1 + x4 = 16 x2 + 1/6 x5 = 3X(1) = (0，3，2

12、0，16，0)T Z(1) = 9，z = 9 + 2x1 - 1/2 x57/26/202230例2-6Max (2) = 2 x1入基Min (20/10，16/4) = 2 x3出基B = (p1，p4，p2) x1 + 1/10 x3 - 1/3 x5 = 2 - 2/5 x3 + x4 + 4/3 x5 = 8 x2 + 1/6 x5 = 3X(2) = (2，3，0，8，0)T Z(2) = 13，z = 13 - 1/5 x3 + 1/6 x57/26/202231例2-6Max (1/6) = 1/6 x5入基Min (8/(4/3)，3/(1/6) = 6 x4出基B = (

13、p1，p5，p2) x1 + 1/4 x 4 = 4 - 3/10 x3 + 3/4 x4 + x5 = 6 x2 + 1/20 x3 - 1/8 x4 = 2X(3) = (4，2，0，0，6)T Z(3) = 14，z = 14 - 9/10 x3 - 1/8 x47/26/202232最优性检验与解的判别7/26/202233单纯形表7/26/202234单纯形法的基本步骤1.数学模型标准化、正规化；2.建立初始单纯形表；3.计算检验数并判断最优性，结束或继续；4.确定入基变量和出基变量，5.迭代运算；6.重复3、4、5步，直至结束。7/26/202235用单纯形法求解例2-67/26/

14、202236用单纯形法求解例2-67/26/202237用单纯形法求解例2-67/26/202238用单纯形法求解例2-67/26/202239课上习题1. Max z =2x1 + 4x2 + x3 + x4 x1 + 3x2 + x4 8 2x1 + x2 6 x2 + x3 + x4 6 x1 + x2 + x3 9 x14 02.第17页例2-103.第19页例2-117/26/202240单纯形法的进一步讨论1. 计算问题 (1) 入基变量的选择 (2) 解的退化2. 人工变量与初始正规基 (1) 大M法 (2) 两阶段法7/26/202241入基变量的选择 入基变量是根据最大正检验

15、数来选择的，这样做的目的是为了使目标函数得到最大的增量，因此当最大正检验数有多个时，可主观地选择它们中的任意一个作为入基变量。其实具有正检验数的所有非基变量都可作为入基变量。7/26/202242出基变量的选择与解的退化1. 退化解：部分基变量的值为零的基可行解称为退化解。2. 在选择出基变量时，如果最小比值不唯一，可主观确定出基变量，此时产生退化解。3. 例7/26/202243例Max z =2x4 +(3/2)x6 x1 + x4 - x5 = 8 x2 + 2 x4 + x6 = 4 x3 + x4 + x5 + x6 = 3 x16 07/26/202244例7/26/202245例

16、7/26/202246例7/26/202247例7/26/202248例7/26/202249人工变量与初始正规基第21页例2-13: Min z = -3x1 + x2 + x3 x1 - 2x2 + x3 11 -4x1 + x2 + 2x3 3 2x1 - x3 = -1 x1 ， x2 ， x3 0(1)标准化7/26/202250例2-13的标准化 Min z = -3x1 + x2 + x3 x1 - 2x2 + x3 + x4 = 11 -4x1 + x2 + 2x3 - x5 = 3 -2x1 + x3 = 1 x15 0(2)正规化7/26/202251例2-13的正规化人工

17、变量：为构造基变量（正规基）人为加入的变量 x1 - 2x2 + x3 + x4 = 11 -4x1 + x2 + 2x3 - x5 + x6 = 3 -2x1 + x3 + x7 = 1 x17 0初始正规基 B= (p4, p6, p7) = E7/26/202252大M法1. 大M法：令人工变量的价值系数为“-M” (极大值)或 “M” (极小值)的单纯形法即称为大M法；例如： Min z = -3x1 + x2 + x3 + M x人1+M x人2 Max z = 2x1 + x2 + 4x3 - M x人1+M x人22. 例2-13的大M法3. 习题（大M法）7/26/202253

18、用大M法求解例2-13 Min z = -3x1 + x2 + x3 x1 - 2x2 + x3 11 -4x1 + x2 + 2x3 3 2x1 - x3 = -1 x1 ， x2 ， x3 07/26/202254用大M法求解例1.13 Min z = -3x1 + x2 + x3 + Mx6 + Mx7 x1 - 2x2 + x3 + x4 = 11 -4x1 + x2 +2x3 - x5 + x6 = 3 -2x1 + x3 + x7 = 1 x17 07/26/202255用大M法求解例1.137/26/202256用大M法求解例1.137/26/202257用大M法求解例1.137

19、/26/202258用大M法求解例1.137/26/202259习题（用大M法求解） Max z = 2x1 + 4x2 + x3 x1 + x2 + x3 6 x1 + x2 - 2x3 4 x1 - 2x2 + x3 8 x1 ， x2 ， x3 07/26/202260习题（用大M法求解） Max z = 2x1 + 4x2 + x3 - Mx7 x1 + x2 + x3 + x4 = 6 x1 + x2 - 2x3 + x 5 = 4 x1 - 2x2 + x3 - x6 + x7 = 8 x17 07/26/202261习题（用大M法求解）7/26/202262习题（用大M法求解）7/26/202263习题（用大M法求解）7/26/202264两阶段法1. 两阶段法：第一阶段，在原约束条件下，求所有人工变量和的最小值；第一阶段的目的是获得问题的一个初始基可行解（人工变量和的最小值为零）或得出问题无可行解（人工变量和的最小值大于零）的结论；第二阶段，去掉人工变量，在原目标下从已得到的基可行解开始优化。2. 例2-13的两阶段法3. 习题（两