数字信号处理第七章资料

1、掌握线性相位FIR数字滤波器的特点掌握窗函数设计法理解频率抽样设计法了解设计FIR滤波器的最优化方法(fngf)理解IIR与FIR数字滤波器的比较第七章 FIR数字滤波器的设计(shj)方法共九十四页IIR数字(shz)滤波器：可以(ky)利用模拟滤波器设计但相位非线性FIR数字滤波器： 可以严格线性相位，又可任意幅度特性因果稳定系统可用FFT计算但阶次比IIR滤波器要高得多共九十四页一、线性相位(xingwi)FIR滤波器的特点 FIR滤波器的单位(dnwi)冲激响应：系统函数：在 z 平面有N 1 个零点在 z = 0 处是N 1 阶极点 共九十四页h(n)为实序列(xli)时，其频率响应

2、：1、线性相位(xingwi)条件即群延时 是常数第二类线性相位：第一类线性相位：线性相位是指 是 的线性函数共九十四页第一类线性相位：共九十四页第一类线性相位 的充要条件：n = (N 1) /2 为h(n)的偶对称中心共九十四页第二类线性相位 的充要条件：n = (N 1) /2 为h(n)的奇对称中心共九十四页2、线性相位FIR滤波器频率响应(pn l xin yn)的特点系统(xtng)函数：由共九十四页共九十四页共九十四页频率响应(pn l xin yn)：1）h(n)偶对称(duchn)为第一类线性相位相位函数：共九十四页频率响应(pn l xin yn)：2）h(n)奇对称(du

3、chn)相位函数：为第二类线性相位共九十四页3、幅度(fd)函数的特点1）h(n)偶对称(duchn)，N为奇数幅度函数：共九十四页其中：共九十四页共九十四页2）h(n)偶对称(duchn)，N为偶数幅度函数：共九十四页其中：共九十四页 故不能设计(shj)成高通、带阻滤波器 共九十四页3）h(n)奇对称(duchn)，N为奇数幅度函数：共九十四页其中：共九十四页 共九十四页4）h(n)奇对称(duchn)，N为偶数幅度函数：共九十四页其中：共九十四页 h(n)为奇对称时，有900相移，适用(shyng)于微分器和900移相器，而选频滤波器采用h(n)为偶对称时共九十四页4、零点(ln din

4、)位置得：由1）若 z = zi 是H(z)的零点(ln din)，则 z = zi-1 也是零点2）h(n)为实数，则零点共轭成对线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对 即共轭成对且镜像成对共九十四页共九十四页1 已知FIR滤波器的单位脉冲响应为： （1） h(n)长度N=6 h(0)=h(5)=1.5 h(1)=h(4)=2 h(2)=h(3)=3（2） h(n)长度N=7 h(0)= h(6)=3 h(1)= h(5)= 2 h(2)=h(4)=1 h(3)=0试分别说明(shumng)它们的幅度特性和相位特性各有什么特点。 共九十四页解： （1） 由所给h(n)的取值可知(k zh)，

5、h(n)满足h(n)=h(N1n)， 所以FIR滤波器具有A类线性相位特性： 由于N=6为偶数(情况2)， 所以(suy)幅度特性关于=点奇对称。 共九十四页（2） 由题中h(n)值可知， h(n)满足h(n)=h(N1n)， 所以(suy)FIR滤波器具有B类线性相位特性： 由于(yuy)7为奇数(情况3)， 所以幅度特性关于=0, , 2三点奇对称。共九十四页2 已知第一类线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应长度为16， 其16个频域幅度采样值中的前9个为： Hg(0)=12， Hg(1)=8.34， Hg(2)=3.79， Hg(3)Hg(8)=0 根据第一类线性相位FIR滤波器幅度特性(

6、txng)Hg()的特点， 求其余7个频域幅度采样值。 共九十四页解： 因为N=16是偶数(u sh)（情况2）， 所以FIR滤波器幅度特性Hg()关于=点奇对称， 即Hg(2)=Hg()。 其N点采样关于k=N/2点奇对称， 即Hg(Nk)=Hg(k) k=1, 2, , 15综上所述, 可知其余7个频域幅度采样值： Hg(15)=Hg(1)=8.34， Hg(14)=Hg(2)=3.79， Hg(13)Hg(9)=0共九十四页二、窗函数(hnsh)设计法 1、设计(shj)方法w(n)：窗函数序列要选择合适的形状和长度共九十四页以低通滤波器为例讨论(toln)：线性相位(xingwi)理想

7、低通滤波器的频率响应：其理想单位抽样响应：中心点为 的偶对称无限长非因果序列共九十四页 共九十四页取矩形(jxng)窗：则FIR滤波器的单位(dnwi)抽样响应：按第一类线性相位条件，得共九十四页 共九十四页加窗处理(chl)后对频率响应的影响：时域乘积(chngj)相当于频域卷积而矩形窗的频率响应：共九十四页理想(lxing)滤波器的频率响应：其幅度函数：则FIR滤波器的频率响应(pn l xin yn)：共九十四页 共九十四页 幅度函数：共九十四页加窗函数(hnsh)的影响：不连续(linx)点处边沿加宽形成过渡带，其宽度（两肩峰之间的宽度）等于窗函数频率响应的主瓣宽度。在 处出现肩峰值，

8、两侧形成起伏振 荡，振荡的幅度和多少取决于旁瓣的幅度和多少改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗函数形状决定，称为Gibbs效应共九十四页2、各种( zhn)窗函数窗函数(hnsh)的要求：窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度以减小肩峰和波纹共九十四页矩形(jxng)窗主瓣宽度最窄：旁瓣幅度(fd)大窗谱：幅度函数： 共九十四页三角形（Bartlett）窗主瓣宽度宽：旁瓣幅度(fd)较小窗谱：幅度函数： 共九十四页汉宁（Hanning）窗（升余弦(yxin)窗）主瓣宽度宽：旁瓣幅度(fd)小幅度函数： 共九十四页海明（Hammi

9、ng）窗（改进(gijn)的升余弦窗）主瓣宽度宽：旁瓣幅度(fd)更小幅度函数： 共九十四页布莱克曼（Blackman）窗（二阶升余弦(yxin)窗）主瓣宽度最宽：旁瓣幅度(fd)最小幅度函数： 共九十四页共九十四页共九十四页凯泽(ki z)（Kaiser）窗 ：第一类变形零阶 贝塞尔函数共九十四页窗函数窗谱性能指标加窗后滤波器性能指标旁瓣峰值/dB主瓣宽度过渡带宽阻带最小衰减/dB矩形窗三角形窗汉宁窗海明窗布拉克曼窗凯泽窗-13-25-31-41-57-57244460.92.13.13.35.55-21-25-44-53-74-80阻带(z di)最小衰减只由窗形状决定过渡(gud)带宽则

10、与窗形状和窗宽N都有关共九十四页 下面介绍用窗函数设计FIR滤波器的步骤。 (1)根据技术要求确定(qudng)待求滤波器的单位取样响应hd(n)。如果给出待求滤波器的频响为Hd(ej)，那么单位取样响应用下式求出：(7.2.17) (7.2.18) 根据频率采样定理，hM(n)与hd(n)应满足如下(rxi)关系：如果hd(n)很难直接求解，就采用频率域采样方法求其近似,取M个点：共九十四页 例如，理想低通滤波器如(7.2.1)式所示，求出单位取样(qyng)响应hd(n)如(7.2.2)式，重写如下： (2)根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估计窗口长度N。设待求滤波器的过

11、渡带用表示，它近似等于窗函数主瓣宽度。 (3) 计算滤波器的单位取样响应h(n)， h(n)=hd(n)w(n)共九十四页 (4)验算技术指标是否(sh fu)满足要求。设计出的滤波器频率响应用下式计算：共九十四页 例7.2.1 用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计(shj)FIR低通滤波器，设N=11,c=0.2rad。 解 用理想低通作为逼近滤波器，按照(7.2.2)式，有共九十四页 用汉宁窗设计(shj)：用布莱克曼窗设计(shj)： 共九十四页图7.2.7 例7.2.1的低通幅度(fd)特性共九十四页3、窗函数法的设计(shj)步骤给定理想的频率响应函数及技术指标求出理想的单位抽样响应根据

12、阻带衰减选择窗函数计算频率响应 ，验算指标是否满足要求根据过渡带宽度确定N值求所设计的FIR滤波器的单位抽样响应共九十四页公式(gngsh)法：IFFT法：计算其IFFT，得：对 M点等间隔抽样：共九十四页4、线性相位(xingwi)FIR低通滤波器的设计解：1）求数字频率例：设计一个线性相位FIR低通滤波器，给定抽样频率为 ，通带截止频率为 ，阻带起始频率为 ，阻带衰减不小于-50dB，幅度特性如图所示共九十四页2）求hd(n)共九十四页4）确定(qudng)N 值3）选择窗函数：由 确定海明窗（-53dB）共九十四页5）确定(qudng)FIR滤波器的h(n)6）求 ，验证若不满足(mnz

13、)，则改变N或窗形状重新设计共九十四页4 用矩形窗设计线性相位低通FIR滤波器， 要求过渡带宽度不超过/8 rad。 希望(xwng)逼近的理想低通滤波器频率响应函数Hd(ej)为（1） 求出理想低通滤波器的单位脉冲响应hd(n)；（2） 求出加矩形窗设计的低通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式， 确定与N之间的关系(gun x)； （3） 简述N取奇数或偶数对滤波特性的影响。共九十四页（2） 为了满足线性相位条件， 要求， N为矩形窗函数长度。 因为要求过渡带宽度 rad, 所以要求, 求解(qi ji)得到N32。 加矩形窗函数, 得到h(n)： （1） 共九十四页（3） N取奇数时

14、， 幅度特性函数(hnsh)Hg()关于=0, , 2三点偶对称， 可实现各类幅频特性； N取偶数时， Hg()关于=奇对称， 即Hg()=0， 所以不能实现高通、 带阻和点阻滤波特性。 共九十四页5、线性相位(xingwi)FIR高通滤波器的设计其单位(dnwi)抽样响应：理想高通的频响：共九十四页5 用矩形窗设计一线性相位(xingwi)高通滤波器， 要求过渡带宽度不超过/10 rad。 希望逼近的理想高通滤波器频率响应函数Hd(ej)为（1） 求出该理想高通的单位脉冲响应hd(n)； （2） 求出加矩形窗设计的高通FIR滤波器的单位脉 冲响应(xingyng)h(n)表达式， 确定与N的

15、关系； （3） N的取值有什么限制？为什么？共九十四页（1） 直接(zhji)用IFTHd(ej)计算： h(n)=hd(n)RN(n)=（2） 共九十四页为了(wi le)满足线性相位条件： h(n)=h(N1n)要求满足（3） N必须取奇数。 因为N为偶数(u sh)时（情况2）， H(ej)=0， 不能实现高通。 根据题中对过渡带宽度的要求， N应满足：, 即N40。 取N=41。共九十四页6、线性相位(xingwi)FIR带通滤波器的设计其单位抽样(chu yn)响应：理想带通的频响：共九十四页6 理想(lxing)带通特性为（1） 求出该理想带通的单位脉冲响应hd(n)； （2） 写

16、出用升余弦窗设计的滤波器的h(n)表达式， 确定(qudng)N与之间的关系； （3） 要求过渡带宽度不超过/16 rad。 N的取值是否有限制？为什么？共九十四页7、线性相位(xingwi)FIR带阻滤波器的设计其单位(dnwi)抽样响应：理想带阻的频响：共九十四页三、频率抽样(chu yn)设计法 1、设计(shj)方法 对理想频率响应等间隔抽样 作为实际FIR数字滤波器的频率特性的抽样值共九十四页窗函数设计法：共九十四页内插公式(gngsh)：共九十四页抽样点上，频率响应(pn l xin yn)严格相等抽样(chu yn)点之间，加权内插函数的延伸叠加 变化越平缓，内插越接近理想值，逼

17、近误差较小共九十四页1、线性相位(xingwi)的约束1）h(n)偶对称(duchn)，N为奇数幅度偶对称：相位函数：共九十四页 设用理想低通作为希望设计的滤波器，截止频率为c，采样点数N，Hg(k)和(k)用下面公式(gngsh)计算： N=奇数时，(7.3.13)共九十四页2）h(n)偶对称(duchn)，N为偶数幅度奇对称：相位函数：共九十四页 N=偶数(u sh)时， (7.3.14)共九十四页 2. 逼近误差及其改进措施 如果待设计的滤波器为Hd(ej),对应的单位取样(qyng)响应为hd(n)， 则由频率域采样定理知道，在频域02之间等间隔采样N点，利用IDFT得到(d do)的

18、h(n)应是hd(n)以N为周期，周期性延拓乘以RN()，即共九十四页 由采样定理表明(biomng)，频率域等间隔采样H(k)，经过IDFT得到h(n)，其Z变换H(z)和H(k)的关系为共九十四页 图7.3.1 理想(lxing)低通滤波器增加过渡点 共九十四页频率响应(pn l xin yn)：当N为奇数时：当N为偶数时：共九十四页增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减(shui jin)，但导致过渡带变宽增加(zngji)N，使抽样点变密，减小过渡带宽度，但增加了计算量优点：频域直接设计缺点：抽样频率只能是 或 的整数倍， 截止频率 不能任意取值共九十四页例：利用频率抽样法设计一个频率特性为

19、矩形(jxng)的理想低通滤波器，截止频率为0.5，抽样点数为N=33，要求滤波器具有线性相位。解：按第一种频率(pnl)抽样方式，N=33，得抽样点共九十四页得线性相位(xingwi)FIR滤波器的频率响应：过渡带宽：阻带(z di)衰减：-20dB共九十四页增加一点(y din)过渡带抽样点令H(9)=0.5过渡带宽：阻带(z di)衰减：-40dB共九十四页增加(zngji)两点过渡带抽样点且增加抽样点数为N=65令H(17)=0.5886 H(18)=0.1065过渡带宽：阻带(z di)衰减：-60dB共九十四页频率采样法设计步骤1、根据阻带最小衰减选择过渡带采样点个数2、确定过渡带宽度，估算频率采样点数（滤波器长度）N3、构造希望逼近的频率响应函数4、进行频域采样5、对采样后H(k)进行N点IDFT得到FIR数字(shz)滤波器的单位脉冲响应6、验证设计结果共九十四页Wn=boxcar(N) %列向量(xingling)wn中返回长度为N的矩形窗函数w(n)Wn=bartlett(N) %列向量wn中返回长度为N的三角窗函数w(n)Wn=hanning(N) %列向量wn中返回长度为N的汉宁窗函数w(n)Wn=hamming(N) %列向量wn中返回长度为N的哈明窗函数w(n)Wn=blackman