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1、第六节一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线 偏导数在几何上的应用复习: 平面曲线的切线与法线,空间直线已知平面光滑曲线切线方程法线方程若平面光滑曲线方程为故在点切线方程法线方程在点有有因 空间直线方程设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面1.空间曲线由参数方程表示的情况割线 的方程为当M沿曲线趋于M0时，M0M的极限位置称为切线上式分母同除以曲线在M0处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面：过M0点且与切线垂直的平面:记住公式解切线方程法平面方程空间曲线方程为法平面方程为特殊地：2.空间曲线方程为如果F 和G 满足方程组的隐函数

2、存在定理的条件，则可惟一确定一组连续可微的函数 y=y(x), z=z(x).这表明曲面F(x,y,z)=0和曲面G(x,y,z)=0确定了一条光滑的曲线L，其方程为解 将所给方程的两边对x求导并移项，得所求切线方程为法平面方程为由此得切向量 切线：法平面：设曲面 方程为L在M0处的切向量在曲面上任取一条通过点M0的曲线二、空间曲面的切平面与法线1.空间曲面由隐式给出的情形下面证明:曲面 上过点 此平面称为 在该点的切平面.M 0的任何曲线在该点的切线都在同一平面上. . 显然F(x(t), y(t), z(t)=0,将方程两边对t 求导, 并将t = t0代入得记住此公式如果曲面具有连续转动

3、的的切平面，也就是Fx, Fy,Fz均连续，称此曲面为光滑曲面.过M0点且与切平面垂直的直线，称为曲面在M0点的法线，其方程为：记住此公式2. 曲面由显函数给出的情形空间曲面方程形为曲面在M0处的切平面方程为曲面在M0处的法线方程为令其中xyoMN.f (x)dyx微分是函数的局部线性化.用切线增量近似曲线增量dydy =在图上是哪条线段？=tan x复习一元函数微分即：.y微分的几何意义 全微分的几何意义xz y0 PQMNx yABdz=AB : 切面立标的增量z= f (x ,y) z =AN ：曲面立标的增量过点M的切平面：即：dzz=AB+BN.dz=AB用切面立标的增量近似曲面立标的增量dz 全微分的几何意义切平面上点的竖坐标的增量曲面在M0处的切平面方程为切平面上竖坐标的增量综上所述解切平面方程为法线方程为解令切平面方程法线方程解设 为曲面上的切点,依题意，切平面平行于已知平面，得因为 是曲面

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