拉普拉斯变换与传递函数（ 精品）

1、要求掌握：拉氏变换的定义； 几种典型函数的拉氏变换及反变换； 拉氏变换的性质； 局部分式反变换法； 传递函数的概念。重点：控制环节及系统 微分方程模型 代数方程模型 变量响应(曲线) 微分方程解 代数方程解实际物理世界 时域 复域(S域) 拉普拉斯变换与传递函数拉氏变换传递函数机理建模拉氏反变换控制系统分析设计拉普拉斯(Laplace )变换定义1.拉氏变换的定义 其中 x(t)-原函数, X(s)-象函数, 复变量 s = + j 2.拉氏反变换的定义 单位阶跃函数的拉氏变换1) 线性定理 设： 拉氏变换的性质与定理2) 微分定理各初值为0时3) 积分定理各初值为0时 4终值定理 5) 初值

2、定理例1 求单位阶跃函数根据拉氏变换的定义, 有这个积分在Re(s)0时收敛, 而且有例2 求指数函数f(t)=ekt的拉氏变换(k为实数).这个积分在Re(s)k时收敛, 而且有其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间为 Re(s)Re(k)这就说明, F(s)在Re(s)c内是可微的. 根据复变函数的解析函数理论可知, F(s)在Re(s)c内是解析的.例3 求 f(t)=sinkt (k为实数) 的拉氏变换同理可得例4 求幂函数f(t)=tm (常数m-1)的拉氏变换.为求此积分, 假设令st=u, s为右半平面内任一复数, 那么得到复数的积分变量u. 因此, 可先考虑积分积分路线是OB

3、直线段, B对应着sR=rRcosq+jrRsinq, A对应着rRcosq, 取一很小正数e, 那么C对应se=recosq+jresinq, D对应recosq. 考察R, 的情况.qaODCAt (实轴)虚轴Bv根据柯西积分定理, 有同理例6 求单位脉冲函数d(t)的拉氏变换.例7 求函数f(t)=e-btd(t)-be-btu(t)(b0)的拉氏变换.例8 求sin 2t sin 3t的拉氏变换例9 平移函数，f(t)平移 b 例10 f(t)乘以e t 例11 时间比例尺的改变 局部分式拉氏反变换mn -zi 零点-pi 极点系数ak是极点-pk上的留数例12 拉氏反变换，求f(t)

4、 解：例13 ，求f(t) 解：长除法 S +2 S2+3s+2/s3+5s2+9s+7 s3+3s2+2s2s2 +7s +72s2 +6s +4S +3 例14 拉氏反变换，求f(t) 解：传递函数定义 零初始条件下系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比 设输入为r(t),输出为 y(t) ,那么系统的传递函数为:单容水箱:零初始条件下对微分方程进行拉氏变换令如果Qi (s)不变,那么输出H(s)的特性完全由G(s)的形式与数值决定.可见,G(s)反映了系统自身的动态本质.G(s)Q i(s)H(s)传递函数的引入 传递函数的求取 对微分方程进行拉氏变换(零初始条件) 系统微分方程

5、: 零初始条件拉氏变换: 整理得传递函数: 1) 传递函数只与系统本身的结构与参数有关，与输入量的大小和性质无关2实际系统的传递函数是S的有理分式nm3传递函数与微分方程有相通性，两者可以相互转换 4传递函数只适用于线性定常系统传递函数的性质 控制系统的微分方程与传递函数 控制系统的微分方程：是在时域描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应。但系统中某个参数变化或者结构形式改变，便需要重新列写并求解微分方程。传递函数：对线性常微分方程进行拉氏变换，得到的系统在复数域的数学模型为传递函数。 传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。传递函数是经典控制理论中最根本也是最重要的概念 注意: 传递函数是在初始条