《现代分析测试》04-05晶体几何学基础

1、22 晶体几何学基础 晶体结构与空间点阵 晶体的晶面和晶向第二章 X射线衍射方向晶体几何学基础固体物质的分类 晶体 准晶体 非晶体晶体的定义：晶体是由许多质点（包括原子、离子或原子团）在三维空间呈周期性排列而形成的固体。（长程有序） 对称性：晶体的宏观外形和内部微观结构都具有特定的 对称性。均一性：晶体内部各个部分的宏观性质是相同的。各向异性：晶体中不同的方向上具有不同的物理性质。封闭性：晶体是由多个晶面组成的有限封闭体。自由能最小：在平衡条件下，晶体相是自由能最小的物相。晶体的物理特点金刚石 锗酸铋邻苯二甲酸氢典型的晶体形态典型的晶体形态 空间点阵为了反映原子排列的周期性，用几何点（结点）代

2、替原子或原子团。这些结点在三维空间的周期性排布与晶体中的原子或原子团的排布完全相同。所有结点的几何环境和物理环境是相同的。晶体结构空间点阵结构基元(原子或原子团)空间点阵示意图晶体结构和空间点阵之间的关系空间点阵是从晶体结构中抽象出来的几何图形，它反映晶体结构最基本的几何特征。将原子安放在布拉菲点阵的结点上即形成晶体结构。(d)甲烷晶体 四种具有面心立方点阵的晶体 晶体结构 空间点阵的选取：反映晶体结构的周期性和对称性。空间点阵 二多一少（等长度轴要多，直角要多，晶胞体积要小）晶胞的选取原则5 Bravais Lattice in 2DP PNPSquarea=b =90Rectangular

3、a b=90Centered Rectangulara b=90Hexagonala=b=120Obliquea b905 Bravais Lattice in 2D晶胞：在空间点阵中，能代表空间点阵结构特点的小平 行六面体，反映晶格特征的最小几何单元。 整个空间点阵可由晶胞作三维的重复堆砌而构成。一个晶胞的典型结构晶胞结构Lattice parameters: a, b, c; a, b, g7 Crystal SystemsThe 14 Bravais Lattices 七大晶系、14种Bravais点阵晶系单胞特征Bravais点阵三斜abc, 简单三斜abg90单斜abc, 简单单斜a

4、g 90=b底心单斜正交abc, 简单正交，底心正交a=b=g=90 体心正交，面心正交三角a=b=c, 简单三角a=b=g120 90, 60四方a=bc, 简单四方a=b=g=90 体心四方六角a=b, 六角b=g=90, a=120立方a=b=c, 简单立方，体心立方a=b=g=90面心立方晶系最低特征对称素晶胞形状三斜单斜正交三角四方六角立方无对称素一个二次对称轴三个互相垂直的二次对称轴一个三次对称轴一个四次对称轴一个六次对称轴四个三次对称轴任意的平行六面体直立的平行六面体矩形的平行六面体菱形，或与六角晶系的晶胞相同直立的柱体，底部为正方形直立的柱体，底部为菱形立方体七大晶系所要求最低

5、的对称性Simple Cubic LatticeCaesium Chloride (CsCl) is primitive cubicDifferent atoms at corners and body center. Also CuZn, CsBr, LiAgCoordinate： （000）BCC Lattice-Iron is body-centered cubicIdentical atoms at corners and body center (nothing at face centers) Also Nb, Ta, Ba, Mo.Coordinate： （000）（1/2, 1

6、/2, 1/2 ）FCC LatticeCopper metal is face-centered cubicIdentical atoms at corners and at face centers also Ag, Au, Al, Ni.Coordinate：（000）（1/2, 1/2, 0） (0, 1/2, 1/2 ） (1/2, 0, 1/2 ）e.g. NaCl Na at corners: (8 1/8) = 1 Na at face centres (6 1/2) = 3Cl at edge centres (12 1/4) = 3 Cl at body centre =

7、1Unit cell contents are 4(Na+Cl-)晶胞与原子关系萤石结构（ CaF2 ）氯化钠结构(NaCl)晶体结构辉钼矿的化学成分：MoS2,Mo 59.94%，S 40.06%；辉钼矿的特征：铅灰色，金属光泽，硬度低，底面解理极完全，比重大，光泽强。晶体结构石墨的晶体结构金刚石的晶体结构C60的晶体结构晶体结构石墨金刚石C60晶体结构X衍射图谱晶面指数与晶向指数 晶向：晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位 置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线指向。晶面：晶体中原子所构成的平面。晶体结构中的晶向和晶面相当于空间点阵中的结点直线和结点平面，国际上通用的是用密

8、勒指数表示晶面及晶向。步骤 a.建立坐标系,以某一阵点为原点O,以三个基矢为坐标轴,以晶胞边长作为坐标轴的长度单位。b.作直线OP平行与待标志的晶向或待标定晶向的直线通过坐标原点。c.确定通过原点直线上任一点的坐标值。D.将坐标值化为.最小整数并加上方括号UVW晶向指数标定方法晶体结构中那些原子密度相同的等同晶向称为晶向轴，用表示 晶面指数的标定方法晶面指数确定步骤： 建立坐标系 确定晶面在各坐标轴上的截距 取截距的倒数，并通分，化为最小的简单整数（hkl）晶体中具有等同条件（这些晶面的原子排列情况和面间距完全相同），而只是空间位向不同的各组晶面称为晶面族，用 hkl表示。(100)(111)

9、(200)(110) 晶面族晶面间距(d)：两个相邻的平行晶面间的垂直距离。对立方晶系而言：一般是晶面指数数值越小，其面间距较大，并且其阵点密度较大，而晶面指数数值较大的则相反。晶面间距晶面间距(100) intersects with a at 1 b at (100) c at (200) intersects with a at 1/2 b at (200) c at (110) intersects with a at 1 b at 1 (110) c at 立方晶系中点阵常数与晶面的关系晶面间距(d)公式：立方晶系：四方晶系：正交晶系：晶面间距晶面夹角的计算公式立方晶系正方晶系所有相

10、交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构成一个晶带，此直线称为晶带轴。设晶带轴的指数为UVW，则晶带中任何一个晶面的指数（hkl）都必须满足：hu+kv+lw=0，满足此关系的晶面都属于以UVW为晶带轴的晶带，已知两个非平行的晶面指数为（h1k1l1）和（h2k2l2）则其交线即为晶带轴的指数。晶 带 属于001晶带的某些晶面晶 带 倒易点阵 P.1361）倒易点阵概念倒易点阵是一个古老的数学概念，最初德国晶体学家布拉未所采用，1921年爱瓦尔德发展了这种晶体学表达方法。正点阵：与晶体结构相关，描述晶体中物质的分布规律，是物质空间或正空间。倒易点阵：与晶体中的衍射现象相关，描述的是衍射强度的分布

11、，是倒空间。 晶体的空间点阵是描述原子或原子团在三维空间中平移周期性的一种表达方式，是由具体的晶体结构抽象出来的。由于空间点阵的内容代表了真实的物质，是具体的客观存在。 倒易空间点阵是由正空间点阵推导出来的，倒易空间点阵不代表真实的物质内容，是抽象的客观存在。但是倒易空间点阵在描述X射线和电子衍射方面具有诸多便利。因为从倒易阵点与反射球面的相对几何关系就能判断在方向是否有衍射束出现。 倒易点阵倒易点阵是由正点阵派生出的几何图像，是晶体点阵的另一种表达形式。可以将晶体点阵结构与其电子或X射线衍射斑点很好联系起来。我们观测到的衍射花样实际上是满足衍射条件的倒易点阵的投影。倒易点阵已成为解释物质衍射

12、现象、揭示晶体结构、以及理论研究中不可缺少的手段和工具倒易点阵倒易点阵的定义假设给定一个基矢为a,b,c的正点阵，则必然有一个倒易点阵与它相对应，记倒易晶胞的基矢为a*,b*,c*，两者之间的关系为：分别将上式点乘a，b，c得到：aa*= bb*= cc*=1 ab*= ac*= ba*= bc*= ca*= cb*= 0dababcc*c*a, c*b; c* =(a, b构成的平行四边形的面积）/（晶胞体积） 1 /dab001*(001)倒易点阵的定义倒易点阵与正点阵根据定义在倒易点阵中,从倒易原点到任一倒易点(hkl)的矢量称倒易矢量ghkl g*hkl =可以得出: 1.g*矢量的长

13、度等于其对应晶面间距的倒数 g*hkl =1/dhkl 2.其方向与晶面相垂直 g* /N(晶面法线) 3. 倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面1晶面间距 *= 例：立方系 a*=b*=c*=1/a，*=*=*=90 倒易点阵的作法 首先求基矢，然后利用基矢绘图。由a,b,c,求a*,b*,c*,*,*,*进而求倒易点阵.同样可求 得b*,c*。同样可求 得 *, *。正空间七大晶系在倒易空间它的晶系仍然不变。正空间所有的矢量运算-埸论，在倒易空间均能用。对于一种正点阵，其倒易点阵是唯一的，与基矢的选取无关. 正、倒点阵在晶体几何中的关系 正、倒点阵在晶体几何中的关系1）正点阵中的一

14、个方向uvw垂直与倒易点阵中的一个同名晶面（uvw）*,即uvw （uvw）*。 倒易点阵中的一个方向hkl*垂直于正点阵中的同名晶面(hkl). hkl* (hkl) （证明）2）正点阵中，晶面（hkl）的面间距dhkl是其同名倒易矢量长度ghkl的倒数，即dhkl=1/ghkl; （证明） 倒易点阵中，晶面（uvw）*的面间距duvw*是正点阵中同名矢量长度ruvw的倒数，即duvw*1/ruvw。倒易点阵在晶体学中的应用 1晶面间距公式 *= 例：立方系 a*=b*=c*=1/a，*=*=*=90 1/dHKL2=（H2+K2+L2）a2二个面的夹角就是由二个面法线的夹角来表示，而在这里

15、就是二个面对应的倒易矢量之间夹角。 （H1K1L1） （H2K2L2） 倒易点阵在晶体学中的应用 由此式可求出夹角 例 立方系 课堂习题 1. 试求出立方晶系111晶带的倒易点阵平面。 解： 利用晶带定律：HU+KV+LW=0 ，用试探法，根椐晶带定律找出不共线的的两个倒易点。 代入晶带定律检证 ，利用公式计算两倒易点对应倒易矢量的长度和夹角。根椐点阵特征周期性，绘出晶带其它的倒易点。 课堂习题倒易点阵的性质总结1）正点阵基矢与倒易点阵基矢之间的关系： aa*= bb*= cc*=1 ab*= ac*= ba*= bc*= ca*= cb*= 0 2）倒易点阵中，由原点O*指向任意坐标为（h,

16、k,l） 阵点的矢量ghkl（倒易矢量）为： ghkl=ha*+kb*+lb*3）倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数 ghkl=1/dhkl4）对于正交点阵，有： a/a*, b/b*, c/c* a*=1/a , b*=1/b , c*=1/c5）在立方点阵中，晶面法线方向和同指数的的晶 向是重合(平行)的。即倒易矢量ghkl是与相应 指数的晶向hkl平行的。倒易点阵的性质总结(hkl)晶面可用一个矢量或矢量端点来表示，显然，这种将二维平面用一维矢量或零维点来表示的方法，使晶体几何关系简单化。 一个晶带的所有面的矢量（点）位于同一平面，具有上述特性的点、矢量、面分别称为倒易点，倒易矢量、倒易面。因为它们与晶体空间相应的量有倒易关系。倒易点阵与衍射点阵关系晶带与倒易面正、倒点阵之间晶带之间的倒易关系正点阵中的一个晶带与倒易点阵中的一个过原点的面相对应，或者倒易点阵中一个过原点的平面代表着正点阵中的一个晶带。由于晶带轴uvw与晶带面(hkl)的倒易矢之间存在uvw hkl*关系，所以：已知两个晶面（h1k1l1）, （h2k2l2）,即可利用晶带轴定律，求出晶带轴。 h1 k1 l1 h1 k1 l1u:v:w= h2 k2 l2 h2 k2 l2例（1