教材张量分析及场论

1、张量分析与场论第一章张量代数任何物理现象的发展都是按照自身的规律进行的，这是客观的存在，而不以人们的意志为转移。但是，在研究、分析这些物理现象时，采用什么样的方法则是由人们的意志决定的。无数事实证明，研究方法的选取与当时人们对客观事物的认识水平有关，而研究方法的好坏则直接关系到求解问题的繁简程度。由于物理量的分量与坐标的选择有关，所以由物理量的分量表示的方程，其形式就必然与坐标系的选取有关。在建立基本方程时，每选用一种坐标系都要作一些繁琐的推导。张量分析能以简洁的表达式，清晰的推导过程，有效地描述复杂问题的本质，并突出现象的几何和物理特点。张量分析成功应用的根本在于由它表示的方程具有坐标变换下

2、不变的性质，即由张量表示的方程，其形式不随坐标的选择而变化。第一章中将着重介绍直角坐标系中的张量代数，第二章介绍正交曲线坐标系的张量分析及场论，作为进一步的学习的基础，在第三章还对一般曲线坐标系中的张量做了简单的介绍。1.1点积、矢量分量及记号j我们在以前的学习中已熟悉了用箭头表示的矢量，女口位移u，力F等。这些量满足平行四边形运算的矢量加法法则，即设u,V为矢量，贝Uwuv的运算如右图所示。在理论力学中我们还知道，如u表示某一点的位移，F表示作用在该点上的力，则该力对物体质点所做的功为其中F、|u|分别表示矢量F、u的大小表示矢量F与矢量u之间的夹角，这就定义了一种称为点积的运算。点积的定义

3、：设u,V为两个任意矢量，设|u|,|v|分别为其大小(也称为模)。为这两个矢量之间的夹角，则u与V的点积为由点积定义可知，点积具有交换律，即u?v=v?u。可以用几何的方法证明点积也具有分配率，即如w=u+v，则或可写为如果uv0则称u垂直于v，记为u丄v。2,由点积的定义可知，uuu。如|u|=1则称u为单位矢量。以上对矢量的记法是一种几何记法，称为实体记法，也有的书上称其为不变性形式。这种记法的特点是非常直观。如在力学中，分析作用力时，就用有向线段来表示矢量。但是用几何记法只能进行简单的矢量运算，稍微复杂一点的矢量运算就无法进行了，因此必须借助于坐标用分析的方法来进行。我们引入坐标系，用

4、坐标的方法来描述一个矢量。在空间选三个矢量组成坐标架，这三个矢量取名为(e!,e2,e3),其大小为1,方向互相垂直，即有如下的性质：e1e11，e2e21，e3e31e1e20，e2e30，e3e10ei称为基矢量或坐标架。空间的任意矢量u可以用平行四边形法则表示为三个基矢量的和，即其中ui表示u在方向ei上的投影，即uiuei，称为在坐标ei下u的分量。矢量的表示方法：实体记法u；分量记法(u1，u2，u3)或ui即我们有可以用分量记法表示矢量的加、可以用分量记法表示矢量的加、33减法和点积，设u，v是矢量，即有uuiei，vviei，i1i1则矢量wuv可以表示为则w的分量为wiuivi

5、利用点积的分配率我们可得，33=(uiei)v1e1(uiei)v2e2(uiei)v3e3i1i1=u1v1u2v2u3v3为了进一步简化写法，这里我们引入求和规则：若某个指标在一项中重复出现一次，则表示这个指标应从1到3求和。这个约定就是著名的爱因斯坦(Einstein)约定求和。按照约定求和，一个矢量可写为两个矢量的和可以表示为点积可以表示为考虑到xi到xj的线性变换可写为用约定求和的写法有在一项中指标相同的要求和，求和的指标称为哑指标，不求和的指标称为自由指标。在点积的表达式中指标i为哑指标。在线性变换的表达中指标i为自由指标，等号右边第一项的指标j为哑指标。设微元矢量为dr，则微元弧

6、长ds为一个函数的微分可以写为这里我们引进一个算子称为哈米顿算子，这个算子兼有导数和矢量的两重作用。这样一个函数的微分可以写为其中dre1dx1e2dx2e3dx3eidxi一个表达式中，哑指标必须是成对出现的，其名称是可以改变的，每一项的自由指标的多少以及名称都应是一样的。一个表达式中的自由指标的名称要换必须同时换，而且不能与其它指标的名称相同。如线性变换Xjaijxjgi这个表达式中有三项Xj,aijxj,gi,其中第二项有哑指标j，可以换成k,或I，但不能换成i，因为这一项中i为自由指标。在这三项中都有自由指标i，要换必须同时换，如换成k，即可写为xkakjXjgk，但不能换成j，因为第

7、二项中j为哑指标。一般的情况下由ajbjajCj推不出bjCj。只有在任意的aj上成立时，才能推得出该式。在引入坐标系时，要求基矢量有下列关系e1e1e2e2e3e3e1e1e2e2e3e31，及e1e2e2e3e3e1这一性质可用记号jj来表示，令由定义可知jj具有对称性，即jj=jj。我们有如下关系：ejejjj，j,j1,2,3如用矩阵的表示方法，jj可以表示为一个3X3的单位矩阵，即由jj的定义，根据约定求和的规定，我们有因此，我们有由于jj对称性，上式也可写为对点积运算可以按如下形式进行其中用到了上边的推导的结果，即vjjjvj。这与前边点积可写为uv=ujvj的结果一致。由此可以看

8、出，jj的作用是使该式中的指标j变为指标j，jj也称为换标符号。利用jj的换标作用，一个函数的微分可以进行如下的推导利用jj及约定求和使得推导变得很方便了。1.2记号jjk、矢积（叉乘）、关系在介绍矢积之前，我们先定义另一个记号由的定义可知jjkkjjjjkjjk可以用&来表示三阶行列式设（0（2,仓）构成右手系，则定义eiee3;eese1；eee2e2e1e3;e3e2e1；e1ee2eie10;ee20;e3e30可以验证，矢积可以用记号&来表示例如eiejijkek例如e1e2例如e1e2121ei122e2123e3容易把矢积推广到一般矢量的情况，设88iei；bde;8叉乘b仍为一

9、个矢量C的分量为ckijk8ibj，例如C1中不为零的项只有23182匕3和32183b2，因此很容易证明8b的大小等于8,b组成的平行四边形的面积。由行列式的性质可知，利用上式可以证明8b8，因为同理也可以证明8bb。总之，8b的大小等于8,b组成的平行四边99形的面积，方向与8,b组成的平面垂直，并与8,b构成右手系。设a，b，c为任意三矢量，定义混合积为由点积的定义有其中ab表示平行四边形的面积，B表示ab与c间的交角。若cos90,即a,b,c构成右手系，则ccos为六面体的高，所以混合积abc表示a,b,c三个矢量组成的平行六面体的体积，即若a,b,c构成右手系，有由于abc和abc

10、都表示a,b,c三个矢量组成的平行六面体的体积，因此由abc=abc下面我们用指标的方法证明该式根据混合积的性质，由于三个矢量的混合积只与三个矢量的次序有关，而与哪两个进行叉乘，哪两个进行点积没有关系，有下面证明间的恒等式由混合积和行列式之间的关系，我们可以推出&和3的关系。因为利用第二关系式令ajH;bjmj；Cknk，则上式可写为由j的性质，即得利用行列式转置及ij的对称性可得因此可以推出第一关系式若上式中令l=i,则可以得到第二关系式由上式，令指标m=j可得再令指标n=k有的关系给出abcaieibjejckekaibjckeejq这表示了矢积与点乘之间关系。1.3、坐标变换我们已经了解

11、了点积（内积）、矢积（叉乘）的性质，在用分量表示一个矢量，我们选择了三个相互正交的单位矢量组成了坐标架。这样，一个用实体记法表示的矢量可以用分量的方式来表示。一般而论，人们可以根据方便和需要选取适合的坐标架研究问题，而张量分析就是要研究在不同的坐标系下，同一个物理规律的数学表述有什么相同的地方、有什麽不同的地方，以及它们之间的转换关系。为此我们将首先研究一个物理量在不同坐标系下的转换关系。作为初步，本课程只研究直角坐标系的情况，即基矢量满足eejjj的坐标系。设e；与ei是新旧两个坐标系的基矢量。因为e；也是一个矢量，可以在旧坐标系的基矢量下分解，设用ek点乘上式可得即反之，旧坐标e也可在新坐

12、标ei下分解，由上式可知有关系由于ei，e是正交基矢量，因此有所以有Ti由此可知kjkj，这表明ij是正交矩阵。因此有又由即ij具有如下关系这一关系称为互逆关系，有了新旧基矢量之间的转换关系，就可以得到在不同坐标系下一个矢量分量的转换关系。设U为一个矢量，在旧坐标系下的分量为Ui，在新坐标系下的分量为U；。由矢量是物理量，不随坐标系而变换可得；在新旧基矢量之间的转换关系得：上式给出了一个矢量在不同坐标系中其分量的关系，由这样的转换关系可以给出矢量的另一定义，即：对于每一个直角坐标系$都有三个量Ui，它们按关系变换到另一个直角坐标系e中的三个量u；，这样的三个量的集合就定义了一个量u称为矢量。以

13、往对矢量的定义是建立在几何上的，而现在这个定义则完全脱离了几何意义。下面考虑一个矢量的大小。设空间两点间的位移为r，是一个矢量，在新、旧坐标系中r的表达式为xiei，xie。则这两点间距离s为这就表明象距离这样一类量，在新旧坐标系中其表达式是不变的，是不依赖于坐标系的变换的，即卩象距离这一类量我们称为标量，类似矢量我们可以利用这一性质给出标量的一个定义，即：对于每一个直角坐标系ej都有一个量，在不同的坐标系下满足即保持其值不变。这就定义了一个标量。这里我们利用一个量在坐标变换下的变换形式定义了矢量和标量，这种定义脱离了原来的几何意义，将有利于向高阶高维推广。下面我们将利用这样的形式来统一的定义

14、张量。1.4、并矢、张量引入一种新的矢量间的运算，称为并矢。设a，b为矢量，在坐标ej下它们的分量分别为ai,bi。它们把a,b并矢ab的分量记为aibj。如把a,b的并矢ab记为C，则有C的分量为这样的积是有一定的物理意义的，但目前我们只是形式地这样给出，而并不做任何的物理直观的解释。在今后的学习中，我们将用实例来说明并矢的意义。对并矢来说一般地讲基矢量分别作并矢，可以有九种结果，有时简写为现在考察以上并矢cij的九个分量在坐标变换下是怎样变换的。设有两个坐标系ei，ei，矢量a,b在ei下的分量分别为ai,bi，在ei下的分量为ai,bio由于a,b都是矢量，则biijaj，biijbj。

15、设在新旧两个坐标系下C的分量为cij，cij。则IIIcijaibjikakjlblikjlakblikjlckl与上一节对矢量、标量给出的新定义类似，与上一节对矢量、标量给出的新定义类似，这一新、旧坐标系间的变换关系可以定义一个新的量称为张量。张量的定义：对于每一个直角坐标系ei都有九个量cij，这些量按关系从一个坐标系变换到另一个坐标系，这样的九个量的集合定义一个新的量C称为张量。一个张量所表示的物理实质，不可能向矢量那样能形象地用一有向线段表示出来，因为一个张量有九个分量，而一个矢量没有足够的自由度来表示。从实质上讲，矢量与张量完全不是一回事，主要是新旧坐标变换的分量的变换关系有本质的不

16、同。我们不打算在张量的直观性上下很大功夫，我们以后将举出一些物理、力学中的张量的例子，设法让大家熟悉，以帮助理解张量。对矢量我们有基矢量ei，对张量我们可以定义基矢量的九个并矢eijeiej下张量的分量，一个张量可以写成：Ccijeiejcijeij。这样，标量、矢量、张量可以统一在一个定义之下，即有坐标便换下分量间的关系定义这些量。在坐标变换下，标量ss矢量分量aiijaj张量分量cijikjlckl这里所说的张量可以称为二阶张量，因为有两个自由指标。矢量有一个自由指标，类似地可以称为一阶张量。类似地，标量可以称为零阶张量。n阶张量。张量的定义还可以推广到高阶的情况，可以定义一般的n阶张量，

17、一般张量的定义：在每一个坐标系下都有3n个量，它们按关系从一个坐标系变换到另一个坐标系，这样的量称为能否满足变换关系是一个数集是否是张量的准则，如一个矢量为a1,a2,a3，而ai,a2,a3就不是矢量，因为不满足坐标变换关系。并矢也可以推广到三个或四个矢量并到一起，得到三阶张量或四阶张量，即可有sijkaibjck，或Sjkiaibjckdl1.5张量的代数运算1）.张量的相等：两个张量相等TS指每一个分量相等，即tjSj。2）.张量的和、差：两个张量和、差SAB，指每一个分量进行和、差Sijaijbj3）.张量积（并积，外积）：设A为n阶张量，B为m阶张量，则A与B的张量积SAB为n+m阶

18、的张量，其分量为例（1）如A为一阶张量，B为二阶张量，SAB为三阶张量例（2）如入为零阶张量，A为n阶张量，SA为n阶张量，就是数量积。例（3）两个一阶张量a,b，它们的张量积Sab为一个二阶张量，即并矢。由以上的例子可以看出并矢是张量积的一个特例，张量积是并矢的推广。4）.张量的缩并（收缩）任意一个二阶以上张量，可以任意两个指标令其相等，并使用约定求和，这样就可以得到一个比原来低两阶的新张量。这种运算称为张量的缩并。对于二阶张量进行缩并，得一个标量对于三阶张量Ajk可以有三种缩并的方法，得到三个不同的矢量，即5）.张量的内积张量的内积是张量积和缩并的一起使用。进行张量积的两个张量，每一个张量

19、取一个指标进行缩并，如张量积SjkiAijBki，对j,k进行缩并就得到张量的内积CiiSjkiAijBki。两个矢量的内积就是点积，如张量积cijaibj,缩并指标后为ciiaibi，即为a,b的点积。两个张量的点积是指张量积中前一个张量的最后一个指标与后一个张量的前一个指标收缩而构成的运算，如SAB的分量为SyAkBkj。两阶张量于矢量的右内积一般定义为apijaj,左内积一般定义为aPpijai。般地讲对于两个二阶张量间的双点乘定义为而让目前，双点乘还没有一个大家约定成规的表达方法，不同的文献上也许有不同的表达方法，要根据具体的定义规定而定。下面我们来考察一下，一个张量方程是如何反应客观

20、物理想象的。定义了张量的运算以后，可以根据一定的规律（客观的物理定律），利用这些运算来建立由张量的实体记法表达的方程式，如其分量表达式为这样一个方程中有三项，aikbkj,Cj|d|mnenfmj,g第一项的哑指标为k,自由指标为I,j,第二项的哑指标为l,m,n,自由指标为l,j,第三项没有哑指标，自由指标为l,j,由此可见虽然每一项的哑指标的数目是不同的,但自由指标的个数及名称都是一样的,只有这样一个方程才有意义。由此可以得到一个重要的结论：组成一个方程的诸项必须是同阶的,而且其自由指标的名称也都是相同的。如上述方程的每一项都有自由指标i,j,因此表示3x3=9个是分量的方程组。把方程的项

21、都放到等号的左边,该方程可写成如下的形式：如果把坐标变换到另一个坐标系下,该方程变为这就证明了任何一个在某一个坐标系下成立的张量方程式,在另一个坐标系下也一定成立。这在推导由物理定律所描述的方程时是一种有效的手段。我们可以在笛卡尔坐标系或别的方便的坐标系中推导一个方程式,再把这个特别的方程改写为能在任意坐标系下成立的张量形式,即改用实体记法表示方程,然后就可以根据坐标转换规律直接写出该方程在其它坐标系中的具体形式。张量方程的实体表示法与坐标系的选择无关的性质可以用于描述客观物理现象的固有的特性和普遍规律。1.6张量识别定理（商判则）张量是由坐标变换分量之间的关系来定义的,一般要判断一个数集是否

22、是张量可以直接用定义判断,但这样很不方便。下边给出两个通常用的判别张量的定理,这样判别张量就很简单了。定理1和任意m阶张量的内积为n-m阶张量的量一定是一个n阶张量。不失一般性，我们取m为1,n为3证明。证：设vi为任意矢量（一阶张量，m=1），Aijk为一个数的集合，且viAijkTjk为一二阶张量,根据定理我们要证明Aijk一定是一个三阶张量。在新坐标系中有viAijkTjk。因此viTjk都是张量,所以有因此有TjkjsktTst,vlilvijsktAlstvljsktilviiljsktAlstvi又vi是一个任意的矢量,可得AijkiljsktAlst,所以Aijk是一个三阶张量。

23、定理2、和任意m阶张量的张量积为n阶张量的量一定是一个n-m阶张量。不失一般性，我们取m为1,n为3证明。对于这种具体情况，该定理可以表为：对任意的张量vi，如有viAjkBijk且vi，Bijk是张量，则Ajk一定也是张量。证：如vi、Bjjk是张量，有AjkBjjk。用vi点乘两边，可得VjVjAjkviBijk，由于ViVi是一个标量，且不为零，所以有AjkviBijk/。由Vi和Bijk都是张量入是标量，可知Ajk也是张量。张量识别定理是一个很有用的定理，它常常为识别张量提供一种简单易行的方法，而不必去直接验证是否满足麻烦的变换公式。下边作为例子，所以ij和ijk是张量。例1.因为ai

24、ijaj对任意矢量ai成立，所以ij是一个二阶张量。例2.因为abcaibjckijk，其中a，b，c是任意的矢量，若a，b，c为三个非共面矢量，则abc表示这三个张量决定的平行六面体的体积，是一个标量，所以ijk是一个三阶张量。1.7、二阶张量二阶张量是力学中经常用到的一类张量，本节将给出一些特殊的二阶张量及其性质。二阶张量与矩阵1）.一些特殊的二阶张量（1）零张量：sij0的张量称为零张量。（2）单位张量：以ij为分量的张量称为单位张量，记为I。由于对任意的ai，有可得aIaaI。这就是ij的换标作用，I很象数字运算中的1.3）球形张量：1,其中入为一标量。T4）张量的转置：设Ssijei

25、ej，我们记张量的转置为sT，其定义为sTsiTjeiejsjieiej。即：张量sji称为sij的转置，也可写为siTjsji。5）对称张量：如张量siTjsjisij，则称sij为对称张量。6）反对称张量：如张量aiTjajiaij，则称aij为反对称张量。7）加法分解：任何一个张量Tij都可以分解为一个对称张量sij与一个反对称张量aij之TOCo1-5hz1i和，即几Siiaij其中s“Tt，aTT。ijijijij2ijijij2ijij(8)张量的迹：一个张量Tj的迹定义为Tii记为tr.Tj都可以分解为一个球(9)偏斜张量：迹为零的张量称为偏斜张量。任何一个二阶张量1形张量S与一

26、个偏斜张量Dij之和，即TijSijDij，其中Sij-trTj，则trD0。3弹性力学中，应变张量的球形张量部分表示弹性体的均匀压缩或膨胀，偏斜张量部分表示弹性体的剪切变形。.二阶张量与矩阵之间的关系行向量的运算来表示,很多关系是相互对应二阶张量和矢量间的运算都可以与用矩阵、的。下边给出一些例子a11a12a13bnb12b13张量的内积aijbjk矩阵相乘a21a22a23b21b22b23a31a32a33b31b32b33a1矢量的并矢aibj列向量与行向量相乘，a2b1b2b3a3bi矢量的内积aibj行向量与列向量相乘，a1a2a3b2b3a11a12a13b1右内积aijbi矩阵

27、与列向量相乘a21a22a23b2a31a32a33b3a11a12a13左内积aijbi矩阵与行向量相乘db2b3a21a22a23a31a32a33二阶反对称张量的性质由二阶反对称张量的定义可知，二阶反对称张量的对角线元素为零，其一般形式可写为如令1a23；2a31；3a12，则可以证明有aijijkk。由于aij，ijk都是张量,所以k也是一个张量，称k为A的对偶矢量。对于任意一个矢量b，有这表明一个矢量b与bA左点乘可以表为A的对偶矢量k与该矢量b叉乘。对于右点乘，也有类似的结果下边看一个特殊的反对称张量Acbbc，其中b，c都是矢量，cb，bc是并矢，是一个反对称张量。这个反对称张量

28、对偶矢量的分量为：1c2b3b2c3；2c3b1b3c1；3c1b2b1c2可以验证bc，由此可得，即abcacbbcacbabc写成分量形式有，由于a，b，c的任意性，可得或写为这就是-3的第二关系式。二阶对称张量，主分量与主方向现在我们考虑这样一个问题，对于一个二阶张量T是否可以找到一个标量入和一个矢量使得T，即Tijji，该方程可以写成这是一个齐次的代数方程式，由线性代数的理论可知，有非零解的充分必要条件是其系数矩阵的行列式为零，即把这个行列式展开，可以得到一个关于入的三次代数方程式其中I1T11T22T33Tii该方程称为特征方程，特征方程的解称为特征根（或特征值），I1,|2,I3称

29、为的不变量。由线性代数可知，当T为实对称时，特征方程有三个特征根k，k=1,2,3。与这三个特征根对应的可以找到三个相互垂直、模为1的特征矢量k，k=1,2,3。对应这三个特征根的三个特征矢量满足的方程为其中ikik1k称为主方向，k称为主分量。由主方向1，2，3构成的坐标系称为直角坐标系，称为T的主坐标。可以证明，在主坐标下T的表达式为综前所述，矢量、张量运算的实体表示法、分量表示法及之间的关系如下：实体符号相互关系分量符号加减ABCaijbijeiejcijeiejaijbijcij张量积ABCaijbkleiejekelcijkleiejekelaijbklcijkl牛顿运动定律：fma

30、。考虑刚体中的一个微元体d，其密度为，质量为d内积ABCaikbkjeiejCijeejaikbkjcij矢量叉乘abcajbjijkekckekaibjijkCk三种表示方法按方便可以任意使用。1.8、张量举例1)、转动惯量在刚体绕定点转动中，转动惯量就是-个基本的物理量。该点的加速度为adu/dt。由刚体绕定点转动可知，任一点的速度可以写为ur，其中为刚体转动的角速度,类，一类是内力，一类是外力,r为微元体到定点o的矢径。作用在该微元体上的力分为两f表示单位体积上受的内力，F表示单位体积上受的外力。由牛顿运动定理可得，dafFd用r叉乘上式得因为有用r叉乘上式得因为有代入运动学方程式，对空

31、间积分可得其中L0为外力对o点的总外力矩，刚体绕定点o转动的方程式为这里(Irrrr)d为转动惯量，是个二阶张量。2)、应变张量在外力的作用下，物体的各点将产生位移。设质点p、q变形后达到新位置pq设p点的坐标为aa1,a2,a3，p点p点的坐标为aa1,a2,a3，p点的坐标为xx(a)；xixial,a2,a3a。以变形xx1,x2,x3，p点的位移矢量为ux前的物体为参考，取a为自变量，物体变形后的位置x应是a的函数，即位移场可写为ux(a)a；UiXjaa2,a3ai下面考虑任意线元pq，该线元的起始点为ppapa-i,a2,a3ai，终点为qqadaqa1da1,a2da2,a3da

32、3。设opaai，oqada(aidai)ei，则线元同理，线元pq变形后的表达式为线元pq和pq的长度分别为由于x是a的函数，即xm是ai的函数，所以有用分量表示即为由此可得或线元pq变形前后长度的变化为其中用分量形式表示为又xaua，所以则用分量表示为，xmamUmai则22dsds。为标量，dai是矢量。所以Ej是一个张量，称为应变张量，记为E。在弹性力学的进一步学习中可以证明，由E不仅可以确定变形后线元的长度变化，而且可以确定线元间夹角的变化。E给出了物体变化状态的全部信息，是一个描述一点变形状态的物理量。、四面体研究四面体的四个面之间的关系。BCA考虑由过p点的三个不共面的微元矢量d

33、a1，da2，da3组成的微元四面体，设dsda2da1，drda3da1，矢量1dAdsdr的大小为厶ABC的面积，方向为2ABC的法向，指向四面体的外面，称dA为厶ABC的有向面积。根据有向面积的定义可知1CPB的有向面积为dA,da3da22CPA的有向面积为dA2BPA的有向面积为dA3dai2da?2da3da1。这样,即dAdAdA2dA30这就证明了四面体的四个有向面积之和为零。由此可以证明任意性性状的封闭曲面的有向面积之和为零即考虑特别的情况，令daidxiei,da2dx2e2,da3dx3e3ABC的有向面积为B+又设dAdAn,dA为厶ABC面积，n为其单位外法向。由上式

34、可得面积之间的关系以及法线方向：用e点积上式可得关系：即4）、应力张量考虑一个四面体的受力的情况设点0到厶ABC的距离为h,物体的密度为p四面体受到的面积力为：dA面上受到的力为fdA,dAi面上受到的力为fid。,dA?面上受到的力为f?dA?,dA3面上受到的力为fsdA,f,fi称为应力，表示单位面积上受到的力。四面体还受体积力的作用，设单位体积受到的体积力为F.由牛顿定律有其中a为该四面体的加速度。由四面体面积的关系可得上式除以dA并令四面体的体积0，高度h0，可得fi是表示ei方向上的应力，所以ei方向上的应力ifi因此有由于f,n都是张量，所以也是张量，称为应力张量。fn表示以n为

35、法线方向的面积上的应力，即表明用某一方向的单位矢量点乘应力张量可以得到以该方向为法线方向的面积上的应力。习题一1.证明下列各题1）用几何方法证明矢量具有乘法交换律。2）用定义证明ab的模表示由a,b组成的平行四边形的面积，a,b,ab的方向组成右手系。3)对任意的ai，aibia。成立，证明big。4)用指标表达式的方法证明a(ab)05)设P为二阶张量，证明P为对称张量的充分必要条件是对任意的矢量a，有a11a12a13bnb12b13a11a12a13bnb211)a21a22a23b21b22b232)a21a22a23b12b22a31a32a33b31b32b33a31a32a33b

36、13b232uvweee3)a-uv-wXyzXyza11a12a13bnb12b13a11a12a13bnb211)a21a22a23b21b22b232)a21a22a23b12b22a31a32a33b31b32b33a31a32a33b13b232uvweee3)a-uv-wXyzXyz用哑指标的形式表示下列各式。2.其中eu2v2w2/24)uXvywz5)(tw)z2u-2X3.试写出下列表达式的分量形式1)ij2)ukk03)4)5)XjXkUitij2ui?GXjuiXj1TLujujuiXjXiUiXjXj12XjUjXi6)ij-Eijkkij试写出下列方程式在直角坐标系中

37、不用约定求和及约定求和的分量形式试写出下列方程式在直角坐标系中不用约定求和及约定求和的分量形式5)-UiuuPu6)t5.设a，b，c，d为矢量，求证：6.设a，b，c，d为矢量，求证：5)-UiuuPu6)t5.设a，b，c，d为矢量，求证：6.设a，b，c，d为矢量，求证：ab01)ab0的充分必要条件为a，b是线性相关的,即可以找到a,b使aabb02)abc0的充分必要条件为a，b，c是线性相关的。7.已知：矢量b2i2k，ci2j3k。c可以分解为cbTmb，其中bTb。求by及m。8.用坐标变换的方法判别下列各量是否是张量，并给出张量的阶数1)CijCij2)AiCijAj3)Bi

38、Aj4)CijBi5)CjBk(其中AiBCiij是张量)9.用指标符号证明下列各式1)02)f1fTT3)(frr)04)A0(其中Aaa/2)。证明二阶张量，S相等的充分必要条件是对任意矢量a，b有aTbaSb。证明二阶张量为反对称的充分必要条件是对任意矢量a有证明二阶张量，S相等的充分必要条件是对任意矢量a有求二阶张量u的对称部分S与反对称部分，写出S与在直角坐标系中的表达式。求证的对偶矢量u/2，并证明已知：S为二阶对称张量，为二阶反对称张量，a，b为矢量。求证：1)aSSa2)aa3)ba:SS:ba4)ba:ba5):S0求二阶对称张量的主分量，主方向，求关于的11,I2，13。2

39、10121。012第二章正交曲线坐标系中的张量分析与场论上一章讨论了张量的代数运算，而连续介质力学要求研究连续介质微元体之间的关系，这就要求把微积分引入张量的运算中，从而形成了张量分析与场论。本章我们将重点介绍正交曲线坐标系中的张量分析及一些有关场论的知识，关于一般曲线坐标系中张量分析的知识不在我们课程讲授的范围之内，我们在第三章中给出有关内容的简单介绍，供有兴趣者参考。相对于一般曲线坐标系，有些文献和教科书上也把正交曲线坐标系称为非完整系物理标架。2.1、矢量函数、及其导数与微分.如果一个矢量A随着某一参数q在变化，则称这个矢量Aq为矢量函数，在直角坐标，也称笛卡尔坐标中Aq可表示为如果把矢

40、量A的起点放在原点，随着q的变化，A的端点将在空间描述出一条曲线,这条曲线称为A的矢端曲线，矢端曲线是以参数形式给出的。矢端曲线上一点M，矢量OM，叫做点M的矢径，用r表示。矢端曲线的参数方程为rA，即其分量满足的方程为xAxq；yAyq；zAzq例：圆柱螺旋线。参数方程为：其中为参数。2).矢量函数的导数矢量函数的导数的定义为：如A存在，则称为Aq在q点的导数或导矢，记为或A。q在直角坐标中，由于e是常矢量，因此导数的表达式为即导矢Aq的几何意义：如果导矢A存在，且A0,则A的方向表示矢端曲线的切线方向，并指向q增加的方向。如果导矢A存在，则称dAAqdq为a在q点的微分。如果矢量函数Aq以

41、矢端曲线的弧长s为参数，即rAs。由于drds，为单位矢量，表示该点s的单位切矢量，指向弧长增加的方向。可以证明矢量的求导公式例：(1).如曲面可表示为A常数，则矢径与过该点的切平面垂直。证明:A常数，即AA常数。求导数得兰AA岂dqdq埜A0dqdA即A与垂直。dq(2)、求证可以找到一个矢量，使得对于三个基矢e的导数证：由于eiei1，由上题可知即可以找到使得又由表达式可知,又由表达式可知,的分量取值无关，即可以任取。因此只要证明此只要证明再取这表明了本命题得证。，由可得即有:即可得3,，同理可得32则考虑一矢量aiU对q的导数,其中cadqdaidqq,称为a对的相对导数(3)、曲线几何

42、的自然坐标架设曲线的参数方程为rq，曲线的微元弧长为ds设曲线的参数方程为rq，曲线的微元弧长为dsdrdXjdXj因为s与q对应，可以用弧长s作为参数，rqrs。对于弧长来说，dsdr宀%$为单位矢量，令dr/ds。为单位矢量，所以令称为曲线的斜率，表示曲线每单位弧长的转角,内接圆的半径。令d.ds，及，则，单位切矢量，称为主法矢量，称为副法矢量。1称为曲率半径，表示曲线该点的称为曲线的自然坐标架，其中称为称，确定的平面为密切平面，称，确定的平面为从切平面,确定的平面为从切平面,确定的平面为法平面。为零的曲线是曲线,为常数的曲线是圆，其半径为由于，有即dddsds可推出平行于ds令称为曲线的

43、挠度。对于平面曲线，其挠度为零。由，的关系可知,。对求导数得这样可以得到自然坐标架对弧长s导数于自然坐标的关系其中2.2场的感念为了考察某种物理量（如温度、密度、速度）在空间的分布以及变化情况，就必须引入场的感念。在空间某一关心的区域中，每一点都定义了一个量，这样的量就称为场。如果一个量是标量就称为标量场（或数量场），如果一个量是矢量或张量就称为矢量场或张量场。也就是说，如果提到标量场就是指在一个区域中定义了一个标量函数。如果所考虑的场是随时间变化的，则时间作为参数出现。一般的标量场和矢量场可以写成为r,tx,y,z,t；uur,tux,y,z,t注意，这里ur,t不能理解为uxiyjzk,t

44、。如场的数值不随时间变化，则称为定常场，随时间变化，则称为不定常场,如场的数值不随空间变化，则称为均匀场，随空间变化，则称为不均匀场。定常场可表示为r；ur，均匀场可表示为tut。1）.标量场的等值面在标量场中，由标量函数常数的点构成的曲面称为标量场的等值面，其方程为x,y,z常数。等值面的特点：（1）不同的常数得到不同的等值面。（2）不同的等值面不会相交，因为空间场的每一个点的函数值是唯一的。2）.矢量场的矢量线矢量线是指这样的曲线，在该曲线的每一点处，曲线与矢量场中该点的矢量A相切。矢量线方程：设矢量场为A，矢量线为rrq，矢量线的方向为drdxidyjdzk。由矢量线的定义可知，dr平行

45、于A，矢量线满足的方程为：dxAxdydzAz矢量面：过一条非矢量线的曲线上的所有矢量线组成的曲面称为矢量面。如果一条曲线是一条封闭曲线，则所有过该曲线的矢量线构成一个管状曲面，称为矢如上述矢量场为流速场，则矢量线为流线。对于定常流场，流线表示流体质点的轨迹形成的线。矢量管称为流管。例：求矢量场Axzi解：矢量线的方程为yzjx2y2k的矢量线。由前两个方程可得dxdy，xqyxy按等比定理有可得dx2222y2dz2，xyzC2过点Xo,yo,Zo的矢量线为:2.3、曲线坐标1）.要研究空间场的性质，首先要对空间加以描述，即在空间建立坐标。qi,q2,q3，而每坐标的定义：如果以某种方式使空

46、间的每一个点对应一组有序数组有序数也对应于空间的一个点，这样的有序数称为坐标。如果有两组坐标q!,q2,q3和Pi,P2,P3，这两组坐标由于与空间的点对应，所以这两组坐标也一一对应，它们可以互相表示，即PiPiqiqq；qiqiPi,P2,P3。qi常数，对应于空间的一张曲面，不同的常数对应于不同的曲面。这就构成了三族曲面，这三族曲面称为坐标曲面。对于空间的每一个点，每族曲面只有一张曲面过该点。曲面q2常数和q3常数的交线称为坐标曲线，在这条曲线上只有q1可以变化，也称之为坐标曲线qi，或qi曲线。如果空间中每一点的坐标曲线都是正交的（坐标曲线的切线相互正交），则称这样的曲线坐标为正交曲线坐

47、标。如果每一条坐标曲线都是直线，则称为直角坐标或笛卡尔坐标。一般有x,y,z来表示。如果用表示qi,q2,q3曲线在某一点的切向单位矢量，并指向qi,q2,q3增加的方向，习惯上让它们构成右手系。这样的,e2,e3称为坐标的基矢量。一般地讲，e的方向是随空间位置的变化而变化的。在直角坐标中坐标基矢量的方向是不随空间位置变化的，习惯上用i,j,k表示。因此在直角坐标中矢径可以表示为：rxiyjzk。作为初步，本课程中只介绍正交曲线坐标。2）.正交曲线坐标系中对弧的微分考虑一个微元矢径由坐标曲线及基矢量的定义可知rqj与ei平行，设则Hi称为拉梅系数，一般地讲拉梅系数Hi是空间的函数。这样有令ds

48、iHidqi；ds2Hzdq?；H3dq3则dSi表示坐标变化dqi时坐标曲线所变化的弧长。对笛卡尔坐标系，梅拉系数Hi1，drdxidyjdzk在正交曲线坐标系中面微元dids2ds3H2H3dq2dq3；体积微元微元弧长的平方可以利用该式求拉梅系数Hi。3）.两组坐标之间的变换关系设一组坐标为qi，基矢量另一组坐标为q,基矢量由坐标变换的定义,即特别地对直角坐标系HjqjHiq其中i、j不约定求和Xi,X2,X3到直角坐标系X；,X2，X3的变换，则有Xjij-。Xi4）.几种常见的正交曲线坐标系（1）.直角坐标系Xjij-。Xi4）.几种常见的正交曲线坐标系（1）.直角坐标系空间点的坐标

49、为x,y,z，矢径的表达式为rXiyjzk，坐标的取值范围：x,，y,，z坐标曲面为三个平面。坐标曲线为三条直线。梅拉系数Hx1，Hy1，Hz1。（2）.柱坐标系空间点的坐标为，z，矢径的表达式为rcosi:p点到oz轴的距离；:ozp平面与oz平面的夹角；z:p点到oxy平面的距离。坐标的取值范围：0,，0,2，z0,坐标曲面：常数，以oz为轴的圆柱面，常数，以oz为界的半平面，z=常数，平行于oxy的平面。坐标曲线：，由z轴出发、垂直于z轴的射线，sinjzk，圆心在z轴，平行于oxy平面的圆周,乙平行于oz轴的直线。由定义有r-cosisinsinicos可以验证三个基矢量相互垂直。梅拉

50、系数为；Hz(3).球坐标系空间点的坐标为r,，矢径的表达式为空间点的坐标为r,，矢径的表达式为rsincosirsinsinjrcoskr:p点至Uo点的距离；:op直线与oz直线的夹角；:ozp平面与OZX平面的夹角。r:p点至Uo点的距离；:op直线与oz直线的夹角；:ozp平面与OZX平面的夹角。坐标的取值范围：r0,0,0,2坐标曲面：r常数，以o为心的球面，常数，以0为顶点，oz为轴的圆锥面,常数，以oz为界的半平面。坐标曲线r:由o点发出的射线，:以o为心，r为半径的圆周，:圆心在z轴，平行于oxy平面的圆周。由定义有可以验证三个基矢量相互垂直。梅拉系数为HrHr|rsin。2.

51、4、标量场的方向导数、梯度1).方向导数定理：标量场中在M处沿有向曲线C的导数dM/ds与该点沿切线方向I的方向导数dM/dl相等，即给定一个标量场M，考虑在M的领域内函数的变化情况。从点M引一条射线I，在其中取一点Mr，设MM1l，当I0时，比值的极限存在，则称为沿I的方向导数，记为MrMlimI10MMr证：设曲线的方程为rrsXisei，s为切线弧长。曲线切线的方程为dxisdxiIdsdIdxisdxiIdsdIrrIX|Iei，I为切线的长度。由切线的定义，在M点有所以有其中s为曲线的弧长，|为曲线在M点切线的长度。在曲线坐标系中，标量场qr,q2,q3沿坐标曲线的方向导数为同理可得

52、S2S2H2q2s3H3q3在笛卡尔坐标系中三个坐标曲线的方向导数为.标量场的梯度过M点可以做无穷多个方向，每一个方向都有一个方向导数。这些方向导数是相互独立的呢？还是有联系的？实际上只要知道了过M的等值面的法线方向n以及n方向的方向导数n，则其它方向s的方向导数s可以通过s、n和n表示。这样矢量nn就完全描述了M点领域标量场的变化情况。由方向导数的定义可知在s和n方向上的方向导数有如下的关系，下面我们来证明这一事实。考虑M点处的情况，做过M点的等值面rMc设等值面在M点的法线方向为n,指向增加的方向。考虑过M点的任意方向s上的一点M；。过M；做的等值面交M点的法线方向n于M1点。由定义有M1

53、M1，当MM；很小时，有即在任何方向上的方向导数可以表为：梯度的定义：标量场的梯度为一矢量，其方向为过该点标量场等值面的法线方向n，大小为过该点等值面法线方向导数n，记为任意方向s的方向导数与该点的梯度的关系为：sgrad。n结论：梯度方向是该点标量场变化最快的方向，因为对任意方向s有sn1因此有在正交曲线坐标中，梯度在三个坐标方向上的投影为，因此可得梯度在正交曲线坐标下的表达式为：在直角坐标系中其中这是第一章中定义的哈密顿算子。应为标量场的梯度grad是一个矢量，所以哈密顿算子是一个矢量算子。哈密顿算子具有矢量运算与导数运算两重作用。在一般曲线坐标系中，哈密顿算子定义为ej,则正交曲线坐标系

54、的表达式为由此可得HiqiH2q2H3q3是三个方向的方向导数。定理：梯度满足关系,drgrad。反之,如ddra对任意dr成立，则grada。证：对任意正交曲线坐标系成立（因为是矢量的实体表达式）。或可直接证明,如ddrdrgrada例：求标量场drgradHdqiei对于任意dr成立，0对于任意dr成立，可知ejHdqjjdrgradgrad。r的梯度,其中r2x2dqid。qi，两式相减，得（1）.（2）.由此可得其中利用r2r其中利用r2rrdrrdr。2.5、矢量场的通量、散度、奥高定理正向。对于封闭曲面，习惯上取外法向为正向。1).诵量曲面方向：一般对给定的曲面，可以定义一侧为曲面

55、的正侧，曲面的法向n指向曲面的先考虑一个流速场u及曲面S。曲面s上点M处的流速为U,法向矢量为n。设un为u在n上的投影，则流过微元面积ds的体积流量为dQundsundsuds其中dsnds为有向微元面积，流过曲面s的流量为对于一般的矢量场A，称为矢量场A中穿过曲面s的通量。特别地对封闭曲面s2).散度矢量场A内取一点M，考虑M的一个领域，其体积为边界面为s。如通量与体积V之比的极限当V趋于零时存在，则称为矢量场A的散度，记为因为通量Q及体积V都是标量，所以散度divA也是一个标量。下边用微元体的方法给出散度在正交曲线坐标系中的表达式。同理，过MM1N2M3M和NNW2N3N两面的通量为过M

56、M1N3M2M和NNW3N2N两面的通量为总的通量为而微元体的体积为Vds1ds2ds3H1H2H3dq1dq2dq3，所以矢量场的散度在正交曲坐标系中的表达式为：先计算过六个面的通量，过面MM2NjM3M的通量为过面NN2M4N3N的通量为过这两面的通量为在笛卡尔坐标系中.奥高公式由于一个大的封闭区域可以分成许多个小的封闭区域，而大的封闭区域的通量等于小的封闭区域的通量之和，所以有下列公式dv为微元体积，s为界面。这就是不依赖坐标系的选取的奥高公式，在笛卡尔坐标系中奥高公式为:sAdsvdivAdv:sAdsvdivAdvAyyAzzdxdydz。2.6、矢量场的环量、旋度、斯托克斯公式1)

57、.环量举力学中的一个例子,举力学中的一个例子,F如为一个力场,I为一条封闭曲线，力场F对沿I运动的质点所做的功为W:Fdl。I对一般的矢量场A，称沿某一封闭曲线I的积分为矢量场A沿封闭曲线I的环量。2).旋度取矢量场A中一点M,及过M点的一个微元曲面s，其法向为n,s的周界为I,I的方向取作与n构成右手系。如果沿封闭曲线I的环量与微元曲面的面积s的比值的极限存在，则称为矢量场A的旋度矢量rotA在方向n的投影，记为AdlrotAnlim丄s0s这里还须证明，该极限确实是一个矢量与n的点乘。这一点我们以后再证明，现在先承认下来。下边给出旋度在曲线坐标系下的表达式，先考虑n为&封闭曲线MM2N,M

58、3M满足右手系，面积为封闭曲线MM2N,M3M满足右手系，面积为的情况。计算环量因此可得同理可得1AtAUrotAe3oH,H2qq2在直角坐标系中,有AyrotAkAxoXy可得其中是一个矢量，A也是-一个矢量。所以rotA是一个矢量。在一般的正交曲线坐标系中，旋度的表达式为：3).斯托克斯公式与上一节一样，一个大的封闭曲线可以分成许多小的封闭曲线。而大的封闭曲线的环量等于许多小的封闭曲线环量之和。所以，对于大的封闭曲线有：S为在封闭曲线I撒谎那个的一张曲面。这就是不依赖于坐标的斯托克斯公式。在笛卡尔坐标系中，斯托克斯公式为Adl：|AxdxAydyAzdzAdl：|AxdxAydyAzdz

59、AzAyinzAxAyAxknds勺dydzzAxAzdxdzAyxAxydxdy2.7、哈密顿算子在笛卡尔坐标系中，梯度，散度，旋度可表示为:如用哈密顿算子表示则为：梯度grad；散度divAA；旋度rotAA。可以看出哈密顿算子作为一个矢量算子与标量场作用是梯度，与矢量场作点乘、叉乘得到散度、旋度。可以用哈密顿算子表示奥高公式：以及斯托克斯公式：Ads-AdlTOCo1-5hzsl由奥高公式可以直接得到一些其它的积分公式：其中u为常矢量，可以在笛卡尔坐标系中证明其中i=1，2，3。dvdv:nds:dsds。vvssSn上述几个积分中可以看到一个事实，只要把体积分中被积函数中适当的哈密顿算

60、子换成法向单位矢量n,就可以得到面积分中的被积函数，即:如果在体积分中的被积函数可表为Ln，其中只要位于哈密顿算子前的量是常量且无别的哈密顿算子。我们成为广义的奥高公式其中LA是A的线性算子，即要求满足LABLALB；LALA。证明：反复利用L的性质和奥高公式由于Ldv和：Lnds都是用矢量的实体表示法，所以上式对于任意坐标系都成立。vs哈密顿算子具有矢量、求导双重性，在运算中可以分别加以处理。在进行矢量运算时，把看成矢量，在进行求导运算时，把看成导数算子。下边给出一些微分和积分的运算公式。基本运算公式：微分公式(1)(2)(3)FF(4)1rrrr(5)ABAB(6)AAA(7)ABAAB(