湖北省天门市2015届高三4月调考数学(理)试题含解析

1、天门市2015年高三年级四月调研考试数学(理工类)、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合要求的 TOC o 1-5 h z 23_-1、已知z为复数，(1i)z=(1+i)(i为虚数单位)，则z=A、1iB、-1iC、1-iDk-1-i【答案】Bt解析】试题分析：由题意,得胃=9?=弛l2=_l3则=1+匚(1-03-21考点：1.复数的运算；2.共轲复数.2、已知全集U=R,A=x|x；x|x2；【答案】A【解析】试题分析：由题意，得AUB=4|x1或x至2)，则Cu(AUB)=x|1Ex1 HYPERLINK l bookmark62 o

2、 Current Document 42【答案】D【解析1*_a,试题分析：由随机变量的分布列的性质，得空巴+祖里+C8S=1,即向原+285(?=-联立44sma=2-2cosa.1m4)得5co一点SeosT+3=0,驿得CQ5ct=或co匕玄=1(舍).则sin16【答案】B【解析】试题分析：=(x-1n的二项展开式的奇数项二项式系数和为64,二2n=64,即n=7；则(x-1)7=(x+1)27的通项公式为Tk+=C；(x+1广(2)k,令7k=1,则k=6;所以aC；（一2）6=448.考点：1.二项式系数的性质；2.二项式定理的取6、若函数f（x）=2sincoxg0）的图象在（0

3、,3元）上恰有一个极大值和一个极小值，则值范围是【答案】B32 63 3【解析】试题分析：因为f（x）=2sincox在（0,3n）上恰有一个极大值和一个极小值，则 TOC o 1-5 h z 5r-T3n-n,即442二八52二一15一父3冗MM,解得一0.-426考点：三角函数的周期性.7、已知有序数对（a,b）w（a,b）|aW0,4,b可0,4,则方程x22ax+b=0有实根的概率为1_1_2_5A、LB、C、fDk-3236【答案】C【解析】试题分析：有序数对（a,b）虻（a,b）|a亡0,4,bW0,4构成了事件的全部，即0a,其面积为16;设事件A为“方程x2ax+b=0有实根”

4、，则0b4=4a2-4b之0其图像为阴影部分，面积为_22_(13%32,一e,小、,Si=161(4x)dx=164xx|。=一；由几何概型的概率公式，得中3J332-32P(A)3一.163考点：1.几何概型；2.定积分的几何意义8、已知实数x,y满足2x+y+1.+2丫+2,且1丫1,则2=2*+丫的最大值为A、6B、5C、4Dk3【答案】B【解析】试题分析：222x+y+1|x+2y+2|(2x+y+1)(x+2y+2)(x_y_1(3x+3y+3)M0；将，x-y-1)(x+y+1)w0一z=2x+y化成y=2x+z,作出，表本的可行域(如图所不)和目-1y1标函数基准直线y=-2x

5、;当直线y=-2x+z向左上方平移时，直线y=-2x+z在y轴上的截距增大，当直线y=2x+z过点B(2,1)时，zmax=2父2+1=5.考点：1.绝对值不等式；2.简单的线性规划件的自由运动：A、12OB、229、如图，直线l_L平面a,垂足为Q已知边长为2的等边三角形ABC在空间做符合以下条Al,CWet,则B,O两点间的最大距离为Xi.C、1,3D23【答案】C【解析】试题分析：当A,O,B,C四点在同一平面内时，B,O两点之间的距离最大，设/ACO=9,则OC=2cose,OA=2sin6,BD=2sin(1200-29),CD=2cos(1200-26),则OB2=BD2(OCCD

6、)2=4sin2(120-2射2cos-2cos1200-2-2=4+2T3sin284+20时, exf (x)=-e1 -2x1f (x) =Lx,则 x a 一时,2 . xe2J,、c1、c / 1Lf (x) 0, 0 x 一 时，f (x) a 0,即 f (x)在 0,一 |递2k 2；增，在1 1,-Hc 递减,21f (x)极大值=f (二)= 22e修;其大致图象如图所示，令 t = f (x),得2et2 mt +m -1 = 0 ,即(t -1)(t m +1) = 0 ；当 t =1 时，f (x) =t 有一解；若2e- 2ef (x)mf(x)+m1 =0有四解，

7、则 0m1,即 1m1；x=6,y=4,yx=21；10 x = 4, y =310 y=72yx=0,b0）的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，满ab,则双曲线的离心率为足（0?+常）考=0（0为坐标原点），且3研=41京1试题分析：取PF2的中点M，则由(OP+OF2)PF2=0,得20MPF2=0,即PF1PF2=0,即 PF1 _L PF2,由 3 月=4 PF21 ,设 PF1 =4x, PF2 =3x,F1F2 =2c,则(4x 2 +(3x 2 =4c2 ,即 x =25c，由椭圆的定义，得2a = PFi PF2考点：1.平面向量垂直的判定；2.勾股定理；3.椭圆的定义.,11

8、）,则满足14、数列an)共有12项，其中a=0且5=-2同2=3,且ak+-ak=1(k=1,2,3,这种条件的不同数列的个数为试题分析：丁ak4-ak=1,，数列的后一项比前一项增1或减1；丫a=0,a5=-2,.a1到a5的变化中一定是1增3减，有C：=4种情况；丫a5=2,a12=31a5到ai2的变化中一定是6增1减，有C；=7种情况；由分步乘法计数原理，共得到c4mC；=28个不同数列考点：1.组合知识；2.分步乘法计数原理.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分。）15、如图，MBC内接于圆O,直线L平行AC交线段BC于D,交线段

9、AB于E,交圆O于G,Fl交圆O在点A的切线于P.若PE=6,ED=4,EF=6,则PA的长为.【解析】试题分析：:l/AC,NBDE=NC,又；PA与圆O相切于A,二NPAE=/C/BDE=NPAE；1/BED=/PEA,:.ABED与APEA相似,CDBE,.AEBE=EDPE=46=24,AEPE4;丁AEBE=GEEF,24=GE父6,得GE2_PG=PE-GE=6-4=2,PA2=PGPF=266=24,.PA=26.考点：1.相似三角形；2.相交弦定理；3.切割线定理.x-4-cosJ16、已知曲线C1的参数方程为x凸日修工2可，若以坐标原点O为极点，X轴正半y=sin工轴为极轴，

10、曲线C2的极坐标方程为Psin+-1=72P0fwJ0,-11那么G上的点到曲4.2线。上的点的距离的最小值为.【答案】、,13【解析】x-4-cos八，、22试题分析：将W0n,2n化成(x+4)+y=1y0,日w,】化为Psin0+PcosQ=2,即x+y-2=0(0MxM2),它表示一条线段；作出两者图像，由图像，得么Ci上的点到曲线C2上的点的距离的最小值为M(0,2步B(-3,0)间的距离，即为J13.考点：1.曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的互化；2.两点间的距离公式三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.-x)4W4

11、(TT17、(本题3t分12分)设九wR,f(x)=ab,其中a=(cosx,sinxb=gsinxcosx,cos(不已知f (x )满足f |=f 0(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)求不等式f(x)2小的解集.冗,冗1._.，,n._1【答案】(1)水冗一一，内+k=Z;(2)x|knx.一63.6【解析】试题分析：(1)利用平面向量的数量积公式求得f(x)的表达式，由f：=0)求出九值,3再将f(x)化成Asin(cox+中)+k的形式，利用三角函数的图象与性质进行求解；(2)利用复合函数的求导公式进行求导，利用三角函数的图象解不等式即可试题解析：(1)f(x=cosxsinx

12、-cosxsinxcos-x.2.2=1sinxcosxcosxsinx=/(0),-,a=2/34工4由灯十（曰Z）二的单调递增区间是 如r寓+：住e2）7分7T(2)v/(x)=2sinlx-I6.IkK-2出的解集是.R考点：1.平面向量的数量积；2三角函数的图象与性质；3.复合函数的求导公式.18、（本题满分12分）已知等差数列an满足3=1,且a2、a7-3、a8成等比数列，数列bn的前n项和Tn=an-1（其中a为正常数）.(1)求n的前项和(2)=岫 +a2b + +%bn ,求 In(1) Sn = n25855+58nU2) IQa=1na1c,dna-，a0,a#1工a-1

13、【解析】试题分析：（1）设an的公差是d,利用首项与公差表示有关项，利用等比中项求出公差,再利用等差数列的求和公式进行求解；（2）利用错位相减法进行求和.试题解析：（1）设4的公差是d,则 TOC o 1-5 h z 一22:a2a8fa7-3,1d17d）=：16d-3.3，d=1或d=4分29一一11当d=1时，Sn=nx1+-n（n-1）x1=-n（n+1）-3八/1.33255八=d=时，Sn=nM1+-n（n1）M=一n+n6分292295858,1%WN：.aK=n当衽=1时f4=日I当时，=7；I.=1（门1）丫向=o-l=/Tg_l）8分当口=1时，%=。=乙=。g分当口工1时

14、4=+2白1）+Sfl1-1）+-+?M，a_11）二双=口（白_1）+工?（口（同（口1）+阳川（口1）（laj/K=（也一1j+ZT（O1）+-（Z71）的制（01）=aK1naK（a1）11分12#考点：1.等差数列的求和公式；2.等比中项；3.错位相减法19、（本题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA_L底面ABCD,底面ABCD是梯形，其中AD/BC,BA_LAD,AC与BD交于点O,M是AB边上的点，且AM=2BM,已知PA=AD=4,AB=3,BC=2.(1)求平面PMC与平面PAD所成锐二面角的正切;(2)已知N是PM上一点，且ON /平面PCD ,求PNPM的值.【

15、答案】(1)巨；(2)-.22【解析】试题分析；(1)建立空间直角坐标系，利用两平面的法向量迸行求解：(2)先根据共线，设出P.V=APMf再利用空间向量进行束解.试题解析:(1)以*为坐标原点，X瓦加?金尸为其里z轴建立如图所示直角坐标系,4则J(0:0:0):5(3:0:0)=C(3J:0F=Z)(0:4:O)=M(2=0L0)=P(O=O=4):O(2:-:0)；设平面PMC的法向量是u(工y:z),则,JMC(1;20)pA=(-2;04)产令】2/+42 =。 ”mu = 12=1又也i平面P3,，f(lQ0)是平面H仞的法向里所以平面尸MC与平面H仞所成锐二面角的正切为孝,6分(2

16、)设平面尸CDFCD的法向量7=vz+):定=G2T),丽=&4T)令p = 3,则/=2. = 33篇+2)-4/=。“4M4/=。kb设PN二九PM,则:PM1=(2,0,-4)PN=(2九,0,Y九)一一一一T八4,ON=ANAO=AP+PNAO=(2九一2,44九)ON_Lv4九一44+1212九=01PN112分人=一，=一2PM2考点：空间向量在立体几何中的应用20、（本题满分12分）某公司从大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）.公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩

17、高于180分的男生才能担任助理工作.（1）如果用分层抽样的方法从甲部门人选和乙部门人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是甲部门人选的概率是多少？（2）若从所有甲部门人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任助理工作的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望.男女8861686543217654218563211902 TOC o 1-5 h z 、13八，一9【答案】（1）13;（2）分布列（略），EX=9. HYPERLINK l bookmark34 o Current Document 145【解析】试题分析：（1）根据分层抽样的特点（等比例抽样）求得8人中甲、乙部门的人数

18、，再根据古典概型的概率公式进行求解；（2）写出随机变量的所有可能取值，利用超几何分布的概率公式求出概率，列表得到分布列，再根据数学期望公式进行求解82一=_ ,根据茎叶图，甲部门入20 5_ 2,210M=4人，乙部门人选有10M=4人。用事件 A表示至少有一名甲部门人选被选中，则C3P(A)=1 - ：C313,一,因此至少有一人是14一、 .、一 13甲部门人选的概率是 14(2)依题意，X的取值分别是1, 2, 3P X =0 =C；C；130P X =1 =c6c2C30310P X:2 等C10PX=3 等1C106因此，X的分布列如下:X0123P1/303/101/21/611分

19、试题解析：(1)用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是选10人，乙部门入选10人，所以选中的甲部门人选有 TOC o 1-5 h z 1311912分所以X的数学期望EX=0父+1M2+2M1+3X1=93010265考点：1.分层抽样；2.古典概型；超几何分布；随机变量的分布列与期望221521、(本题满分13分)已知椭圆C:+4=1(aAb0)的离心率为“，F1,F2是椭圆的两ab4个焦点，P是椭圆上任意一点，且APF1F2的周长是8+26？.(1)求椭圆C的方程;(2)设圆T：(x-12+y2=4,过椭圆的上顶点作圆T的两条切线交椭圆于E、F两点,9当圆心在x轴上移动且tw(1,3)时，

20、求EF的斜率的取值范围.(2)6 ,18 .252【答案】（1）二+y2=1;16【解析】试题分析：（1）利用椭圆的离心率和椭圆的定义得到a,b,c的关系式进行求解；（2）设出圆的切线方程，利用直线与圆相切，得到k,t的关系式以及两条切线的斜率的关系，分别联立切线与椭圆的方程，求得E,F的坐标，求出斜率，再利用函数的单调性求其最值1式题解析：i1)由=,可知a=4b,c=4因为A?骂己的周长是8+?石，所以2口+左=8+?而,4分所以a=4；b=1,所求臃圆方程为上+丁=116(2)椭圆的上顶点为设过点,M与圆丁相切的直线方程为=a+i.由直线二a十1与丁相切可知即(9产一4)d+18位+5=

21、0,ISf-5+片=一翦K用心二用v = k1H +1由炉us得(1 + 16左储+翌细=0F =1凝同理号=一蕊_打一P尸_ (用出+1)(用号+ 1) _坪勺一用号 EF = - = 冲一冲肉十为6f1-1 脑自 2E-k分当let m 0 ,且 g(七 )= g(n)一g(m), 试比较-与jmn的大小；n -ma =2 ,是否存在正数k ,使得关于x的方程f (x )=kg (x )在L,收)上有两个不相等的实数根？如果存在，求k满足的条件；如果不存在，说明理由.x2 _2x_2aZ0%x2 - 2x - 2a 三 0a-ea Jx22-xa飞-e或 12 a - x2-x(3)利用反证