2015高考数学专题测试卷：2 函数、导数及其应用

1、第二章 函数、导数及其应用(时间：120分钟总分值：150分)一、 选择题(每题5分，共60分)1. (2021潍坊质检)函数f(x)lg(x1)的定义域是(B)A. (2，) B. (1，)C. 1，) D. 2，) 由对数的定义知x10，故x1.2. (2021珠海模拟)函数f(x)log2(3x1)的值域为(A)A. (0，) B. 0，)C. (1，) D. 1，) 3x11，log2(3x1)0.3. (2021北京东城模拟)f(x)eq blc(avs4alco1(f(2,x)，x0，,3log2x，x0，)那么 f(f(1)等于(D)A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 f(1

2、)eq f(2,1)2，f(f(1)3log2 2314.4. (2021烟台诊断)函数f(x)cos x lg |x|的局部图像是(A) 函数为偶函数，图像关于y轴对称，排除B，D.当 x0时，f(x)0，排除C.5. (2021山东师大附中模拟)函数f(x)xsin x(xR)(D)A. 是偶函数，且在(，)上是减函数B. 是偶函数，且在(，)上是增函数 C. 是奇函数，且在(，)上是减函数D. 是奇函数，且在(，)上是增函数 f(x)xsin xf(x)，且定义域关于原点对称，函数为奇函数函数的导数 f(x)1cos x0，函数在(，)上是增函数6. (2021北京东城模拟)根据表格中的

3、数据，可以断定函数 f(x)ln xeq f(3,x)的零点所在的区间是(C)x12e35ln x00.6911.101.61 eq f(3,x)31.51.1010.6A. (1，2) B. (2，e) C. (e，3) D. (3，5) f(e)ln eeq f(3,e)11.100.10, f(3)ln 3eq f(3,3)1.1010.10，可以断定函数f(x)ln xeq f(3,x)的零点所在的区间是(e，3)，选C.7. (2021北京房山模拟)为了得到函数ylgeq f(x,10)的图像，只需把函数ylg x的图像上(B)A. 所有点向右平移1个单位长度 B. 所有点向下平移1

4、个单位长度C. 所有点的横坐标缩短到原来的eq f(1,10)(纵坐标不变) D. 所有点的纵坐标缩短到原来的eq f(1,10)(横坐标不变) ylgeq f(x,10)lg xlg 10lg x1，只需把函数ylg x的图像上所有点向下平移1个单位长度8. (2021乐陵一中月考)定义在R上的函数f(x)在(，2)上是增函数，且f(x2)的图像关于y轴对称，那么(A)A. f(1)f(3) B. f(0)f(3) C. f(1)f(3) D. f(0)f(3) 函数f(x2)的图像关于y轴对称，f(x)关于直线x2对称，函数f(x)在(，2)上是增函数，在(2，)上是减函数，f(1)f(5

5、)f(0)f(4)f(3)9. 假设函数f(x)x2axeq f(1,x)在eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)是增函数，那么a的取值范围是(D)A. 1，0 B. 1，) C. 0，3 D. 3，) 由条件知f(x)2xaeq f(1,x2)0在eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)上恒成立，即 aeq f(1,x2)2x在eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)上恒成立，函数yeq f(1,x2)2x在eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)上为减函数，ymaxeq f(1,blc(rc)(avs4alco1(f

6、(1,2)sup12(2)2eq f(1,2)3a3.10. 函数f(x)是R上的奇函数，假设对于x0，都有f(x2)f(x)，当x0，2)时，f(x)log2(x1)，那么f(2 013)f(2 012)的值为(B)A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 由f(x2)f(x)知，函数f(x)的周期为2，f(2 013)f(2 012)f(2 013)f(1 0062)f(1 00621)f(0)f(1)f(0)1.11. (2021乐陵一中月考)设奇函数f(x)在(0，)上是增函数，且f(1)0，那么不等式xf(x)f(x)0的解集为(D)A. x|1x0或x1 B. x|x1或0 x1C.

7、 x|x1或x1 D. x|1x0或0 x1 奇函数f(x)在(0，)上是增函数，f(x)f(x)，xf(x)f(x)0，xf(x)0，又f(1)0，f(1)0，从而有函数f(x)的图像如图，那么不等式 xf(x)f(x)0的解集为x|1x0或0 x112. (2021北京朝阳模拟)函数f(x)a2|x|1(a0)，定义函数F(x)eq blc(avs4alco1(fx，x0，,fx，x0.) 给出以下命题：F(x)|f(x)|; 函数F(x)是奇函数；当a0时，假设mn0，mn0，总有F(m)F(n)0成立其中所有正确命题的序号是(C)A. B. C. D. |f(x)|eq blc(avs

8、4alco1(fx，fx0，,fx，fx0，) 而F(x)eq blc(avs4alco1(fx，x0，,fx，x0.) F(x)|f(x)|不成立；f(x)是偶函数假设x0，那么x0，F(x)f(x)f(x)F(x)假设x0，那么x0，F(x)f(x)f(x)F(x)，函数F(x)是奇函数，正确；a0时，函数F(x)f(x)在(0，)上是减函数，假设mn0，mn0，那么mn0或nm0，F(m)F(n)F(n)或F(n)F(m)F(m)，即F(m)F(n)0，正确正确的选项是.二、 填空题(每题5分，共20分)13. (2021北京东城模拟)假设函数yx23x4的定义域为0，m，值域为eq b

9、lcrc(avs4alco1(f(25,4)，4)，那么m的取值范围是_eq blcrc(avs4alco1(f(3,2)，3)_ yeq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)eq sup12(2)eq f(25,4).结合图像，当xeq f(3,2)时，yeq f(25,4)；当 x0或x3时，y4.由x0，m时，yeq blcrc(avs4alco1(f(25,4)，4)，知meq blcrc(avs4alco1(f(3,2)，3).14. (2021北京丰台模拟)假设函数f(x)ax(a0，a1)在2，1上的最大值为4，最小值为m，那么m的值是_eq f(1,2)或eq f

10、(1,16)_ 假设a1，那么有f(1)a4，f(2)a2m，解得meq f(1,a2)eq f(1,16).假设0a1，那么有f(1)am，f(2)a24，解得 maeq f(1,2).meq f(1,2)或meq f(1,16).15. 设点P在曲线yeq f(1,2)ex上，点Q在曲线yln(2x)上，那么PQ的最小值为_eq r(2)(1ln_2)_ yeq f(1,2)ex与yln(2x)的图像关于直线yx对称，可转化为yeq f(1,2)ex图像上的点Peq blc(rc)(avs4alco1(x，f(1,2)ex)到直线yx距离deq f(blc|rc|(avs4alco1(f(

11、1,2)exx),r(2)的最小值设g(x)eq f(1,2)exx，那么g(x)eq f(1,2)ex1.g(x)min1ln 2，dmineq f(1ln 2,r(2)，PQmin2eq f(1ln 2,r(2)eq r(2)(1ln 2)16. (2021潍坊联考)函数f(x)的定义域为1，5，局部对应值如下表，f(x)的导函数yf(x)的图像如下图x10245f(x)121.521以下关于函数f(x)的命题：函数f(x)的值域为1，2；函数f(x)在0，2上是减函数；如果当x1，t时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；当1a2时，函数yf(x)a最多有4个零点其中正确命题的序号

12、是_ 由导数图像可知，当1x0或2x4时，f(x)0，函数单调递增，当0 x2或4x5，f(x)0，函数单调递减，当x0和x4时，函数取得极大值f(0)2，f(4)2，当x2时，函数取得极小值f(2)，又f(1)f(5)1, 函数的最大值为2，最小值为1，值域为1，2，正确；正确；在当x0和x4，函数取得极大值f(0)2, f(4)2，要使当x1，t时，函数f(x)的最大值是2，那么0t5，t的最大值为5，不正确；由f(x)a知，极小值f(2)1.5，极大值为f(0)f(4)2，当1a2时，yf(x)a最多有4个零点，正确，正确命题的序号为. 三、 解答题(共70分)17. (10分)(202

13、1铜陵模拟)函数f(x)是R上的偶函数，且当x0时，函数的解析式为f(x)eq f(2,x)1.(1)用定义证明f(x)在(0，)上是减函数；(2)求当x0时，函数的解析式 (1)设0 x1x2，那么f(x1)f(x2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,x1)1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,x2)1)eq f(2x2x1,x1x2)，0 x1x2，x1x20，x2x10，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，f(x)在(0，)上是减函数(4分)(2)设x0，那么x0，f(x)eq f(2,x)1，(6分)又f(x)为偶函数，f(x)f(x)eq

14、 f(2,x)1，(8分)即f(x)eq f(2,x)1(x0)(10分)18. (10分)(2021诸城一中模拟)f(x)2log3 x，x1，9，求函数yf(x)2f(x2)的值域 f(x)2log3 x，x1，9，yf(x)2f(x2)的定义域满足eq blc(avs4alco1(1x9，,1x29，)解得1x3，即定义域为1，3(4分)0log3 x1.yf(x)2f(x2)(log3 x2)2log3 x22(log3 x)26log3 x6(log3 x3)23，(6分)又0log3 x1，当log3 x0，即x1时，ymin936，当log3 x1，即x3时，ymax42313.

15、y的值域为6，13(10分)19. (12分)(2021潍坊一中模拟)函数 f(x)log4(4x1)kx(xR)是偶函数(1)求k的值；(2)假设方程f(x)m0有解，求m的取值范围 (1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)f(x)log4(4x1)kxlog4(4x1)kx. (2分)即log4eq f(4x1,4x1)2kx，log44x2kx，x2kx对一切xR恒成立(4分)keq f(1,2).(6分)(2)mf(x)log4(4x1)eq f(1,2)x，mlog4eq f(4x1,2x)log4eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(1,2x). (8分)2xeq f

16、(1,2x)2, meq f(1,2).(10分)故要使方程f(x)m0有解，m的取值范围为eq blcrc)(avs4alco1(f(1,2)，). (12分)20. (12分)(2021长春模拟)函数f(x)12a2ax2x2(1x1)的最小值为f(a)(1)求f(a)的表达式；(2)假设a2，0，求f(a)的值域 (1)函数f(x)12a2ax2x22eq blc(rc)(avs4alco1(xf(a,2)eq sup12(2)eq f(a2,2)2a1，其对称轴为直线xeq f(a,2).(2分)当eq f(a,2)1，即a2时， f(x)的最小值为f(1)3；当1eq f(a,2)1

17、，即2a2时， f(x)的最小值为 feq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)eq f(a2,2)2a1; 当eq f(a,2)1，即a2时， f(x)的最小值为f(1)34a.综上所述，f(a)eq blc(avs4alco1(3，a，2，,f(a2,2)2a1，a2，2，,34a，a2，.)(8分)(2)当a2，0时， f(a)eq f(a2,2)2a1eq f(1,2)(a2)23，其对称轴为直线a2，f(a)在2，0上单调递减f(a)maxf(2)3, f(a)minf(0)1.f(a)1，3(12分)21. (12分)(2021吉林模拟)某服装厂生产一种服装，每件服装的

18、本钱为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数pf(x)的表达式；(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？ (1)当0 x100时，p60；当100 x600时，p60(x100)0.02620.02x.peq blc(avs4alco1(60，0 x100，,620.02x，100 x600.)(4分)(2)设利润为y元，那么当0 x100时，y60 x40 x

19、20 x；当100 x600时，y(620.02x)x40 x22x0.02x2.yeq blc(avs4alco1(20 x，0 x100，,22x0.02x2，100 x600.)(8分)当0 x100时，y20 x是单调增函数，当x100时，y最大，此时 y201002 000；当100 x600时，y22x0.02x20.02(x550)26 050，当x550时，y最大，此时y6 050.显然6 0502 000.当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元(12分)22. (14分)(2021淄博模拟)f(x)axln x，aR.(1)当a2时，求曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)假设f(x)在x1处有极值，求f(x)的单调递增区间；(3)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e的最小值是3？假设存在，求出a的值；假设不存在，请说明理由 (1)由得f(x)的定